Esercizio spazi di Hilbert (2)
Ciao ragazzi!
Sto cercando di risolvere questo esercizio. Dice:
Nello spazio di Hilbert:
$ l^2={ c= (c_0,c_1,c_2...) : sum_(j=0)^oo |c_j|^2
si consideri l'operatore
$ A: (c_0,c_1,c_2...) |-> (c_1,sqrt2c_2,sqrt3c_3...) $
a) si determini il dominio D di A.
Il libro me la risolve così:
Un vettore $ c in l^2 $ è nel dominio di $A$ se e solo se $Ac in l^2$. Si ha:
$ ||Ac||^2= sum_(j=1)^oo |c_j|^2 0 $ per grandi $ j $
Da cui +
$ D(a)={c=(c_0,c_1,c_2...)in l^2 : sum_(j=0)^oo j|c_j|^2 0, $ per grandi $j } $
quello che non capisco è perchè prende in considerazione i grandi j... Cioè, cosa vuol dire questa espressione??
$ ||Ac||^2= sum_(j=0)^oo |c_j|^2 0 $ per grandi $ j $
Grazie in anticipo per la risposta!
Sto cercando di risolvere questo esercizio. Dice:
Nello spazio di Hilbert:
$ l^2={ c= (c_0,c_1,c_2...) : sum_(j=0)^oo |c_j|^2
si consideri l'operatore
$ A: (c_0,c_1,c_2...) |-> (c_1,sqrt2c_2,sqrt3c_3...) $
a) si determini il dominio D di A.
Il libro me la risolve così:
Un vettore $ c in l^2 $ è nel dominio di $A$ se e solo se $Ac in l^2$. Si ha:
$ ||Ac||^2= sum_(j=1)^oo |c_j|^2
Da cui +
$ D(a)={c=(c_0,c_1,c_2...)in l^2 : sum_(j=0)^oo j|c_j|^2
quello che non capisco è perchè prende in considerazione i grandi j... Cioè, cosa vuol dire questa espressione??
$ ||Ac||^2= sum_(j=0)^oo |c_j|^2
Grazie in anticipo per la risposta!
Risposte
Quello che hai riportato (con quegli \(\epsilon\)) è raccapricciante 
Il dominio del tuo operatore è semplicemente
\[
D(A) = \left\{c\in\ell^2:\ \sum_j j |c_j|^2 < +\infty\right\}.
\]
Il dominio del tuo operatore è semplicemente
\[
D(A) = \left\{c\in\ell^2:\ \sum_j j |c_j|^2 < +\infty\right\}.
\]
Ma non scherziamo...
Innanzitutto, non è vero che se \(|c_n|^2\approx \frac{1}{n^{1+\varepsilon}}\) (con \(\varepsilon >0\)) allora la serie \(\sum n |c_n|^2\) converge (per il criterio dell'ordine di infinitesimo, dovresti prendere quantomeno \(\varepsilon >1\)).
Perciò credo che il tuo testo volesse intendere \(|c_n|\approx \frac{1}{n^{1+\varepsilon}}\), senza il quadrato...
Tuttavia, anche questa condizione non esaurisce tutti i casi possibili.
Infatti la successione \(c=(c_n)\) con \(c_n=\frac{1}{n\ \log n}\) è in \(\ell^2\) (come puoi facilmente verificare) e la serie che esprime \(|Ac|^2\), cioé:
\[
\sum \frac{n}{n^2\ \log^2 n} = \sum \frac{1}{n\ \log^2 n}\; ,
\]
è convergente per il criterio integrale (infatti, un conto esplicito mostra che l'integrale improprio \(\int_2^\infty \frac{\text{d} x}{x\ \log^2 x}\) è convergente); d'altra parte, puoi ben vedere che la successione \(c\) scelta sopra non soddisfa una stima asintotica del tipo \(|c_n|\approx \frac{1}{n^{1+\varepsilon}}\) per nessun \(\varepsilon >0\).
In conclusione, vale sicuramente l'inclusione:
\[
\operatorname{Dom} A := \left\{ c=(c_n)\in \ell^2 :\ \sum_{n=0}^\infty n|c_n|^2 <\infty\right\} \supseteq \left\{ c=(c_n)\in \ell^2 :\ |c_n|\approx \frac{1}{n^{1+\varepsilon}} \text{ con } \varepsilon >0\right\} =: S
\]
e però tale inclusione è propria, cioè vale \(\operatorname{Dom} A \supset S\), perché l'insieme \(\operatorname{Dom} A\) contiene molti più elementi di \(S\).
Innanzitutto, non è vero che se \(|c_n|^2\approx \frac{1}{n^{1+\varepsilon}}\) (con \(\varepsilon >0\)) allora la serie \(\sum n |c_n|^2\) converge (per il criterio dell'ordine di infinitesimo, dovresti prendere quantomeno \(\varepsilon >1\)).
Perciò credo che il tuo testo volesse intendere \(|c_n|\approx \frac{1}{n^{1+\varepsilon}}\), senza il quadrato...
Tuttavia, anche questa condizione non esaurisce tutti i casi possibili.
Infatti la successione \(c=(c_n)\) con \(c_n=\frac{1}{n\ \log n}\) è in \(\ell^2\) (come puoi facilmente verificare) e la serie che esprime \(|Ac|^2\), cioé:
\[
\sum \frac{n}{n^2\ \log^2 n} = \sum \frac{1}{n\ \log^2 n}\; ,
\]
è convergente per il criterio integrale (infatti, un conto esplicito mostra che l'integrale improprio \(\int_2^\infty \frac{\text{d} x}{x\ \log^2 x}\) è convergente); d'altra parte, puoi ben vedere che la successione \(c\) scelta sopra non soddisfa una stima asintotica del tipo \(|c_n|\approx \frac{1}{n^{1+\varepsilon}}\) per nessun \(\varepsilon >0\).
In conclusione, vale sicuramente l'inclusione:
\[
\operatorname{Dom} A := \left\{ c=(c_n)\in \ell^2 :\ \sum_{n=0}^\infty n|c_n|^2 <\infty\right\} \supseteq \left\{ c=(c_n)\in \ell^2 :\ |c_n|\approx \frac{1}{n^{1+\varepsilon}} \text{ con } \varepsilon >0\right\} =: S
\]
e però tale inclusione è propria, cioè vale \(\operatorname{Dom} A \supset S\), perché l'insieme \(\operatorname{Dom} A\) contiene molti più elementi di \(S\).
"gugo82":
Innanzitutto, non è vero che se \(|c_n|^2\approx \frac{1}{n^{1+\varepsilon}}\) (con \(\varepsilon >0\)) allora la serie \(\sum n |c_n|^2\) converge (per il criterio dell'ordine di infinitesimo, dovresti prendere quantomeno \(\varepsilon >1\)).
Perciò credo che il tuo testo volesse intendere \(|c_n|\approx \frac{1}{n^{1+\varepsilon}}\), senza il quadrato..
Scusa gugo82! avevo copiato male alcune cose, avevi ragione tu!
Ps: tutto quello che hai scritto dopo, dici che glielo devo far notare al mio professore?
"gugo82":
Ma non scherziamo...
Innanzitutto, non è vero che se \(|c_n|^2\approx \frac{1}{n^{1+\varepsilon}}\) (con \(\varepsilon >0\)) allora la serie \(\sum n |c_n|^2\) converge (per il criterio dell'ordine di infinitesimo, dovresti prendere quantomeno \(\varepsilon >1\)).
Perciò credo che il tuo testo volesse intendere \(|c_n|\approx \frac{1}{n^{1+\varepsilon}}\), senza il quadrato...
Tuttavia, anche questa condizione non esaurisce tutti i casi possibili.
Infatti la successione \(c=(c_n)\) con \(c_n=\frac{1}{n\ \log n}\) è in \(\ell^2\) (come puoi facilmente verificare) e la serie che esprime \(|Ac|^2\), cioé:
\[
\sum \frac{n}{n^2\ \log^2 n} = \sum \frac{1}{n\ \log^2 n}\; ,
\]
è convergente per il criterio integrale (infatti, un conto esplicito mostra che l'integrale improprio \(\int_2^\infty \frac{\text{d} x}{x\ \log^2 x}\) è convergente); d'altra parte, puoi ben vedere che la successione \(c\) scelta sopra non soddisfa una stima asintotica del tipo \(|c_n|\approx \frac{1}{n^{1+\varepsilon}}\) per nessun \(\varepsilon >0\).
In conclusione, vale sicuramente l'inclusione:
\[
\operatorname{Dom} A := \left\{ c=(c_n)\in \ell^2 :\ \sum_{n=0}^\infty n|c_n|^2 <\infty\right\} \supseteq \left\{ c=(c_n)\in \ell^2 :\ |c_n|\approx \frac{1}{n^{1+\varepsilon}} \text{ con } \varepsilon >0\right\} =: S
\]
e però tale inclusione è propria, cioè vale \(\operatorname{Dom} A \supset S\), perché l'insieme \(\operatorname{Dom} A\) contiene molti più elementi di \(S\).
Il prof anche quest'anno presenta il medesimo esercizio con lo stesso svolgimento.
Perdona l'ignoranza ma c'è differenza tra il tilde e il doppio tilde? il doppio tilde non va a rafforzare?
Il prof ne mette uno, mentre tu uno doppio...
Cmq è un esercizio che non sono proprio riuscito a comprendere. Una dritta? Grazie
"Rigel":
Quello che hai riportato (con quegli \(\epsilon\)) è raccapricciante
Il dominio del tuo operatore è semplicemente
\[
D(A) = \left\{c\in\ell^2:\ \sum_j j |c_j|^2 < +\infty\right\}.
\]
Sarà raccapricciante ma è quello che riporta il prof e il bello è che lo vuole proprio così. Occorre però capirne il senso e la procedura... probabile ci possano essere delle sviste ma come lo si può fare presente al professore?!? Inoltre ora c'è un nuovo professore che riporta la medesima documentazione...senza alcuna variazione...
Curioso, no?!?
Ho trovato il dominio ma non per j grandi...uhm...veramente non saprei che dire e pensare...
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