Calcolo valor principale integrale con funzione polidroma

[Archwing]

Ciao a tutti. Ho difficoltà con il seguente integrale
$PV\int_{0}^{+\infty}1/{x^p(1-x)}dx$
dove $0
Vi riporto il procedimento che ho seguito:

Pongo $f(z)={z^{-p}}/{1-z}$ che ha un polo semplice in $z=1$

il cui residuo è $Res(f(z),1)=\lim_{x \to 1}[(z-1)f(z)]=\lim_{x \to 1}[-(z^{-p})]=-(1^{-p})$

Poi non so come continuare.

Il risultato del professore è $-p{cos(\pip)}/{sen(\pip)}$ dove $0
Potete, per favore, aiutarmi?

[anonymous_0b37e9]

Ricordando che sul taglio superiore $[z^p=x^p]$ e sul taglio inferiore $[z^p=e^(i2\pip)x^p]$:

$\int_{r_1}^{1-r_2}1/(x^p(1-x))dx+\int_{SC_(r_2)}f(z)dz$ (semicirconferenza superiore oraria) $+$

$+\int_{1+r_2}^{R}1/(x^p(1-x))dx+\int_{C_R}f(z)dz$ (circonferenza antioraria) $+$

$-\int_{1+r_2}^{R}1/(e^(i2\pip)x^p(1-x))dx+\int_{SC_(r_2)}f(z)dz$ (semicirconferenza inferiore oraria) $+$

$-\int_{r_1}^{1-r_2}1/(e^(i2\pip)x^p(1-x))dx+\int_{C_(r_1)}f(z)dz$ (circonferenza oraria) $=0$

Passando al limite e applicando i lemmi del piccolo e del grande cerchio:

$[lim_(r_1->0^+)\int_{C_(r_1)}f(z)dz=0] ^^ [lim_(R->+oo)\int_{C_R}f(z)dz=0] ^^$

$^^ [lim_(r_2->0^+)\int_{SC_(r_2)}f(z)dz=i\pi]$ (superiore) $^^ [lim_(r_2->0^+)\int_{SC_(r_2)}f(z)dz=(i\pi)/(e^(i2\pip))]$ (inferiore) $rarr$

$rarr (1-1/e^(i2\pip))[V.P.\int_{0}^{+oo}1/(x^p(1-x))dx]+i\pi(1+1/e^(i2\pip))=0 rarr$

$rarr V.P.\int_{0}^{+oo}1/(x^p(1-x))dx=-i\pi(e^(i2\pip)+1)/(e^(i2\pip)-1)=-\picos(\pip)/sin(\pip)$

[Archwing]

Grazie mille.