Integrazione con tecniche di variabile complessa(residui, lemma di Jordan,teorema di Cauchy,....)
Salve a tutti. è la prima volta che scrivo sul forum di analisi superiore: avrei una domanda specifica su un integrale datoci a lezione:
Calcolare $I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ax}}{(1+e^x)cosh(x)}dx, a \in )0,1( $
Allora, senza dilungarmi troppo in spiegazioni teoriche, io ho preso quella che il prof ha definito senza alcuna spiegazione di cosa significhi
$f(z) = \frac{e^(az)}{(1+e^z)coshz}$
Questa funzione ha dei poli singoli in $z = i\pi +2ik\pi, z = i\pi/2 + ik\pi $
Per integrare ho scelto, come già visto a lezione, un percorso che ho postato nell'immagine allegata, e ho usato il teorema dei residui per calcolare l'integrale cercato.
Ho provato a calcolare l'integrale della mia funzione sul cammino $\gamma_2$ . Sono arrivato a questo e poi mi sono bloccato:
Parametrizzo il segmento come $\gamma_2: b+iy, y \in [0,2pi]$
$ lim_{b->\infty} \int_{0}^{2pi} \frac{2e^{(a+1)(b+iy)}}{e^{3(b+iy)}+e^{2(b+iy)}+e^{b+iy}+1} i dy $
Non so bene come risolverlo (dovrebbe fare zero secondo la soluzione dell'esercizio, tuttavia non lo svolge dice solamente che gli integrali su $\gamma_{2,4}$ si annullano per $b -> \infty$)
Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolverlo? Mi farebbe piacere se nelle vostre risposte non lasciaste nulla di ciò che fate per scontato, ovvero vorrei capire i ragionamenti passo passo siccome devo ancora prendere la mano con questo tipo di integrali.
Ringrazio in anticipo chi vorrà darmi un aiuto
Calcolare $I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ax}}{(1+e^x)cosh(x)}dx, a \in )0,1( $
Allora, senza dilungarmi troppo in spiegazioni teoriche, io ho preso quella che il prof ha definito senza alcuna spiegazione di cosa significhi
continuazione analitica banale della funzione in $\CC$', ovvero :
$f(z) = \frac{e^(az)}{(1+e^z)coshz}$
Questa funzione ha dei poli singoli in $z = i\pi +2ik\pi, z = i\pi/2 + ik\pi $
Per integrare ho scelto, come già visto a lezione, un percorso che ho postato nell'immagine allegata, e ho usato il teorema dei residui per calcolare l'integrale cercato.
Ho provato a calcolare l'integrale della mia funzione sul cammino $\gamma_2$ . Sono arrivato a questo e poi mi sono bloccato:
Parametrizzo il segmento come $\gamma_2: b+iy, y \in [0,2pi]$
$ lim_{b->\infty} \int_{0}^{2pi} \frac{2e^{(a+1)(b+iy)}}{e^{3(b+iy)}+e^{2(b+iy)}+e^{b+iy}+1} i dy $
Non so bene come risolverlo (dovrebbe fare zero secondo la soluzione dell'esercizio, tuttavia non lo svolge dice solamente che gli integrali su $\gamma_{2,4}$ si annullano per $b -> \infty$)
Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolverlo? Mi farebbe piacere se nelle vostre risposte non lasciaste nulla di ciò che fate per scontato, ovvero vorrei capire i ragionamenti passo passo siccome devo ancora prendere la mano con questo tipo di integrali.
Ringrazio in anticipo chi vorrà darmi un aiuto
Risposte
Per mostrare che i contributi sui lati verticali vanno a zero ti basta maggiorare l'integrando in modulo con qualcosa che va a zero quando $b -> oo$... Prova un po' con le disuguaglianze standard (la triangolare, ad esempio), ma tieni pure presente che per maggiorare una frazione positiva ti basta diminuirne il denominatore o aumentarne il numeratore.
Ciao SteezyMenchi,
Considerando che $0 < a < 1 $, direi che ti conviene usare l'integrale nella forma seguente:
$\int_0^{2\pi} \frac{e^{(a-1)(b+iy)}}{(1 + e^{-b - iy}) cosh(b+iy)} i \text{d}y $
Per il denominatore userei la catena di disuguaglianze seguente:
$|(1 + e^{-b - iy}) cosh(b+iy)| = |1 + e^{-b - iy}| \cdot (|e^{b + iy} + e^{- b - iy}|)/2 \ge $
[tex]\ge \lvert 1 - |e^{-b - iy}| \rvert \cdot \frac{|e^{b + iy}| - |e^{- b - iy}|}{2} = \frac{1}{2} (1 - e^{- b}) (e^b - e^{- b}) \ge \frac{1}{4} e^b (1 - e^{- b})[/tex]
per $b \ge 1/2 ln(2) $
Quindi si ha:
$ |\int_0^{2\pi} \frac{e^{(a-1)(b+iy)}}{(1 + e^{-b - iy}) cosh(b+iy)} i \text{d}y| \le \int_0^{2\pi} \frac{e^{(a-1)b}}{ 1/4 e^b (1 - e^{- b})} \text{d}y = 4 \int_0^{2\pi} e^{(a-2)b}/(1 - e^{- b}) \text{d}y = 8\pi \frac{e^{(a-2)b}}{1 - e^{- b}} $
Dato che $0 < a < 1 \implies - 2 < (a - 2) < - 1 $, ne consegue che si ha $\lim_{b \to +\infty} 8\pi \frac{e^{(a-2)b}}{1 - e^{- b}} = 0 $
Per l'integrale su $\gamma_4 $ si può procedere in modo analogo.
Considerando che $0 < a < 1 $, direi che ti conviene usare l'integrale nella forma seguente:
$\int_0^{2\pi} \frac{e^{(a-1)(b+iy)}}{(1 + e^{-b - iy}) cosh(b+iy)} i \text{d}y $
Per il denominatore userei la catena di disuguaglianze seguente:
$|(1 + e^{-b - iy}) cosh(b+iy)| = |1 + e^{-b - iy}| \cdot (|e^{b + iy} + e^{- b - iy}|)/2 \ge $
[tex]\ge \lvert 1 - |e^{-b - iy}| \rvert \cdot \frac{|e^{b + iy}| - |e^{- b - iy}|}{2} = \frac{1}{2} (1 - e^{- b}) (e^b - e^{- b}) \ge \frac{1}{4} e^b (1 - e^{- b})[/tex]
per $b \ge 1/2 ln(2) $
Quindi si ha:
$ |\int_0^{2\pi} \frac{e^{(a-1)(b+iy)}}{(1 + e^{-b - iy}) cosh(b+iy)} i \text{d}y| \le \int_0^{2\pi} \frac{e^{(a-1)b}}{ 1/4 e^b (1 - e^{- b})} \text{d}y = 4 \int_0^{2\pi} e^{(a-2)b}/(1 - e^{- b}) \text{d}y = 8\pi \frac{e^{(a-2)b}}{1 - e^{- b}} $
Dato che $0 < a < 1 \implies - 2 < (a - 2) < - 1 $, ne consegue che si ha $\lim_{b \to +\infty} 8\pi \frac{e^{(a-2)b}}{1 - e^{- b}} = 0 $
Per l'integrale su $\gamma_4 $ si può procedere in modo analogo.
Grazie mille ad entrambi ragazzi 
Prego... Certo che con te non bisogna avere fretta eh: credo che dopo due mesi né gugo82 né io ci saremmo mai aspettati una risposta: casomai nel frattempo hai già sostenuto l'esame e magari ti sei pure laureato...
si scusatemi. No tranquillo pilloeffe ho l'esame il 20 giugno. Il fatto è che sono stato super impegnatissimo. Gestire tre corsi di cui uno davvero molto complicato mi leva tantissimo tempo purtroppo. Mi scuso davvero per non aver risposto prima 
Il fatto è che ho notato che con questi esercizi molto spesso per usare il lemma di Jordan e degli archi infinitesimi dovrei verificare ogni volta tutte le ipotesi. Mentre molto spesso mi trovo molto meglio a dire vabbè cerco di boundare superiormente il modulo dell'intero integrale con le disuguaglianze classiche e poi cerco di vedere se la quantità ottenuta va a zero quando mando i parametri a zero o a infinito.
Il fatto è che ho notato che con questi esercizi molto spesso per usare il lemma di Jordan e degli archi infinitesimi dovrei verificare ogni volta tutte le ipotesi. Mentre molto spesso mi trovo molto meglio a dire vabbè cerco di boundare superiormente il modulo dell'intero integrale con le disuguaglianze classiche e poi cerco di vedere se la quantità ottenuta va a zero quando mando i parametri a zero o a infinito.
"SteezyMenchi":
Mi scuso davvero per non aver risposto prima
Ma figurati, nessun problema, è che tipicamente chi ci risponde lo fa nell'arco di una settimana, se no si dà per scontato che non lo farà più...
Se poi invece succede... Meglio! 
"SteezyMenchi":
Il fatto è che ho notato che con questi esercizi molto spesso per usare il lemma di Jordan e degli archi infinitesimi dovrei verificare ogni volta tutte le ipotesi.
Qui per esperienza (vissuta) posso dirti che tipicamente negli integrali proposti nelle prove scritte tutte le ipotesi sono verificate: poi ovviamente non conosco il tuo professore e non so che tipo sia e quindi non so se dissemina qualche tranello nelle prove scritte, ma insomma in linea di massima tenderei ad escluderlo...
Sì in effetti ogni volta che ho controllato ci trovavamo sotto le ipotesi giuste però in sede d’esame voglio stare certo di non commettere errori del tipo ah sì questo integrale su questa curva è nullo perché sicuramente vale il lemma di Jordan e inoltre deve essere zero altrimenti non tornerebbe l’esercizio. Il prof, sebbene sia uno molto pratico e non molto rigoroso, odia queste approcci braindead, che molto spesso purtroppo funzionano negli esercizi base.
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