Determinare parte reale di una funzione olomorfa
Ciao a tutti, sto avendo molta difficoltà a risolvere questo esercizio:
Sia $ u(x, y) = e^(x^2−y^2) cos(2xy) $. Determinare una funzione olomorfa $ f : C → C $ di cui $ u(x, y) $ sia
la parte reale.
Ora, io ho ragionato con le equazioni di Cauchy-Riemann:
$ { ( (partial u)/(partial x)=(partial v)/(partial y) ),( (partial u)/(partial y)=-(partial v)/(partial x) ):} $
Quindi, ho calcolato la $ (partial u)/(partial x) $ che viene:
$ 2e^(x^2-y^2)(xcos(2xy)-ysin(2xy)) $
A questo punto mi blocco: per trovare $ v(x,y) $ dovrei integrare rispetto a $ y $ la derivata che ho calcolato, solo che viene un integrale abbastanza complicato e credo sia la strada sbagliata...
Ringrazio in anticipo per eventuali suggerimenti
Sia $ u(x, y) = e^(x^2−y^2) cos(2xy) $. Determinare una funzione olomorfa $ f : C → C $ di cui $ u(x, y) $ sia
la parte reale.
Ora, io ho ragionato con le equazioni di Cauchy-Riemann:
$ { ( (partial u)/(partial x)=(partial v)/(partial y) ),( (partial u)/(partial y)=-(partial v)/(partial x) ):} $
Quindi, ho calcolato la $ (partial u)/(partial x) $ che viene:
$ 2e^(x^2-y^2)(xcos(2xy)-ysin(2xy)) $
A questo punto mi blocco: per trovare $ v(x,y) $ dovrei integrare rispetto a $ y $ la derivata che ho calcolato, solo che viene un integrale abbastanza complicato e credo sia la strada sbagliata...
Ringrazio in anticipo per eventuali suggerimenti
Risposte
Vabbè, scusa, ma osserva bene il risultato... A parte i contazzi, non ti viene proprio nulla in mente?
Non è che quella robaccia lì è la derivata rispetto ad $y$ di qualcosa di simile, ma col seno?
In alternativa alle CRE, potresti osservare che $cos theta = "Re"(e^(i theta))$, quindi:
$u(x,y) = "Re"(e^((x^2 - y^2) + i (2xy)))$
e che $(x^2 - y^2) + i (2xy)$ è una funzione molto nota.
Non è che quella robaccia lì è la derivata rispetto ad $y$ di qualcosa di simile, ma col seno?
In alternativa alle CRE, potresti osservare che $cos theta = "Re"(e^(i theta))$, quindi:
$u(x,y) = "Re"(e^((x^2 - y^2) + i (2xy)))$
e che $(x^2 - y^2) + i (2xy)$ è una funzione molto nota.
Ciao Jon284,
Beh, a parte il fatto che anch'io avrei proceduto come ti ha già suggerito gugo82, in realtà l'integrale che viene non mi pare poi così complicato:
$\int 2e^(x^2-y^2)(xcos(2xy)-ysin(2xy)) \text{d}y = e^{x^2 - y^2} sin(2xy) + c $
Tieni presente che quando integri rispetto ad una variabile (la $y$ nel caso specifico), le altre variabili (la $x$ nel caso specifico) vanno considerate come costanti.
"Jon284":
per trovare $v(x,y)$ dovrei integrare rispetto a $y$ la derivata che ho calcolato, solo che viene un integrale abbastanza complicato [...]
Beh, a parte il fatto che anch'io avrei proceduto come ti ha già suggerito gugo82, in realtà l'integrale che viene non mi pare poi così complicato:
$\int 2e^(x^2-y^2)(xcos(2xy)-ysin(2xy)) \text{d}y = e^{x^2 - y^2} sin(2xy) + c $
Tieni presente che quando integri rispetto ad una variabile (la $y$ nel caso specifico), le altre variabili (la $x$ nel caso specifico) vanno considerate come costanti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo