Residuo all'infinito

[tgrammer]

chiedo gentilmente un aiuto su come espandere $ f(z)=(√(z-1)√z)/(z+i) $ attorno a $ z=oo $ .

è giusto procedere per sostituzione $ t=1/z $ in modo tale che quando $ z->oo $ allora $ t->0 $ e posso usare gli sviluppi con cui si è soliti lavorare?

facendo così non riesco però a trovare la stessa espansione che mi dà il libro

a me viene $ ((1-t/2-t^2/8)/(1+it)) $ ...

dovrei arrivare a calcolare il residuo che è $ 1/2+i $

[tgrammer]

up

[Studente Anonimo]

"tgrammer":
è giusto procedere per sostituzione $ t=1/z $ in modo tale che quando $ z->oo $ allora $ t->0 $ e posso usare

No.

Se tu hai una funzione \(f(z) \) di cui vuoi calcolare il residuo all'infinito allora equivale a calcolare il residuo di \[ - \frac{f\left( \frac{1}{\omega} \right)}{\omega^2} \]

Questo lo puoi notare facendo un cambio di variabile nel seguente integrale. Fissa \(M >0 \) molto grande allora
\[ \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D(0,M)} f(z)dz = \oint_{\partial D(0 ,1/M)} f\left( \frac{1}{\omega} \right) \left(- \frac{1}{\omega^2}\right) d\omega = - \oint_{\partial D(0 ,1/M)} \frac{f\left( \frac{1}{\omega} \right)}{\omega^2} d\omega \]

Allora ponendo la funzione \( \omega \mapsto g(\omega) = - \frac{f\left( \frac{1}{\omega} \right)}{\omega^2} \) hai che
\[ \operatorname{res}(f,\infty) = \operatorname{res}(g,0) \]

[tgrammer]

correggimi se sbaglio: io arrivo all'espressione
$ g(omega)=-(√(1/omega^2-1/omega)*(omega/(1+iomega)))/omega^2 $ $ =-(√(1-omega)*(1/(1+iomega)))/omega^2 $ ma non viene il risultato che ho riportato

[Studente Anonimo]

Ad occhio hai sbagliato nei conti, non ho troppa voglia di controllarli però.
Ad ogni modo il residuo wolframalpha mi dice essere \( -1/2 + i \) e non \( 1/2 + i \).

[tgrammer]

i conti li ho fatti più e più volte.. spero che qualcuno possa darmi una mano a capire il procedimento esplicitamente perchè non capisco cosa sbaglio

[pilloeffe]

Ciao tgrammer,

A me invece risulta proprio

$\text{Res}[f(z), 0] = - \text{Res}[1/\omega^2 f(1/\omega), 0] = \text{Res}[g(\omega), 0] = \text{Res}[- (\sqrt{1-\omega}(1/(1+i\omega)))/\omega^2, 0] = 1/2 + i $

confermato anche da WolframAlpha: Res[g(w),0]

[Studente Anonimo]

"3m0o":Ad occhio hai sbagliato nei conti, non ho troppa voglia di controllarli però.
Ad ogni modo il residuo wolframalpha mi dice essere \( -1/2 + i \) e non \( 1/2 + i \).

Si ha ragione pilloeffe, ho per sbaglio considerato come funzione \( \frac{ \sqrt{z-1} \sqrt{z}}{z-i} \) e non \( \frac{ \sqrt{z-1} \sqrt{z}}{z+i} \). Scusa