Convoluzione, dubbio su teoria?

[Omi1]

Salve a tutti, studiando metodi matematici, mi sono imbattuto nella convoluzione. Tutto mi è abbastanza chiaro, tranne quando espone queste due proprietà senza però alcun passaggio algebrico:

-$ u(t)*u(t)=tu(t) $

- $ x*u(t)=int_(-oo )^(+oo ) x(s)u(t-s) ds=int_(-oo )^(t) x(s)ds $

P.S Dove ho messo il per si tratta di convoluzione, non sono riuscito a trovare il simbolo.

[pilloeffe]

Ciao Omi,

Partirei dalla seconda, perché la prima non è altro che la seconda nel caso particolare $x(t) = u(t) $.
Basta applicare la definizione di prodotto di convoluzione:

$x(t) \ast u(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(s) u(t - s) \text{d}s $

Ma $u(t - s) = 1 $ per $s < t $, altrimenti vale $0$, per cui si ha:

$x(t) \ast u(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(s) u(t - s) \text{d}s = \int_{-\infty}^{t} x(s) u(t - s) \text{d}s + \int_{t}^{+\infty} x(s) u(t - s) \text{d}s = $
$ = \int_{-\infty}^{t} x(s) \text{d}s + \int_{t}^{+\infty} x(s) \cdot 0 \text{d}s = \int_{-\infty}^{t} x(s) \text{d}s $

La prima è un caso particolare della seconda con $x(t) = u(t) $:

$u(t) \ast u(t) = \int_{-\infty}^{t} u(s) \text{d}s = t u(t) = r(t) $

ove $r(t) $ è la funzione rampa.

[Omi1]

Ciao Pilo, grazie per la gentile risposta. E' proprio questo il mio dubbio, perchè nel secondo integrale u(t-s) vale zero? Cioè nell'intervallo [t,+inf] affinchè la funzione di Heaviside valga zero, deve risultare come hai scritto che t

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[pilloeffe]

"Omi":affinchè la funzione di Heaviside valga zero, deve risultare come hai scritto che t
Beh, la definizione di funzione di Heaviside:

$u(t) := {(1 \text{ se } t \ge 0),(0 \text{ se } t < 0):} $

Pertanto si ha:

$u(t - s) := {(1 \text{ se } t - s \ge 0 \iff s \le t),(0 \text{ se } t - s < 0 \iff s > t):} $

[Omi1]

Ah no stupidamente non mi rendevo conto che nell'integrale t assume una volta ruolo di estremo inferiore e una volta ruolo di estremo superiore. Ti ringrazio per l'aiuto. Posso chiederti anche un altro dubbio che ho sull'uguaglianza di Parceval? O mi consigli di aprire un altro topic?

[pilloeffe]

"Omi":O mi consigli di aprire un altro topic?

Sì, consiglio di aprire un altro topic...

[Omi1]

Ok grazie mille!