Operatore unitario
un esercizio mi chiede di dimostrare che l'operatore lineare $ T:H->H $ la cui azione sugli elementi del sistema ortonormale completo $ {e^((n))}_{n=1}^oo $ è $ T(e^((n)))=(e^((2n-1))+e^((2n)))/(√2) $, non è unitario.
dovrei riuscire a spiegare che non è unitario perchè non è invertibile, dal momento che i vettori $ e^((2n-1))-e^((2n)) $ sono ortogonali a tutti i vettori di $ Im(T) $.
so che l'ortogonalità, in generale, è soddisfatta se il prodotto scalare tra due qualsiasi vettori (diversi) del sistema ortonormale completo è nullo.
qui, non riesco a capire come mai prende la differenza $ e^((2n-1))-e^((2n)) $ per la dimostrazione.
inoltre, volevo chiedervi quali fossero gli altri casi in cui un operatore è non invertibile e quindi non unitario. oltre al caso citato, c'è quello in cui T non è suriettivo. ma altre spiegazioni della non invertibilità quali potrebbero essere?
dovrei riuscire a spiegare che non è unitario perchè non è invertibile, dal momento che i vettori $ e^((2n-1))-e^((2n)) $ sono ortogonali a tutti i vettori di $ Im(T) $.
so che l'ortogonalità, in generale, è soddisfatta se il prodotto scalare tra due qualsiasi vettori (diversi) del sistema ortonormale completo è nullo.
qui, non riesco a capire come mai prende la differenza $ e^((2n-1))-e^((2n)) $ per la dimostrazione.
inoltre, volevo chiedervi quali fossero gli altri casi in cui un operatore è non invertibile e quindi non unitario. oltre al caso citato, c'è quello in cui T non è suriettivo. ma altre spiegazioni della non invertibilità quali potrebbero essere?
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