Continuita' vs differenziabilita' soluzioni DAE lineari
ciao,
ho un dubbio relativo alle equazioni differenziali-algebriche (DAE: Differential Algebaric Equations).
Consideriamo la DAE lineare tempo-invariante $Ax' + Bx = q(t)$ con $q(t)$ funzione continua in un intervallo $I sub RR$. Le matrici $A$ e $B$ sono quadrate n x n ed $x in RR^n$. In generale tale DAE puo' ammettere un vettore soluzione $x(t)$ in cui ciascuna componente e' continua in $I$ ma non necessariamente differenziabile.
In letteratura tale DAE si ritrova formulata nel modo $A(Px)' + Bx = q(t)$ con $P$ proiettore lungo $KerA$.
Da un punto di vista algebrico e' chiaro che $AP=A$ ma non riesco a far vedere formalmente che una qualunque soluzione $x(t)$ deve esser tale che $Px(t)$ e' necessariamente di classe $C^1$ nell'intervallo $I$.
Help ! Grazie
ho un dubbio relativo alle equazioni differenziali-algebriche (DAE: Differential Algebaric Equations).
Consideriamo la DAE lineare tempo-invariante $Ax' + Bx = q(t)$ con $q(t)$ funzione continua in un intervallo $I sub RR$. Le matrici $A$ e $B$ sono quadrate n x n ed $x in RR^n$. In generale tale DAE puo' ammettere un vettore soluzione $x(t)$ in cui ciascuna componente e' continua in $I$ ma non necessariamente differenziabile.
In letteratura tale DAE si ritrova formulata nel modo $A(Px)' + Bx = q(t)$ con $P$ proiettore lungo $KerA$.
Da un punto di vista algebrico e' chiaro che $AP=A$ ma non riesco a far vedere formalmente che una qualunque soluzione $x(t)$ deve esser tale che $Px(t)$ e' necessariamente di classe $C^1$ nell'intervallo $I$.
Help ! Grazie
Risposte
Ho postato la domanda in questa sezione (in quanto contiene anche argomenti di algebra lineare) tuttavia se lo ritenete opportuno spostatela in altre sezioni piu' idonee (es Analisi superiore)
Help !
Forse la domanda non e' chiara....Potrebbe esistere una soluzione $x(t)$ della DAE $A(Px)' + Bx = q(t)$ per cui le componenti del vettore $Px(t)$ sono derivabili ma non di classe $C^1$ nell'intervallo $I$ ?
Forse la domanda non e' chiara....Potrebbe esistere una soluzione $x(t)$ della DAE $A(Px)' + Bx = q(t)$ per cui le componenti del vettore $Px(t)$ sono derivabili ma non di classe $C^1$ nell'intervallo $I$ ?
Secondo me nel primo messaggio c’è un typo. La prima equazione che hai scritto è una ODE standard. Poi, non ho capito, $Px\in \ker(A)$? In questo caso, però, $(Px)’\in \ker(A)$. E quindi $A(Px)’=0$. Non capisco.
Credo che con proiezione “lungo $text(ker)A$” intenda la proiezione sul complemento di $text(ker)A$ non su $text(ker)A$… Terminologia infelice.
Ad ogni modo, credo che il punto sia che le informazioni sulla derivabilità non sono necessarie/ricavabili per le componenti della soluzione $x(t)$ le cui derivate appartengono a $text(ker)A$. Ma comunque mi pare una forzatura, perché è la definizione stessa di soluzione classica di un sistema di ODE che richiede che la soluzione sia derivabile nell’intervallo di definizione.
Quindi potrebbe essere necessario conoscere la definizione di soluzione che ti hanno dato.
P.S.: Ingegnere?
Ad ogni modo, credo che il punto sia che le informazioni sulla derivabilità non sono necessarie/ricavabili per le componenti della soluzione $x(t)$ le cui derivate appartengono a $text(ker)A$. Ma comunque mi pare una forzatura, perché è la definizione stessa di soluzione classica di un sistema di ODE che richiede che la soluzione sia derivabile nell’intervallo di definizione.
Quindi potrebbe essere necessario conoscere la definizione di soluzione che ti hanno dato.
P.S.: Ingegnere?
"gugo82":
Credo che con proiezione “lungo $text(ker)A$” intenda la proiezione sul complemento di $text(ker)A$ non su $text(ker)A$… Terminologia infelice.
Corretto, $P$ e' un proiettore caratterizzato da $text(Im)P = text(Im)A$ e $text(ker)P = text(ker)A$
"gugo82":
Ma comunque mi pare una forzatura, perché è la definizione stessa di soluzione classica di un sistema di ODE che richiede che la soluzione sia derivabile nell’intervallo di definizione.
Ecco ma il punto e' proprio quello: non l'ho esplicitamente detto prima ma si suppone che $A$ sia singolare -- diversamente con $A$ non singolare il sistema e' una ODE e quindi come dici giustamente $x(t)$ a quel punto e' di classe $C^1$ quando $q(t)$ e' di classe $C$.
"gugo82":Gia' e' una specie di malattia
P.S.: Ingegnere?
Secondo me ci vuole un esempio. Se \(A=\begin{bmatrix}1 &0 \\ 0 &0 \end{bmatrix}\) e \(B=0\), che cosa diventa quel sistema? forse questo esempio è troppo banale. Proponine tu un altro più interessante, in questo caso. Sempre con matrici 2x2. Bisogna sporcarsi un po’ le mani con qualche conto ma non troppo difficile.
Immagino che, finché la soluzione resta lontana dal nucleo di A, tutto è regolare. Quando però va a sbattere sul nucleo di A si forma una shock wave. Se le cose stanno così allora la soluzione è Lipschitz.
Tutto questo è solo una elucubrazione da quattro soldi, prima di tutto c’è da vedere un esempio.
Immagino che, finché la soluzione resta lontana dal nucleo di A, tutto è regolare. Quando però va a sbattere sul nucleo di A si forma una shock wave. Se le cose stanno così allora la soluzione è Lipschitz.
Tutto questo è solo una elucubrazione da quattro soldi, prima di tutto c’è da vedere un esempio.
@cianfa72: Sì, va bene, ma la domanda rimane: qual è la nozione di soluzione che utilizzi?
"gugo82":
@cianfa72: Sì, va bene, ma la domanda rimane: qual è la nozione di soluzione che utilizzi?
Se assumo la definizione "Assegnata la DAE $A(Px)' + Bx = q(t)$ con $q(t)$ continua il vettore $x(t)$ di funzioni continue con $Px(t)$ di classe $C^1$ e' soluzione se la soddisfa puntualmente per ogni $t$ appartenente all'intervallo $I$ " allora "by definition" $Px(t)$ e' di classe $C^1$.
La mia domanda e' capire se possono esistere $Px(t)$ anche non di classe $C^1$ che risolvono puntualmente la DAE assegnata.
"cianfa72":
La mia domanda e' capire se possono esistere $Px(t)$ anche non di classe $C^1$ che risolvono puntualmente la DAE assegnata.
Ragionandoci su secondo me la risposta e' negativa.
Assumiamo $q(t)$ vettore di funzioni continue e $x(t)$ soluzione puntuale della DAE. Ovviamente le componenti del vettore $Px(t)$ devono essere derivabili affinche' $(Px(t))'$ esista.
D'altra parte $A(Px(t))'$ deve essere continua (ovvero tutte le sue funzioni componenti continue) in quanto $A(Px)' = - Bx + q$.
$Px(t)$ e $(Px)'$ appartengono allo stesso sottospazio $S$ complementare di $text(Ker)A$ ($P$ infatti e' un proiettore lungo $text(Ker)A$). Consideriamo allora $y = A(Px)'$ in cui $y(t)$ abbiamo detto esser continua. A questo punto facciamo un cambio di coordinate completando una base di $text(Ker)A$; in questa base la matrice $A$ diventa:
$[[A_1,0]]$
Allo stesso tempo il vettore $(Px)$ e quindi $z=(Px)'$ nella base scelta si scrive
$z = [[z_1],[z_2],[...],[z_r],[0] ]$
Le componenti $z_1, z_2,...,z_r$ si scrivono come combinazione lineare delle componenti di $y$ (nella base scelta) per cui anche'esse sono funzioni continue. Il cambiamento di base inverso porta quindi a concludere che $(Px)'$ e' anch'essa continua ovvero $Px$ di classe $C^1$.
Vi torna ? grazie
"cianfa72":
Vi torna ? grazie
Help !
Non ci ho pensato troppo ma mi sembra sia corretto ciò che dici. Scrivere l’equazione come hai fatto nel primo post è compatto ed elegante, ma poi all’atto pratico credo sia inevitabile scomporre
\[
x=Px + (I-P)x, \]
(e adesso capisco anche il perché di quelle domande sui proiettori in Geometria). L’equazione diventa
\[
A\dot{Px} + BPx + B(I-P)x =q, \]
e adesso \(Px\) e \((I-P)x\) vanno trattate come due variabili indipendenti.
In realtà, la tua domanda non era ben posta fin dall’inizio, perché è una domanda di definizioni; in matematica la prima cosa che si dovrebbe fare è proprio scrivere la definizione di soluzione. E questa dovrebbe includere tutte le osservazioni sulla differenziabilità che hai fatto qui. Capisco però che quasi sempre su questo si tira via. Stai scrivendo una tesi?
\[
x=Px + (I-P)x, \]
(e adesso capisco anche il perché di quelle domande sui proiettori in Geometria). L’equazione diventa
\[
A\dot{Px} + BPx + B(I-P)x =q, \]
e adesso \(Px\) e \((I-P)x\) vanno trattate come due variabili indipendenti.
In realtà, la tua domanda non era ben posta fin dall’inizio, perché è una domanda di definizioni; in matematica la prima cosa che si dovrebbe fare è proprio scrivere la definizione di soluzione. E questa dovrebbe includere tutte le osservazioni sulla differenziabilità che hai fatto qui. Capisco però che quasi sempre su questo si tira via. Stai scrivendo una tesi?
"dissonance":
\[A\dot{Px} + BPx + B(I-P)x =q \]
Scusami ma dovrebbe essere \( AP\dot{x} + BPx + B(I-P)x =q\) in cui \(A\), \(B\) e quindi \(P\) e \((I - P)\) sono delle matrici costanti.
"dissonance":
e adesso \(Px\) e \((I-P)x\) vanno trattate come due variabili indipendenti.
non sono sicuro di aver capito....perche' parli di variabili indipendenti ?
Comunque no, non sto scrivendo tesi....
"cianfa72":
[quote="dissonance"]\[A\dot{Px} + BPx + B(I-P)x =q \]
Scusami ma dovrebbe essere \( AP\dot{x} + BPx + B(I-P)x =q\) in cui \(A\), \(B\) e quindi \(P\) e \((I - P)\) sono delle matrici costanti.
[/quote]
?
L’unica differenza che vedo tra le due formule è il puntino su \(Px\) invece che su \(x\). Ma se é solo quello, é uguale, P é una costante, la derivata commuta.
"dissonance":
e adesso \(Px\) e \((I-P)x\) vanno trattate come due variabili indipendenti.
Se scrivi \(x=y+z\), dove \(y=Px, z=(I-P)x\), quella roba diventa
\[
A\dot y + By + Bz =q.\]
È esattamente la stessa cosa che hai fatto tu prima. Ora è una sola equazione ma con due variabili. Formalmente è sempre lo stesso.
"dissonance":
L’unica differenza che vedo tra le due formule è il puntino su \(Px\) invece che su \(x\). Ma se é solo quello, é uguale, P é una costante, la derivata commuta.
ah ok, quindi con il puntino su \(Px\) intendevi \( \dot{(Px)} = (Px)' \). Comunque come dicevi penso che tutto ruoti attorno alla questione delle definizioni: scrivendo $A\dot{x} + Bx = q$ implicitamente stiamo richiedendo che la soluzione $x(t)$ sia differenziabile altrimenti l'equazione stessa non ha senso non esistendo il vettore $\dot{x}$.
In realta' invece nella formulazione $A(Px)' + Bx = q$ sono ammissibili anche soluzioni $x(t)$ in cui non necessariamente tutte le componenti sono differenziabili (basta che $(Px)'$ lo sia). Quindi una soluzione della prima formulazione e' anche soluzione della seconda ma in generale non viceversa.
Certo. In ogni caso, se \(q\) è C^1 spariscono tutti i problemi. Può darsi che in pratica sia sempre così.
La roba che ho detto prima, con le shock wave, ignorala per favore. Quella è una intuizione che mi viene da un altro problema, ma questo è diverso, me ne sono convinto.
La roba che ho detto prima, con le shock wave, ignorala per favore. Quella è una intuizione che mi viene da un altro problema, ma questo è diverso, me ne sono convinto.
"dissonance":
Certo. In ogni caso, se \(q\) è C^1 spariscono tutti i problemi. Può darsi che in pratica sia sempre così.
Aspetta...se $q(t)$ e' $C^1$ perche' dici che scompaiono tutti i problemi ? Non sarebbe ancora possibile una soluzione $x(t)$ di tipo $C^0$ con $(Px)'$ continua (ovvero $Px$ di classe $C^1$) ?
A priori si, poi il tuo ragionamento mostra che \(Px\) in realtà è C2, mentre l’altra componente potrebbe essere solo C1.
"dissonance":
A priori si, poi il tuo ragionamento mostra che \(Px\) in realtà è C2, mentre l’altra componente potrebbe essere solo C1.
Perdonatemi se torno sull'argomento....cerca cerca ho trovato la seguente formulazione nel paper "Linear index-1 DAE: regular and singular problems" R. Riaza, R. Marz
Unico punto di cui ho un dubbio e' il discorso alla fine sulla biezione. A me sembra ci sia un typo: la biezione di cui si parla dovrebbe essere tra l'unione disgiunta $uuu_{b in C^k} {b} text(x) M_b(t_0)$ e $C_A^{k+1}$ e non un suo sottospazio.
In altre parole il typo secondo me e' che in luogo di onto a subspace of $C_A^{k+1}$ dovrebbe essere onto a subspace of $C^k$.
Si, guarda, per stabilire questa cosa basta considerare un esempio semplice. Se \[A=\begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, \ B=0, \]
che succede? Io penso che il tutto si riduca a
\[
\dot{x}_1= q_1,\quad x_2=q_2.\]
Quindi se \(q\) è C^k, \(x\) è C^k, visto che \( x_1\in C^{k+1}, x_2\in C^k\). Un esempio vale più di mille parole
che succede? Io penso che il tutto si riduca a
\[
\dot{x}_1= q_1,\quad x_2=q_2.\]
Quindi se \(q\) è C^k, \(x\) è C^k, visto che \( x_1\in C^{k+1}, x_2\in C^k\). Un esempio vale più di mille parole
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