Cambio coordinate integrale triplo

[alby09090909]

Ciao!
Io ho questo dominio su cui fare un integrale triplo: $D = {(x,y,z): x^2 <= z <= 2, y^2 <= z<= 2 }$ dove l'integrale è $ \int int int x^2 + z^2 dxdydz $
La mia idea è stata a fare il cambio di coordinate $ u = \frac{z}{x^2}$ e/o $ v = \frac{z}{y^2} $ ma non giungo a nulla.
Avete suggerimenti su che sistema di coordinate utilizzare?

[alby09090909]

Forse non mi serve nessun cambio di coordinate e devo integrare per strati?

[gugo82]

Beh, innanzitutto il cambiamento di variabili che proponi non ha molto senso.
Poi,se fai un disegno, si vede che le sezioni di $D$ con piani perpendicolari all'asse $z$ sono figure molto semplici, quindi...

[pilloeffe]

"gugo82":Beh, innanzitutto il cambiamento di variabili che proponi non ha molto senso.

Concordo con gugo82: il cambiamento di variabili che proponi non ti dà alcun vantaggio, anzi oserei dire che ti complica non poco le cose...
Opterei invece per le coordinate cilindriche.
Per caso conosci il risultato? Se non ho fatto male i conti risulta

$\int\int\int_D (x^2 + z^2) "d"x"d"y"d"z = 32/3 \pi $

[gugo82]

Scusa, pillo, ma quel $pi$ non lo vedo, come pure non vedo le coordinate cilindriche.

Il dominio $D$ d'integrazione è quello delimitato dai cilindri parabolici di equazione $z=x^2$ e $z=y^2$ e dal piano di equazione $z=2$.
Le sezioni di $D$ con il piano $z=k$ perpendicolare all'asse $z$ (con $0 <= k <= 2$) sono quadrati di centro in $(0,0,k)$ (sull'asse $z$) e lato di lunghezza $2sqrt(k)$, che si proietta in:

$D_k = \{ (x,y) in RR^2:\ -sqrt(k) <= x,y <= sqrt(k)\}$

quindi:
\[
\begin{split}
\iiint_D (x^2 + z^2)\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z &= \int_0^2 \left( \iint_{D_z} (x^2 + z^2)\ \text{d}x \text{d}y\right)\ \text{d} z \\
&= \int_0^2 \left( \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} x^2\ \text{d}x\cdot \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} 1\ \text{d}y\right)\ \text{d} z + \int_0^2 z^2 \left( \iint_{D_z}1\ \text{d}x \text{d}y\right)\ \text{d} z\\
&= \frac{4}{3}\ \int_0^2 z^2\ \text{d} z + \int_0^2 4z^3\ \text{d} z\\
&= \frac{4}{9}\ \left[ z^3\right]_0^2 + \left[ z^4\right]_0^2 \\
&= \frac{32}{9} + 16
\end{split}
\]
salvo errori.

[pilloeffe]

"gugo82":Scusa, pillo, ma quel $\pi$ non lo vedo, come pure non vedo le coordinate cilindriche.

Eh beh, hai ragione, scusatemi, ho preso un abbaglio io...
Però c'è anche qualcosa che non mi torna nella tua soluzione:

"gugo82":[...] e lato di lunghezza $2\sqrt k$[...]

Il lato non è $ l = \sqrt{(\sqrt k)^2 + (\sqrt k)^2} = \sqrt{2k} = \sqrt2 \sqrtk $?

"gugo82":
[tex]\begin{split} \iiint_D (x^2 + z^2)\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z & = \int_0^2 \left( \iint_{D_z} (x^2 + z^2)\ \text{d}x \text{d}y\right)\ \text{d}z \\ &= \int_0^2 \left( \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} x^2\ \text{d}x\cdot \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} 1\ \text{d}y\right)\ \text{d}z + \int_0^2 z^2 \left( \iint_{D_z}1\ \text{d}x \text{d}y\right)\ \text{d}z\\ &= \frac{4}{3}\ \int_0^2 z^2\ \text{d}z + 4\ \int_0^2 z^{5/2}\ \text{d}z\\
\end{split}[/tex]

Il primo integrale mi torna, il secondo no perché sarebbe

$ \int_0^2 z^2 (\int_{-\sqrt z}^{\sqrt z} \text{d}x \int_{-\sqrt z}^{\sqrt z} \text{d}y) \text{d}z = \int_0^2 z^2 \cdot 2\sqrt z \cdot 2\sqrt z \text{d}z = 4 \int_0^2 z^3 \text{d}z = 16 $

Sicché in definitiva mi risulta:

$ \int\int\int_D (x^2 + z^2) \text{d}x \text{d}y \text{d}z = 32/9 + 16 = 176/9 $

[gugo82]

"pilloeffe":[quote="gugo82"]Scusa, pillo, ma quel $\pi$ non lo vedo, come pure non vedo le coordinate cilindriche.

Eh beh, hai ragione, scusatemi, ho preso un abbaglio io...
Però c'è anche qualcosa che non mi torna nella tua soluzione:

"gugo82":[...] e lato di lunghezza $2\sqrt k$[...]

Il lato non è $ l = \sqrt{(\sqrt k)^2 + (\sqrt k)^2} = \sqrt{2k} = \sqrt2 \sqrtk $?[/quote]
Quella è la semidiagonale... Fai un disegno.

"pilloeffe":[quote="gugo82"]
[tex]\begin{split} \iiint_D (x^2 + z^2)\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z & = \int_0^2 \left( \iint_{D_z} (x^2 + z^2)\ \text{d}x \text{d}y\right)\ \text{d}z \\ &= \int_0^2 \left( \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} x^2\ \text{d}x\cdot \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} 1\ \text{d}y\right)\ \text{d}z + \int_0^2 z^2 \left( \iint_{D_z}1\ \text{d}x \text{d}y\right)\ \text{d}z\\ &= \frac{4}{3}\ \int_0^2 z^2\ \text{d}z + 4\ \int_0^2 z^{5/2}\ \text{d}z\\
\end{split}[/tex]

Il primo integrale mi torna, il secondo no perché sarebbe

$ \int_0^2 z^2 (\int_{-\sqrt z}^{\sqrt z} \text{d}x \int_{-\sqrt z}^{\sqrt z} \text{d}y) \text{d}z = \int_0^2 z^2 \cdot 2\sqrt z \cdot 2\sqrt z \text{d}z = 4 \int_0^2 z^3 \text{d}z = 16 $

Sicché in definitiva mi risulta:

$ \int\int\int_D (x^2 + z^2) \text{d}x \text{d}y \text{d}z = 32/9 + 16 = 176/9 $[/quote]
Sì, certo... Al posto dell'area di $D_z$, cioè al posto di \(\iint_{D_z}1\ \text{d}x \text{d}y\), ci ho infilato un semiperimetro, vai a capire perché!?!
Grazie, ora correggo.

[pilloeffe]

"gugo82":Grazie, ora correggo.

Prego.

"gugo82":Quella è la semidiagonale... Fai un disegno.

Sì, hai ragione. In realtà non serve neanche fare un disegno: basta pensare ai $4$ punti nei quali si intersecano le due rette verticali $x = \pm \sqrtk $ e le due rette orizzontali $y = \pm \sqrtk $ che si ottengono con $z = k $