Serie Numeriche

[Giacomo M.]

Salve a tutti,
frequento il primo anno di Statistica ed esercitandomi sulle serie numeriche mi sono imbattuto su un tipo che non riesco proprio a comprendere.
La serie in questione è $ sum(n^n/(k^n*n!)) $ per n da 1 all'infinito ovviamente. Il problema è che al variare di k i tradizionali sistemi computazionali mi dicono che una volta diverge (per esempio k=2) e un'altra converge (per esempio k=5). Il problema è che non riesco a trovare un criterio che mi aiuti a trovare una soluzione valida in entrambi i casi. Vi chiedo se voi riusciste ad aiutarmi a comprendere e risolvere questa tipologia di serie, su quali criteri utilizzare o quali trasformazioni algebriche devo usare per stricare questa soluzione.
Grazie in anticipo della disponibilità a tutti.

[Mephlip]

Ciao Giacomo M., benvenuto sul forum!

Il criterio del rapporto sembra funzionare bene, opportunamente discusso la variare di $k$; quindi non capisco cosa ti sta confondendo. Per ora, assumo $k>0$. Essendo:
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)^{n+1} (n+1)! k}{k^n n! n^n}=\frac{k}{e}$$
La serie converge se $ke$; sembra che questo ti stia disturbando, ma non è strano che ciò avvenga appunto perché al variare di $k$ hai serie diverse (con caratteri, in generale, diversi). Il caso $k=e$ andrebbe trattato a parte, ma non ha senso farlo se non so dove varia $k$. Perché, ad esempio, se $k$ è intero positivo (come sembra dai casi specifici da te trattati) allora la discussione è finita perché non può essere $k=e$. Ci dici dove varia $k$, per favore? Anche perché, se $k$ è negativo, la serie non è sempre a termini non negativi.

[gugo82]

"Giacomo M.":i tradizionali sistemi computazionali

Sarebbe interessante sapere cosa si intende qui...

[pilloeffe]

Ciao Giacomo M.,

"Mephlip":La serie converge se $ke$;

Mi pare che sia il contrario: converge se $k > e $, diverge se $k < e$; poi ovviamente è priva di significato per $k = 0 $. Considerando $k \in \RR - {0}$, direi che si ha:
c) convergenza per $k \le - e$ e $k > e $;
d) divergenza per $ - e < k \le e $

[Mephlip]

Sì, ho invertito i versi delle disuguaglianze, grazie pilloeffe.

[Giacomo M.]

Grazie a tutti per l'aiuto.
Come si suol dire, mi sono perso in un bicchier d'acqua!