Integrale triplo in coordinate cilindriche

[missu00]

Buonasera, cercando di risolvere questo integrale:
$ I = intintint_A(z+1)sinxdxdydz $ dove \( A= \{(x,y,z) \in\Re^3:0\leq z\leq 2,1\leq x^2+y^2\leq 4\} \)
Il dominio $ A $ rappresenta un cilindro "scavato", quindi ho applicato la trasformazione di coordinate cilindriche ottenendo:
$ I=int_(z=0)^(z=2)(z+1)[int_(rho=1)^(rho=2)rho[int_(phi=0)^(phi=2pi)sin(rhocosphi)dphi]drho]dz $
ora, l'idea che ho avuto è quella di operare un cambio di variabile ponendo
$ u=cosphi $
il problema però nasce negli estremi dell'integrale, che diventano entrambi 1 e fanno annullare tutto l'integrale.
C'è un qualche errore nel mio ragionamento o veramente $ I=0 $ ?

[pilloeffe]

"missu00":C'è un qualche errore nel mio ragionamento o veramente $I=0$ ?

Sì, direi che veramente $I = 0$: lasciando perdere l'integrazione in $\text{d}z$ che risulta $4$, l'integranda è una funzione dispari sul dominio simmetrico $D := \{(x,y) \in \RR^2 : 1 \le x^2+y^2 \le 4}$, dunque l'integrale proposto è nullo.

[missu00]

Bene, grazie mille!