Esistenza della radice n-esima

Fai una domanda Tutte le categorie
compa90
compa90
24 mag 2023, 16:07
Buonasera, sto studiando il seguente teorema

Sia $n in NN$ e sia $a in RR_+$ esiste un solo un numero reale positivo $b$ per cui $b^n=a$

Dimostrazione
Sia $a>0$, siano $A={x in RR_+\ : x^n le a}$ e $B={x in RR_+\ : x^n ge a}$.
I due insiemi sono non vuoti, e separati poiché si ha rispettivamente:
$0 in A$, $a+1 in B$
$forall u in A, forall v in B u^n le a le v^n to u^n le v^n$ e segue necessariamente che $u le v$

Dall'assioma di completezza ho l'esistenza di un elemento separatore, che verifica la condizione $b^n=a$.

Infatti se fosse $b^n
$c^n-b^n=(c-b)sum_{p=0}^{p=n-1}c^pb^{n-1-p}$

poiché si ha $b^k le c^k$ e $c le b+1$, allora
$c^n-b^n=(c-b)sum_{p=0}^{p=n-1}c^pb^{n-1-p}lefrac{nu nc^n}{2n(b+1)^n} le nu/2frac{c^n}{c^n}le nu/2
fin qui tutto chiaro, ora viene detto che $nu=a-b^n$...chi lo dice che il minimo non è 1 ?
Poi continua:
quindi $c^n
Infine, per l'unicità, se supponiamo che esistessero per assurdo due elementi separatori distinti $d,b$, con $d Dall'altra parte per le proprietà delle potenze ad esponente intero si ha $d Ciao
Risposte
e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86
e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86
24 mag 2023, 15:59
"compa90":
$c^n-b^n=(c-b)sum_{p=0}^{p=n-1}c^pb^{n-1-p}lefrac{nu nc^n}{2n(b+1)^n} le nu/2frac{c^n}{c^n}le nu/2
fin qui tutto chiaro, ora viene detto che $nu=a-b^n$...chi lo dice che il minimo non è 1 ?
Se viene detto davvero $nu=a-b^n$ allora è un errore di stampa, quello che volevano scrivere è $nu le a-b^n$ (che ovviamente è vero) da cui, siccome $c^n-b^n < nu$, abbiamo

$c^n < nu+b^n le a-b^n+b^n =a$

e quindi $c^n < a$.
compa90
compa90
25 mag 2023, 06:36
Perfetto, grazie mille.
Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.