Differenziali - valore assoluto
Buonasera, nell'equazione differenziale a variabili separabili $y'=2xy$ mi sono ritrovato ad avere $|y|=e^(x^2)*c$. Quando c'è il valore assoluto, sia che si tratti di differenziali a variabili separabili che di qualsiasi altro tipo, cosa devo fare? Come posso "toglierlo" ed esprimere il risultato senza di esso?
Risposte
Ciao Lorenzo_99,
Beh, nel caso in esame lo togli e basta: infatti $e^{x^2} > 0 \quad \AA x \in \RR $ mentre nulla vieta alla costante $c $ di essere negativa...
Pertanto la soluzione dell'equazione differenziale $y' = 2xy $ proposta è $y(x) = c e^{x^2} $
Beh, nel caso in esame lo togli e basta: infatti $e^{x^2} > 0 \quad \AA x \in \RR $ mentre nulla vieta alla costante $c $ di essere negativa...
Pertanto la soluzione dell'equazione differenziale $y' = 2xy $ proposta è $y(x) = c e^{x^2} $
In realtà di tutto sto folklore col valore assoluto, di solito, non c’è bisogno.
Infatti, si vede “ad occhio”, che portando la EDO in forma implicita e moltiplicando per $e^(-x^2)$ si ottiene $e^(-x^2) y’(x) - 2xe^(-x^2) y(x) = 0$, che si può scrivere come $(text(d))/(text(d) x)[e^(-x^2) y(x)] = 0$. Quest’ultima relazione implica $e^(-x^2) y(x) = text(cost.) = c$, dunque $y(x) = ce^(x^2)$.
Infatti, si vede “ad occhio”, che portando la EDO in forma implicita e moltiplicando per $e^(-x^2)$ si ottiene $e^(-x^2) y’(x) - 2xe^(-x^2) y(x) = 0$, che si può scrivere come $(text(d))/(text(d) x)[e^(-x^2) y(x)] = 0$. Quest’ultima relazione implica $e^(-x^2) y(x) = text(cost.) = c$, dunque $y(x) = ce^(x^2)$.
"pilloeffe":
Beh, nel caso in esame lo togli e basta: infatti $e^{x^2} > 0 \quad \AA x \in \RR $ mentre nulla vieta alla costante $c $ di essere negativa...
Eh ma quello che non capisco in realtà è proprio questo. $e^{x^2} > 0 \quad \AA x \in \RR $ quindi $y$ deve essere per forza positivo (infatti c'è il valore assoluto). Se però tolgo il valore assoluto mi potrei ritrovare $e^{x^2}$, che è positivo, $=y$ che però potrebbe essere negativo (es. $y=-3$) e in questo caso non andrebbe bene.
Ammettendo che la costante sia negativa, per rendere vera l'uguaglianza senza valore assoluto, deve però avere uno specifico valore e dovrei quindi imporre una condizione su $c$ ($c=a, \quad a \in \RR$).
Per esempio:
La funzione soluzione è $|y|=e^{x^2}*c$. Se $y=3$ l'equazione è corretta. Se $y=-3$ il valore assoluto lo cambierebbe il segno facendo ricadere l'esempio nel caso precedente, che è corretto. Se invece togliessi il valore assoluto e dicessi che la funzione soluzione sia $y=e^{x^2}*c$ dovrei assicurarmi che $c$ sia un valore (negativo) che permetta di rendere vera l'uguaglianza invece di lasciarlo come un parametro qualsiasi. No?
"gugo82":
Infatti, si vede “ad occhio”, che portando la EDO in forma implicita e moltiplicando per $ e^(-x^2) $ si ottiene $ e^(-x^2) y’(x) - 2xe^(-x^2) y(x) = 0 $, che si può scrivere come $ (text(d))/(text(d) x)[e^(-x^2) y(x)] = 0 $. Quest’ultima relazione implica $ e^(-x^2) y(x) = text(cost.) = c $, dunque $ y(x) = ce^(x^2) $.
Non mi è molto chiaro. Dalla riscrittura con la derivata mi sono perso.
Riscrivendo l'equazione in quel modo ti accorgi che il membro di sinistra è la derivata del prodotto $e^{-x^2}y(x)$.
Un corollario del teorema di Lagrange (quello del valor medio) ti assicura questo: una funzione definita su un intervallo che ha derivata nulla è costante (con tutte le ipotesi minimali su $f$ tipiche del calcolo differenziale, $f$ derivabile nell'intervallo aperto, ecc.).
Quindi da $\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[e^{-x^2}y(x)\right]=0$ puoi dedurre che $e^{-x^2}y(x)=c$, con $c$ costante, perciò moltiplicando ambo i membri di $e^{-x^2}y(x)=c$ per $e^{x^2}$ giungi a $y(x)=ce^{x^2}$.
Un corollario del teorema di Lagrange (quello del valor medio) ti assicura questo: una funzione definita su un intervallo che ha derivata nulla è costante (con tutte le ipotesi minimali su $f$ tipiche del calcolo differenziale, $f$ derivabile nell'intervallo aperto, ecc.).
Quindi da $\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[e^{-x^2}y(x)\right]=0$ puoi dedurre che $e^{-x^2}y(x)=c$, con $c$ costante, perciò moltiplicando ambo i membri di $e^{-x^2}y(x)=c$ per $e^{x^2}$ giungi a $y(x)=ce^{x^2}$.
"Mephlip":
Riscrivendo l'equazione in quel modo ti accorgi che il membro di sinistra è la derivata del prodotto $e^{-x^2}y(x)$.
Un corollario del teorema di Lagrange (quello del valor medio) ti assicura questo: una funzione definita su un intervallo che ha derivata nulla è costante (con tutte le ipotesi minimali su $f$ tipiche del calcolo differenziale, $f$ derivabile nell'intervallo aperto, ecc.).
Quindi da $\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[e^{-x^2}y(x)\right]=0$ puoi dedurre che $e^{-x^2}y(x)=c$, con $c$ costante, perciò moltiplicando ambo i membri di $e^{-x^2}y(x)=c$ per $e^{x^2}$ giungi a $y(x)=ce^{x^2}$.
Ok, adesso mi è più chiaro. E volendo "generalizzare" la casistica? Cioè, quando mi ritrovo la soluzione del differenziale in forma esplicita con i valori assoluti ($|y|=f(x)$), cosa devo fare?
PS: riguardando i "conti" di gugo ho notato una certa similitudine con i "conti" che si fanno con il metodo del fattore integrante per i differenziali dello stesso tipo ma non omogenei ($y'+a(x)y(x)=f(x)$). Ha per caso qualche collegamento?
"Lorenzo_99":
la soluzione del differenziale
Sappi che, quando scrivi “differenziale” al posto di “equazione differenziale”, un Analista muore.
"Lorenzo_99":
PS: riguardando i "conti" di gugo ho notato una certa similitudine con i "conti" che si fanno con il metodo del fattore integrante per i differenziali dello stesso tipo ma non omogenei ($y'+a(x)y(x)=f(x)$). Ha per caso qualche collegamento?
È quello.
"gugo82":
Sappi che, quando scrivi “differenziale” al posto di “equazione differenziale”, un Analista muore.
Se proprio vuoi abbreviare, meglio scrivere solo "equazione", o l'orribile francesismo "equadiff".
Ma anche EDO va bene… Ricordo di aver letto, tempo fa, una “Ode alla EDO” non ricordo scritta da chi.
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