Approssimazione del numero di Nepero stimando l'errore con la somma parziale
Salve a tutti, sono un utente appena registrato e, non sapendo come risolvere il mio problema, ho deciso di rivolgermi a voi.
Il testo recita:
"A partire dalla formula $e=\sum_{n=0}^oo 1/{n!}$ è possibile ottenere approssimazioni del valore di e.
Prima di tutto stimiamo l’errore che si commette sostituendo il numero e con la somma parziale $S_n=\sum_{k=0}^n 1/{k!}$, cioè la differenza $e-S_n$
quindi vale
"
Qualcuno potrebbe spiegarmi i passaggi della prima immagine che poi mi porta alla seconda?
Grazie in anticipo.
Il testo recita:
"A partire dalla formula $e=\sum_{n=0}^oo 1/{n!}$ è possibile ottenere approssimazioni del valore di e.
Prima di tutto stimiamo l’errore che si commette sostituendo il numero e con la somma parziale $S_n=\sum_{k=0}^n 1/{k!}$, cioè la differenza $e-S_n$
quindi vale
"Qualcuno potrebbe spiegarmi i passaggi della prima immagine che poi mi porta alla seconda?
Grazie in anticipo.
Risposte
Cosa esattamente non ti è chiaro?
Ciao Darius00,
Benvenuto sul forum!
Innanzitutto dovrebbe esserti chiaro che $e = s = s_n + r_n = \sum_{k = 0}^n 1/(k!) + \sum_{k = n + 1}^{+\infty} 1/(k!) \implies e - s_n = r_n = \sum_{k = n + 1}^{+\infty} 1/(k!) $
Si può omettere il valore assoluto, tanto si tratta di quantità tutte positive. Quindi si ha:
$ e - s_n = r_n = \sum_{k = n + 1}^{+\infty} 1/(k!) = 1/((n + 1)!) + 1/((n + 2)!) + ... $
Qui poi è stato raccolto $1/((n + 1)!) $ da tutti i termini, tenendo conto che $(n + 2)! = (n + 2)(n + 1)! $, $(n + 3)! = (n + 3)(n + 2)(n + 1)! $ e così via... Poi è stata fatta una maggiorazione tenendo conto che se si divide per una quantità più piccola il numero che ne risulta è più grande:
$1/(n + 2) < 1/(n + 1) $
$1/((n + 2)(n + 3)) < 1/(n + 1)^2 $
... e così via. A questo punto si è tenuto conto del fatto che la serie geometrica $\sum_{j = 0}^{+\infty}(1/(n + 1))^j = 1/(1 - 1/(n + 1)) $ dato che certamente $1/(n + 1) < 1 $.
Nell'ultimo passaggio infine si è semplicemente considerato che $(n + 1)/((n + 1)!) = 1/(n!) $...
Benvenuto sul forum!
Innanzitutto dovrebbe esserti chiaro che $e = s = s_n + r_n = \sum_{k = 0}^n 1/(k!) + \sum_{k = n + 1}^{+\infty} 1/(k!) \implies e - s_n = r_n = \sum_{k = n + 1}^{+\infty} 1/(k!) $
Si può omettere il valore assoluto, tanto si tratta di quantità tutte positive. Quindi si ha:
$ e - s_n = r_n = \sum_{k = n + 1}^{+\infty} 1/(k!) = 1/((n + 1)!) + 1/((n + 2)!) + ... $
Qui poi è stato raccolto $1/((n + 1)!) $ da tutti i termini, tenendo conto che $(n + 2)! = (n + 2)(n + 1)! $, $(n + 3)! = (n + 3)(n + 2)(n + 1)! $ e così via... Poi è stata fatta una maggiorazione tenendo conto che se si divide per una quantità più piccola il numero che ne risulta è più grande:
$1/(n + 2) < 1/(n + 1) $
$1/((n + 2)(n + 3)) < 1/(n + 1)^2 $
... e così via. A questo punto si è tenuto conto del fatto che la serie geometrica $\sum_{j = 0}^{+\infty}(1/(n + 1))^j = 1/(1 - 1/(n + 1)) $ dato che certamente $1/(n + 1) < 1 $.
Nell'ultimo passaggio infine si è semplicemente considerato che $(n + 1)/((n + 1)!) = 1/(n!) $...
"pilloeffe":
Ciao Darius00,
Benvenuto sul forum!
Innanzitutto dovrebbe esserti chiaro che $e = s = s_n + r_n = \sum_{k = 0}^n 1/(k!) + \sum_{k = n + 1}^{+\infty} 1/(k!) \implies e - s_n = r_n = \sum_{k = n + 1}^{+\infty} 1/(k!) $
Si può omettere il valore assoluto, tanto si tratta di quantità tutte positive. Quindi si ha:
$ e - s_n = r_n = \sum_{k = n + 1}^{+\infty} 1/(k!) = 1/((n + 1)!) + 1/((n + 2)!) + ... $
Qui poi è stato raccolto $1/((n + 1)!) $ da tutti i termini, tenendo conto che $(n + 2)! = (n + 2)(n + 1)! $, $(n + 3)! = (n + 3)(n + 2)(n + 1)! $ e così via... Poi è stata fatta una maggiorazione tenendo conto che se si divide per una quantità più piccola il numero che ne risulta è più grande:
$1/(n + 2) < 1/(n + 1) $
$1/((n + 2)(n + 3)) < 1/(n + 1)^2 $
... e così via. A questo punto si è tenuto conto del fatto che la serie geometrica $\sum_{j = 0}^{+\infty}(1/(n + 1))^j = 1/(1 - 1/(n + 1)) $ dato che certamente $1/(n + 1) < 1 $.
Nell'ultimo passaggio infine si è semplicemente considerato che $(n + 1)/((n + 1)!) = 1/(n!) $...
Ti ringrazio profondamente, sei stato di una chiarezza ed efficacia impressionante.
Però non capisco il motivo per cui i libri non sprechino un po' di inchiostro in più per esplicitare chiaramente ciò che spiegano.
Grazie di nuovo.
Perché anche lo studente ci deve lavorare.
"Darius00":
Ti ringrazio profondamente
Prego!
"Darius00":
sei stato di una chiarezza ed efficacia impressionante.
Grazie mille!
"Darius00":
Però non capisco il motivo per cui i libri non sprechino un po' di inchiostro in più per esplicitare chiaramente ciò che spiegano.
Beh, qui secondo me i motivi sono più di uno...
uno è senz'altro quello che ti ha già scritto gugo82;
poi ci sono anche motivi editoriali: se si mettono a spiegare per bene ogni passaggio, il libro avrebbe molte più pagine e si avrebbe un effetto deterrente che potrebbe persino arrivare a scoraggiarne l'acquisto (il famoso "mattone"...
);a quanto sopra ci aggiungiamo anche che i Matematici (puri o non...
) fatte le dovute eccezioni non sono dei grandi divulgatori e col loro linguaggio un po' criptico spesso ci giocano, e questo si riflette inevitabilmente sulle loro opere, anche quelle destinate specificamente a coloro che devono imparare, nella fattispecie Analisi I... Te lo dice un ingegnere i cui docenti insegnavano sia nel Corso di Laurea in Matematica che nel biennio di ingegneria all'Università di Modena (ora c'è anche il triennio e l'Università è diventata di Modena e Reggio Emilia).
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