Sull'equazione differenziale (insieme di definizione)
Credo di avere un dubbio riguardo l'insieme di definizione di una eq. differenziale.
Una eq. differenziale è l'eqauzione che lega una funzione y(x) con le sue derivate, ossia:
$y^(n)(x)=f(x,y(x),...,y^(n-1)(x))$ in forma normale.
$y:I->RR$ derivabile n volte e $f:A->RR$ con $A$ aperto contenuto in $RR^(n+1)$
Prendo un esempio semplice: $y'=y^2$
=> $f(x,y)=y^2$ e leggo dall'eserciziario che $f:RRxxRR->RR$ e non riesco a capirne il motivo, infatti qualunque dunzione y(x) sarà del tipo $-1/(c+t)$ (è vero che a priori non conosco la soluzione, tuttavia y non potrà in generale avere per dominio R) e a me sembra che in generale la x in $y^2=(y(x))^2$ non possa mica variare su tutto $RR$
Grazie per i chiarimenti.
PS: è anche vero che non fissando il parametro "c", volta per volta dati c diversi posso correre su tutto l'asse reale nel dominio di y, è forse qui il busillis?
Una eq. differenziale è l'eqauzione che lega una funzione y(x) con le sue derivate, ossia:
$y^(n)(x)=f(x,y(x),...,y^(n-1)(x))$ in forma normale.
$y:I->RR$ derivabile n volte e $f:A->RR$ con $A$ aperto contenuto in $RR^(n+1)$
Prendo un esempio semplice: $y'=y^2$
=> $f(x,y)=y^2$ e leggo dall'eserciziario che $f:RRxxRR->RR$ e non riesco a capirne il motivo, infatti qualunque dunzione y(x) sarà del tipo $-1/(c+t)$ (è vero che a priori non conosco la soluzione, tuttavia y non potrà in generale avere per dominio R) e a me sembra che in generale la x in $y^2=(y(x))^2$ non possa mica variare su tutto $RR$
Grazie per i chiarimenti.
PS: è anche vero che non fissando il parametro "c", volta per volta dati c diversi posso correre su tutto l'asse reale nel dominio di y, è forse qui il busillis?
Risposte
Devi dare definizioni decenti, altrimenti rimane tutto fumoso.
Vedi qui per una definizione decente di EDO.
Vedi qui per una definizione decente di EDO.
Ammetto di essere andato a memoria (nel senso di quello che avevo capito della definizione proprio per cercare di capire dove fosse l'errore).
Il punto che anche rileggendo mi rimane fumoso perché:
$F:I×RR^(n+1)→R$ però I non può essere qualunque.
Infatti, nel momento in cui definisco che $F:I×RR^(n+1)→R$ è l'equazione differenziale, automaticamente tutte le y agiscono sul loro dominio (per dare senso alla funzione F) e quindi: $F:I×RR^(n+1)→R$ ove I è l'insieme massimo che dia senso alla espressione analitica della funzione y specifica su cui lavoro.
Non capisco perché sia una richiesta sulla soluzione, a me sembra una richiesta fondamentale per la stessa definizione.
Infatti anche nell'esempio dove mi sono incartato:
Già nella definizione scriverei: $f:]-oo,-c)xxRR->RR$ e non $I=RR$, mentre sul libro prende $f:RRxxRR->RR$ e mostra non essere globale la soluzione dato che $y:]-oo,-c)->RR$ e non $y:RR->RR$
Il punto che anche rileggendo mi rimane fumoso perché:
$F:I×RR^(n+1)→R$ però I non può essere qualunque.
Infatti, nel momento in cui definisco che $F:I×RR^(n+1)→R$ è l'equazione differenziale, automaticamente tutte le y agiscono sul loro dominio (per dare senso alla funzione F) e quindi: $F:I×RR^(n+1)→R$ ove I è l'insieme massimo che dia senso alla espressione analitica della funzione y specifica su cui lavoro.
Non capisco perché sia una richiesta sulla soluzione, a me sembra una richiesta fondamentale per la stessa definizione.
Infatti anche nell'esempio dove mi sono incartato:
"alifasi":
Prendo un esempio semplice: $y'=y^2$
=> $f(x,y)=y^2$ e leggo dall'eserciziario che $f:IxxRR->RR$ ove I è R (sul libro) $f:RRxxRR->RR$ e non riesco a capirne il motivo, infatti qualunque funzione y(x) sarà del tipo $1/(-c-t)$ (è vero che a priori non conosco la soluzione, tuttavia y non potrà in generale avere per dominio R) e a me sembra che in generale la x in $y^2=(y(x))^2$ non possa mica variare su tutto $RR$
Già nella definizione scriverei: $f:]-oo,-c)xxRR->RR$ e non $I=RR$, mentre sul libro prende $f:RRxxRR->RR$ e mostra non essere globale la soluzione dato che $y:]-oo,-c)->RR$ e non $y:RR->RR$
"alifasi":
Il punto che anche rileggendo mi rimane fumoso perché:
$ F:I×RR^(n+1)→R $ però I non può essere qualunque.
Certo che può.
Una EDO “viene prima” delle sue soluzioni.
Non hai letto bene la definizione di EDO e di soluzione dati nel post linkato.
Rileggi con attenzione tutto, anche la nota.
"alifasi":
Infatti, nel momento in cui definisco che $ F:I×RR^(n+1)→RR$ è l'equazione differenziale, automaticamente tutte le y agiscono sul loro dominio (per dare senso alla funzione F) e quindi: $ F:I×RR^(n+1)→RR $ ove I è l'insieme massimo che dia senso alla espressione analitica della funzione y specifica su cui lavoro.
Non capisco perché sia una richiesta sulla soluzione, a me sembra una richiesta fondamentale per la stessa definizione.
Stai confondendo la nozione di soluzione (locale) con la nozione di soluzione globale.
"alifasi":
Infatti anche nell'esempio dove mi sono incartato:
[quote="alifasi"]
Prendo un esempio semplice: $ y'=y^2 $
=> $ f(x,y)=y^2 $ e leggo dall'eserciziario che $ f:IxxRR->RR $ ove I è R (sul libro) $ f:RRxxRR->RR $ e non riesco a capirne il motivo, infatti qualunque funzione y(x) sarà del tipo $ 1/(-c-t) $ (è vero che a priori non conosco la soluzione, tuttavia y non potrà in generale avere per dominio R) e a me sembra che in generale la x in $ y^2=(y(x))^2 $ non possa mica variare su tutto $ RR $
Già nella definizione scriverei: $ f:]-oo,-c)xxRR->RR $ e non $ I=RR $, mentre sul libro prende $ f:RRxxRR->RR $ e mostra non essere globale la soluzione dato che $ y:]-oo,-c)->RR $ e non $ y:RR->RR $[/quote]
Questo esempio mostra solo che esistono EDO che non hanno soluzioni globali.
Questo esempio mostra solo che esistono EDO che non hanno soluzioni globali.
Eh sì, infatti era lì che voleva arrivare, ci hai visto lungo, ma non ne capivo il senso.
Pensavo infatti che quando andavo a definre: $F:I×RR^(n+1)→R$ dovesse rispettare la definizione analitica (nel caso di $y'=y^2$, ad esempio).
Invece, sempre nell'esempio, stabilisco a priori che $F:I×RR^(n+1)→R t.c$ con $(y',y)=F(y',y)$, e I qualunque scelto a priori (cioè come dici tu viene prima la scelta di I) e poi guardo se una data soluzione se è locale, massimale o globale dopo.
Il punto che mi crea un po' di problemi è che quando definisco analiticamente una funzione ad es: $y=1/x$ non posso mica dire che la funzione f è: $f:RR->RR$, ma l'espressione analitica "contiene già al sui interno" su quale dominio agisce: $f:RR-{0}->RR$, dove sbaglio?
Buone feste e grazie!
"alifasi":Questo esempio mostra solo che esistono EDO che non hanno soluzioni globali.
Eh sì, infatti era lì che voleva arrivare, ci hai visto lungo, ma non ne capivo il senso.
Pensavo infatti che quando andavo a definre: $F:I×RR^(n+1)→R$ dovesse rispettare la definizione analitica (nel caso di $y'=y^2$, ad esempio).
Così com'è scritta, questa frase non significa nulla.
"alifasi":
Invece, sempre nell'esempio, stabilisco a priori che $F:I×RR^(n+1)→R t.c$ con $(y',y)=F(y',y)$, e I qualunque scelto a priori (cioè come dici tu viene prima la scelta di I) e poi guardo se una data soluzione se è locale, massimale o globale dopo.
Nell'esempio hai (ovviamente) $I=RR$ perché $F$ non dipende da $x$ esplicitamente.
"alifasi":
Il punto che mi crea un po' di problemi è che quando definisco analiticamente una funzione ad es: $y=1/x$ non posso mica dire che la funzione f è: $f:RR->RR$, ma l'espressione analitica "contiene già al sui interno" su quale dominio agisce: $f:RR-{0}->RR$, dove sbaglio?
No, l'espressione analitica non contiene un bel nulla (se non qualcosa di "vago" come l'idea del dominio massimale).
Infatti, le funzioni:
\[
\begin{split}
f_1: \mathbb{R} - \{0\} &\to \mathbb{R}\\
f_2: ]0,+\infty[ &\to \mathbb{R}\\
f_3: \mathbb{R} - \{0\} &\to \mathbb{R} - \{ 0\}\\
f_4: ]0,+\infty[ &\to \mathbb{R} - \{ 0}\\
f_5: ]0,+\infty[ &\to ]0, +\infty[\\
f_6: \mathbb{Q} - \{0\} &\to \mathbb{Q}
\end{split}
\]
con $f_i(x) := 1/x$ per ogni $i=1,..., 6$ hanno tutte la stessa legge di assegnazione, ma sono tutte diverse tra loro.
"gugo82":
No, l'espressione analitica non contiene un bel nulla (se non qualcosa di "vago" come l'idea del dominio massimale)
Sì, giustissimo, avevo sbagliato. Contiene un dominio "massimale".
Mentre
Nell'esempio hai (ovviamente) I=R perché F non dipende da x esplicitamente.
Credo di aver capito l'erroraccio, io andavo a vedere il dominio della y e lo prendevo come I della definizione di F anziché lavorare con il suo codominio, cioè data: $F:I×R^(n+1)→R$ dicevo I deve essere quello di $y:I->RR$
Invece, se ad esempio (puramente casuale) la funzione y(x) fosse $y: R->(0,100)$ allora l'equazione differenziale al 2 ordine sarebbe: $F:IxxA->RR$ e in particolare $A$ sarà: $A=(0,100)xxR^2$
Così dovrei esserci, spero
"alifasi":[/quote]
[quote="gugo82"]
Mentre
Nell'esempio hai (ovviamente) I=R perché F non dipende da x esplicitamente.
Credo di aver capito l'erroraccio, io andavo a vedere il dominio della y e lo prendevo come I della definizione di F anziché lavorare con il suo codominio, cioè data: $F:I×R^(n+1)→R$ dicevo I deve essere quello di $y:I->RR$
Invece, se ad esempio (puramente casuale) la funzione y(x) fosse $y: R->(0,100)$ allora l'equazione differenziale al 2 ordine sarebbe: $F:IxxA->RR$ e in particolare $A$ sarà: $A=(0,100)xxR^2$
Così dovrei esserci, spero
Stavo leggendo la discussione e devo dire che interessa anche me la parte evidenziata. E' giusto dire che l'insieme di definizione dell' equazione differenziale, cioé $I×R^(n+1)$ è dato dai codomini di x e y+sue varie derivate? L'ho intesa come l'OP anche io.
No, non molto.
Come detto, non ha senso legare caratteristiche della EDO con caratteristiche delle soluzioni, perché in linea di principio, una EDO (od un problema ad essa relativo) potrebbe non averne.
Come detto, non ha senso legare caratteristiche della EDO con caratteristiche delle soluzioni, perché in linea di principio, una EDO (od un problema ad essa relativo) potrebbe non averne.
Sui codomini ho capito cosa intendi, è vero. Però se prendo una specifica EDO non capisco come faccia a mantenersi sensata la $F:I×R^(n+1)→RR$, mantenendo il parallelismo con le funzioni reali e l'esempio introdotto $1/x$ non posso dire che $f:RR->RR$, nella edo mi sembra un po' la stessa cosa: se prendessi $y'=1/y$ ad esempio mi verrebbe da dire che non potrò avere $F:IxxRR$ ma $F:IxxR-{0}$
Credo di fare un errore concettuale simile, ma non riesco a vedere l'errore.
Credo di fare un errore concettuale simile, ma non riesco a vedere l'errore.
Ragazzi, se non leggete con attenzione, non c’è nulla che i libri, il forum ed, in generale, lo studio possano fare per voi.
Per l’esempio fornito da urca, la situazione è semplice.
La EDO è in forma esplicita, mentre la situazione descritta nel mio vecchio post è relativa ad EDO più generali messe in forma implicita… Poco male: la forma implicita della EDO è $y’ - 1/y = 0$.
La funzione al primo membro è $F(x,y,p) := p - 1/y$, definita per $(x,y,p) in RR xx (RR -\{0\}) xx RR sub RR^3$.
Invece, sembra che vi ostiniate a considerare funzioni che dipendono da meno variabili di quelle che definiscono il problema.
Per l’esempio fornito da urca, la situazione è semplice.
La EDO è in forma esplicita, mentre la situazione descritta nel mio vecchio post è relativa ad EDO più generali messe in forma implicita… Poco male: la forma implicita della EDO è $y’ - 1/y = 0$.
La funzione al primo membro è $F(x,y,p) := p - 1/y$, definita per $(x,y,p) in RR xx (RR -\{0\}) xx RR sub RR^3$.
Invece, sembra che vi ostiniate a considerare funzioni che dipendono da meno variabili di quelle che definiscono il problema.
Hai ragione, sono un idiota 
Ho capito finalmente, ti ringrazio!
Ho capito finalmente, ti ringrazio!
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