Applicazione inversa

[hackthomas99]

Salve, vorrei sapere qual'è l'applicazione inversa di questa funzione, Grazie.

f : R \ {3} → R \ {−2} tale che ∀x ∈ R \ {3}, f(x) = (2x + 1)/(3 − x)

[danyper]

Ciao hack
Allora la funzione data:

[math]f(x) = \frac{2x + 1}{3 − x}[/math]

ha per dominio tutto R tranne x=3
ha per codominio tutto R tranne y=-2
Il domino della sua inversa deve coincidere con il codominio di f(x), ovvero l'inversa, se esiste è definita in R\-2.
Notare che f(x) è una funzione omografica, essa è iniettiva nel suo dominio quindi invertibile.
Troviamo l'inversa:
Riscriviamo la funzione:

[math]y = \frac{2x + 1}{3 − x}[/math]

e risolviamo rispetto ad x:

[math]y(3-x)=2x+1[/math]

[math]3y-xy=2x+1[/math]

[math]2x+xy=3y-1[/math]

[math]x(2+y)=3y-1[/math]

[math]x=\frac{3y-1}{2+y}[/math]

il cui dominio è R\-2