Studio di funzione periodica
Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
Risposte
"Bad90":
Esame della formula
$ |3x+2|e^-x = { ( (3x+2)e^-x if x>0),( -(3x+2)e^-x if x<0 ):} $
Bad, con questi valori assoluti non ci siamo proprio!
La condizione da mettere non è $x>0$ ma $x> -2/3$. Devi vedere come si comporta l'argomento del valore assoluto, non puoi mettere sempre e solo la $x$.
"minomic":
[quote="Bad90"]perchè nella seguente funzione $f(x) = e^(|(x-1)/(x)|$, non si potrebbe dire lo stesso?
Semplicemente perché è presente un denominatore, che come sempre non deve annullarsi, quindi $$D=\left(-\infty, 0\right)\cup\left(0, +\infty\right)$$[/quote]
Ciao amico mio
Ok, questo lo so, solo che se ipotiziamo che quella funzione avesse un denominatore $x=0$, mi sembra ovvio che la potenza diventa $e^0$ e so benissimo che $e^0=1$, come vedi a me sembra che non si annulla la funzione! Allora perchè imporre quella $C.E.$
"Bad90":
Ciao amico mio
Ok, questo lo so, solo che se ipotiziamo che quella funzione avesse un denominatore $x=0$, mi sembra ovvio che la potenza diventa $e^0$ e so benissimo che $e^0=1$, come vedi a me sembra che non si annulla la funzione! Allora perchè imporre quella $C.E.$
No, non diventa affatto $e^0$. Diventa $e^0$ se $x=1$...
Se $x=0$ il denominatore dell'esponente si annulla $=>$ l'esponente non esiste $=>$ la funzione non è definita. Quindi il valore $0$ è da escludere.
"minomic":
[quote="Bad90"]Esame della formula
$ |3x+2|e^-x = { ( (3x+2)e^-x if x>0),( -(3x+2)e^-x if x<0 ):} $
Bad, con questi valori assoluti non ci siamo proprio!
La condizione da mettere non è $x>0$ ma $x> -2/3$. Devi vedere come si comporta l'argomento del valore assoluto, non puoi mettere sempre e solo la $x$.[/quote]
Si, adesso ho capito!
Come hai visto, ho fatto prima la considerazione basandomi sulla def. generale di valore assoluto, e poi arrivando alla giusta conclusione che hai detto! Si tratta di un errore non di calcolo, ma di esposizione del sistema!
"minomic":
No, non diventa affatto $e^0$. Diventa $e^0$ se $x=1$...
Se $x=0$ il denominatore dell'esponente si annulla $=>$ l'esponente non esiste $=>$ la funzione non è definita. Quindi il valore $0$ è da escludere.
Hai ragione, anche perchè $(x-1)/(x) = 1-1/x$ , adesso ho capito!
Altra cosa: lo studio dei segni è inutile! Addirittura può essere dannoso perché rischi di arrivare a conclusioni palesemente sbagliate...
Se hai $$f(x) = \left|3x+2\right|e^{-x}$$ significa che la funzione è data dal prodotto tra un valore assoluto e un'esponenziale. Di conseguenza $$f(x) \geq 0 \quad \forall x \in D$$ In particolare $$f(x) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = -\frac{2}{3}$$
Se hai $$f(x) = \left|3x+2\right|e^{-x}$$ significa che la funzione è data dal prodotto tra un valore assoluto e un'esponenziale. Di conseguenza $$f(x) \geq 0 \quad \forall x \in D$$ In particolare $$f(x) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = -\frac{2}{3}$$
"minomic":
Altra cosa: lo studio dei segni è inutile! Addirittura può essere dannoso perché rischi di arrivare a conclusioni palesemente sbagliate...
Se hai $$f(x) = \left|3x+2\right|e^{-x}$$ significa che la funzione è data dal prodotto tra un valore assoluto e un'esponenziale. Di conseguenza $$f(x) \geq 0 \quad \forall x \in D$$ In particolare $$f(x) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = -\frac{2}{3}$$
Non ho capito il concetto della possibilità di sbagliare?!?!!
Ti posso dire che però ho capito il perchè dell'uguale, perchè il dominio è $D(-oo, +oo)$ e allora sarà anche $>=$ oppure $<=$, dici questo????
Intendevo dire che tu nel tuo post avevi scritto che non esiste l'intersezione con l'asse delle ascisse, mentre questo non è vero perché $f(-2/3) = 0$. Lo studio dei segni in questo caso non è necessario: si conclude immediatamente che la funzione è sempre positiva tranne per il singolo valore $x=-2/3$, in corrispondenza del quale si annulla.
"minomic":
Intendevo dire che tu nel tuo post avevi scritto che non esiste l'intersezione con l'asse delle ascisse, mentre questo non è vero perché $f(-2/3) = 0$. Lo studio dei segni in questo caso non è necessario: si conclude immediatamente che la funzione è sempre positiva tranne per il singolo valore $x=-2/3$, in corrispondenza del quale si annulla.
Ok, questo è un caso in cui si arriva alla soluzione grafica solo con lo studio di un caso e poi si ribalta tutto su l'asse x, bene, ma come si espone in termini di formule? Così? $|f(x)| = f(x)$ , insomma, si tratta di grafici riconducibili a quelli del caso di studio, ma non ricordo la formula che si usa per indicare questo tipo di grafici che si posso studiare con un solo caso????
No aspetta, stiamo facendo confusione! Io ho detto una semplice cosa: data $$f(x)=\left|3x+2\right|e^{-x}$$ qual è il suo segno? Quali sono le sue intersezioni con l'asse delle ascisse?
I valori assunti dalla funzione sono sempre $>= 0$ perché la funzione stessa è data dal prodotto tra quantità non negative.
Poi cerchiamo di risolvere $$\left|3x+2\right|e^{-x}=0$$ Tu qui avevi detto che era impossibile, mentre non è così. Infatti $$\left|3x+2\right|e^{-x}=0 \Rightarrow \left|3x+2\right|=0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$$ Tutto qui! Nessuna formula!
PS. Non c'è alcun ribaltamento: la funzione non ha simmetrie, quindi devi studiare tutti i casi, senza particolari scorciatoie.
I valori assunti dalla funzione sono sempre $>= 0$ perché la funzione stessa è data dal prodotto tra quantità non negative.
Poi cerchiamo di risolvere $$\left|3x+2\right|e^{-x}=0$$ Tu qui avevi detto che era impossibile, mentre non è così. Infatti $$\left|3x+2\right|e^{-x}=0 \Rightarrow \left|3x+2\right|=0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$$ Tutto qui! Nessuna formula!
PS. Non c'è alcun ribaltamento: la funzione non ha simmetrie, quindi devi studiare tutti i casi, senza particolari scorciatoie.
"minomic":
PS. Non c'è alcun ribaltamento: la funzione non ha simmetrie, quindi devi studiare tutti i casi, senza particolari scorciatoie.
Ok, quindi non ci sono simmetrie nemmeno rispetto all'asse $x$ ?
Scusami, essendo il prodotto di funzioni che in ogni caso saranno positive, mi porta a pensare che io devo studiare es. il caso 1, dove è tutto $>=0$, poi essendo la funzione un prodotto di quantità sempre positive, allora il grafico sarà sempre sopra l'asse reale, no?????
Come vedi, il grafico a me risulta speculare:
Certo, non hai messo il modulo! 
Ok, allora bisogna considerare il modulo e quindi la funzione sempre positiva!
"minomic":
Non c'è alcun ribaltamento: la funzione non ha simmetrie, quindi devi studiare tutti i casi, senza particolari scorciatoie.
Una scorciatoia c'è: poiché l'esponenziale è sempre positivo si ha
$|3x+2|e^((x-1)/x)=|(3x+2)e^((x-1)/x)|$
Si può quindi studiare la sola funzione
$g(x)=(3x+2)e^((x-1)/x)$
e poi ribaltarne rispetto all'asse $x$ le parti negative.
Giusto, non ci avevo pensato!
"minomic":
Giusto, non ci avevo pensato!
E ogni tanto rido anche io di color di verde e sorriso smagliante!
Scusate, ma se ho la seguente derivata:
$f'(x) = (xe^x +1)/(x+1)^2$
Se imposto $(xe^x +1)/(x+1)^2$ , come faccio a dire che se è positiva e dove?
IO ho pensato che il denominatore è $AA x in R$ positivo, ma il numeratore??? Ho pensato di risolvere la seguente disequazione logaritmica:
$(xe^x +1)>0 => xe^x > -1$ ma se continuo mi sembra che sia impossibile perchè:
$xe^x > -1=> e^x > -1/x=>ln e^x > ln(-1/x) $ a me sembra impossibile e non so cosa dire????
$f'(x) = (xe^x +1)/(x+1)^2$
Se imposto $(xe^x +1)/(x+1)^2$ , come faccio a dire che se è positiva e dove?
IO ho pensato che il denominatore è $AA x in R$ positivo, ma il numeratore??? Ho pensato di risolvere la seguente disequazione logaritmica:
$(xe^x +1)>0 => xe^x > -1$ ma se continuo mi sembra che sia impossibile perchè:
$xe^x > -1=> e^x > -1/x=>ln e^x > ln(-1/x) $ a me sembra impossibile e non so cosa dire????
Studio grafico.
"burm87":
Studio grafico.
Sto provvedendo, appena finisco ti faccio sapere
Scusami, ho fatto il grafico in questo modo:
E come faccio a dire quando la $e^x$ sta al di sopra di $-1/x$
IO penso che sia da $x>=0$ in poi!
E come faccio a dire quando la $e^x$ sta al di sopra di $-1/x$
IO penso che sia da $x>=0$ in poi!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo