Limiti
Non sto capendo un passaggio :
Scusate, ma come fa a dire prima che $ f(x) = (x^2 - x -2)/(x-2) $ e poi dice che per $ x!= 2 $ diventa:
$ x+1 = (x^2 - x -2)/(x-2) $
Ma da dove ha preso quel $ x+1 $ ????
Scusate, ma come fa a dire prima che $ f(x) = (x^2 - x -2)/(x-2) $ e poi dice che per $ x!= 2 $ diventa:
$ x+1 = (x^2 - x -2)/(x-2) $
Ma da dove ha preso quel $ x+1 $ ????
Risposte
Adesso mi sta facendo tribolare il seguente:
$lim_(x->pi/2)(2xtgx-pi/cosx)=-2$
Come faccio ad arrivare a $-2$ senza utilizzare Hopital
$lim_(x->pi/2)(2xtgx-pi/cosx)=-2$
Come faccio ad arrivare a $-2$ senza utilizzare Hopital
$lim_(x->pi/2)(2xtgx-pi/cosx)=-2$
Ho pensato agli sviluppi di Taylor e sono arrivato ad un punto in cui poi mi sono bloccato, ecco cosa ho fatto:
$lim_(x->pi/2) 2x(x-x^3/6+o(x^3)-pi)/(1-x^2/2+x^4/2)$
Ho scelto quegli ordini di infinitesimi perchè si giunge tutto ad ordine $4$, ovviamente si arriva a quella forma, portando in primis la tangente in forma $(senx)/(cosx)$.
Ma non so se devo fare un cambio di variabile e come devo farlo per qualcosa che tende a zero?
Facendo il prodotto del numeratore con quella $2x$, arrivo a:
$lim_(x->pi/2) (2x^2-x^4/3+o(x^4)-pi)/(1-x^2/2+x^4/2)$
Ma poi come devo continuare?????
Ho pensato agli sviluppi di Taylor e sono arrivato ad un punto in cui poi mi sono bloccato, ecco cosa ho fatto:
$lim_(x->pi/2) 2x(x-x^3/6+o(x^3)-pi)/(1-x^2/2+x^4/2)$
Ho scelto quegli ordini di infinitesimi perchè si giunge tutto ad ordine $4$, ovviamente si arriva a quella forma, portando in primis la tangente in forma $(senx)/(cosx)$.
Ma non so se devo fare un cambio di variabile e come devo farlo per qualcosa che tende a zero?
Facendo il prodotto del numeratore con quella $2x$, arrivo a:
$lim_(x->pi/2) (2x^2-x^4/3+o(x^4)-pi)/(1-x^2/2+x^4/2)$
Ma poi come devo continuare?????
Ciao, facciamo questo cambio di variabile: $$t = x-\frac{\pi}{2} \quad\rightarrow\quad x = t+\frac{\pi}{2}$$ Il limite diventa quindi $$\lim_{t\to 0}\left[2\left(t+\frac{\pi}{2}\right)\tan\left(t+\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\pi}{\cos\left(t+\frac{\pi}{2}\right)}\right]$$ $$\lim_{t\to 0}\left[2\left(t+\frac{\pi}{2}\right)\left(-\cot t\right)+\frac{\pi}{\sin t}\right]$$
Consideriamo ora l'espressione all'interno del limite: la possiamo riscrivere come $$\frac{-\left(2t+\pi\right)\cos t+\pi}{\sin t} = \frac{-2t\cos t}{\sin t} + \frac{\pi-\pi\cos t}{\sin t} = $$ $$= -2\cos t\frac{t}{\sin t}+\pi\frac{1-\cos t}{t}\frac{t}{\sin t}$$ Ora passiamo al limite e, ricordando che $$\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t} = 1 \qquad \lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t}=0$$ concludiamo che il risultato di tutto il limite è effettivamente $-2$.
Consideriamo ora l'espressione all'interno del limite: la possiamo riscrivere come $$\frac{-\left(2t+\pi\right)\cos t+\pi}{\sin t} = \frac{-2t\cos t}{\sin t} + \frac{\pi-\pi\cos t}{\sin t} = $$ $$= -2\cos t\frac{t}{\sin t}+\pi\frac{1-\cos t}{t}\frac{t}{\sin t}$$ Ora passiamo al limite e, ricordando che $$\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t} = 1 \qquad \lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t}=0$$ concludiamo che il risultato di tutto il limite è effettivamente $-2$.
Ho risolto i seguenti limiti, solo che io li riesco a risolvere attribuendo dei valori numerici alle variabili, solo in questo modo riesco a determinare il loro comportamento, solo che questo mi comporta una notevole perdita di tempo e chiedevo a voli qialce consiglio per risolverli in modo rapido, ecco i limiti:
1) $lim_(x->(-1/2)^+) ln(1/(1-x) -1/(2x+1))= +oo$ dite che conviene scrivere il limite in questo modo? $lim_(x->(-1/2)^+ )ln((3x)/(-2x^2+x+1))= +oo$ ??????
Come si fa a risolverle in modo rapido?
2) $lim_(x->0^-) ln(1/(1-x) -1/(2x+1))= -oo$ dite che conviene scrivere il limite in questo modo? $lim_(x->0^-)ln((3x)/(-2x^2+x+1))= -oo$ ??????
3) $lim_(x->1^+) ln(1/(1-x) -1/(2x+1))= +oo$ dite che conviene scrivere il limite in questo modo? $lim_(x->1^+)ln((3x)/(-2x^2+x+1))= +oo$ ??????
1) $lim_(x->(-1/2)^+) ln(1/(1-x) -1/(2x+1))= +oo$ dite che conviene scrivere il limite in questo modo? $lim_(x->(-1/2)^+ )ln((3x)/(-2x^2+x+1))= +oo$ ??????
Come si fa a risolverle in modo rapido?
2) $lim_(x->0^-) ln(1/(1-x) -1/(2x+1))= -oo$ dite che conviene scrivere il limite in questo modo? $lim_(x->0^-)ln((3x)/(-2x^2+x+1))= -oo$ ??????
3) $lim_(x->1^+) ln(1/(1-x) -1/(2x+1))= +oo$ dite che conviene scrivere il limite in questo modo? $lim_(x->1^+)ln((3x)/(-2x^2+x+1))= +oo$ ??????
"Bad90":
1) $lim_(x->(-1/2)^+) ln(1/(1-x) -1/(2x+1))= +oo$
Questo limite non è in una forma indeterminata, quindi si conclude subito.
"Bad90":
2) $lim_(x->0^-) ln(1/(1-x) -1/(2x+1))= -oo$
Nemmeno questo.
"Bad90":
3) $lim_(x->1^+) ln(1/(1-x) -1/(2x+1))= +oo$
Qui secondo me $x -> 1^-$.
Come fai a dire che il primo limite si determina subito? Io lo so che non e' in una forma inedetrminata, e' per questo che ho chiesto come si determina subito! Come fai?
Poi il terzo limite e' come lo vedi scritto e non $x->1^+$ !
Come si fa a risolverli in modo rapido?
Come li risolverestie?
Poi il terzo limite e' come lo vedi scritto e non $x->1^+$ !
Come si fa a risolverli in modo rapido?
Come li risolverestie?
"Bad90":
Poi il terzo limite e' come lo vedi scritto e non $x->1^+$ !
Insomma... è $1^-$ o $1^+$? Hai detto prima una cosa e poi il contrario!
Se si considera la funzione indicata, cioè
$f(x)=ln((3x)/(-2x^2+x+1))$
non si può calcolarne il limite per $x->1^+$ perché quella funzione non esiste per $x>1$.
In realtà l'esercizio chiedeva di studiare la funzione
$f(x)=ln|(3x)/(-2x^2+x+1)|$
e per questa il risultato è $+oo$ sia per $x->1^-$ che per $x->1^+$.
$f(x)=ln((3x)/(-2x^2+x+1))$
non si può calcolarne il limite per $x->1^+$ perché quella funzione non esiste per $x>1$.
In realtà l'esercizio chiedeva di studiare la funzione
$f(x)=ln|(3x)/(-2x^2+x+1)|$
e per questa il risultato è $+oo$ sia per $x->1^-$ che per $x->1^+$.
Ok, ma non essendo nella forma indeterminata, come faccio ad arrivare subito alla conclusione di quanto valgono????
Il denominatore tende a zero ed il numeratore no, quindi la frazione tende ad infinito. Essendoci il valore assoluto, non ci importa se verrebbe $+oo$ o $-oo$: in entrambi i casi il valore assoluto è $+oo$.
Ok, ho fatto le verifiche ed ho dedotto che serebbe stato il caso di trattare i limiti con il valore assoluto.
Per quanto riguarda il grafico, ho visto che questo si riesce a disegnare senza derivata prima e seconda, in quanto i limiti tendono tutti ad $+-oo$, e si ha una discontinuità di seconda specie, giusto?
Per quanto riguarda il grafico, ho visto che questo si riesce a disegnare senza derivata prima e seconda, in quanto i limiti tendono tutti ad $+-oo$, e si ha una discontinuità di seconda specie, giusto?
Sì, le discontinuità sono di seconda specie.
Sapere che i limiti sono tutti infiniti non basta per dire l'andamento della funzione: potrebbe partire da $-oo$ e poi salire fino ad un massimo, scendere fino ad un minimo e salire nuovamente fino a $+oo$ (o cose simili).
Sapere che i limiti sono tutti infiniti non basta per dire l'andamento della funzione: potrebbe partire da $-oo$ e poi salire fino ad un massimo, scendere fino ad un minimo e salire nuovamente fino a $+oo$ (o cose simili).
Quindi penso che il minimo da fare e' sempre la derivata prima e poi per essere piu' eleganti anche la derivata seconda, giusto?
Giusto.
"minomic":
Ciao, facciamo questo cambio di variabile: .
Ti ringrazio per avermi fatto vedere la soluzione, grazie alle dritte datomi, ho compreso il procedimento!
Solo che adesso mi chiedo, quando si incontra un limite, cosa e' che ti fa capire che conviene un cambio di variabile oppure qualche altra via?????
Intuito e pratica!
In quel particolare caso si trattava di un limite con funzioni trigonometriche e $x -> pi/2$. Ho pensato che, dato che ci sono molti limiti notevoli applicabili in caso $x -> 0$, convenisse introdurre una variabile $t=x-pi/2$ in modo che per $x -> pi/2$ si avesse $t -> 0$. Tutto qui.
In quel particolare caso si trattava di un limite con funzioni trigonometriche e $x -> pi/2$. Ho pensato che, dato che ci sono molti limiti notevoli applicabili in caso $x -> 0$, convenisse introdurre una variabile $t=x-pi/2$ in modo che per $x -> pi/2$ si avesse $t -> 0$. Tutto qui.
Come calcolreste il seguente limite?
$lim_(x->-2^+) arctg sqrt((x-2)/(x+2))$
Insomma, quanto fa? Come si risolve???
$lim_(x->-2^+) arctg sqrt((x-2)/(x+2))$
Insomma, quanto fa? Come si risolve???
La funzione è definita soltanto per $x<-2$ e $x>=2$.
"Bad90":
Come calcolreste il seguente limite?
$lim_(x->-2^+) arctg sqrt((x-2)/(x+2))$
Insomma, quanto fa? Come si risolve???
Ciao
Hai provato a calcolare il dominio della funzione? E a vedere se essa è definita per $x->(-2)^+$ ?
Edit: Non avevo visto la risposta di chiaraotta, scusate
"chiaraotta":
La funzione è definita soltanto per $x<-2$ e $x>=2$.
Ok, scusami, allora quanto fa il seguente limite?
$lim_(x->-2^-) arctg sqrt((x-2)/(x+2))$
La funzione di partenza è la seguente:
$f(x) = arctan (-|(x-2)/(x+2)|^(1/2))$
Ha come $C.E. x!= -2$
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