Limiti
Non sto capendo un passaggio :
Scusate, ma come fa a dire prima che $ f(x) = (x^2 - x -2)/(x-2) $ e poi dice che per $ x!= 2 $ diventa:
$ x+1 = (x^2 - x -2)/(x-2) $
Ma da dove ha preso quel $ x+1 $ ????
Scusate, ma come fa a dire prima che $ f(x) = (x^2 - x -2)/(x-2) $ e poi dice che per $ x!= 2 $ diventa:
$ x+1 = (x^2 - x -2)/(x-2) $
Ma da dove ha preso quel $ x+1 $ ????
Risposte
"Bad90":
[quote="chiaraotta"]La funzione è definita soltanto per $x<-2$ e $x>=2$.
Ok, scusami, allora quanto fa il seguente limite?
$lim_(x->-2^-) arctg sqrt((x-2)/(x+2))$
[/quote]Ciao
Il limite non esiste perché per $x->(-2)^-$ la funzione non è definita
Prima di calcolare un limite di una funzione in un punto $x_0$, ti consiglio di determinare il dominio di tale funzione e vedere se ha senso calcolarne il limite per $x->x_0$.
Edit:
Scusa non ho capito bene, la funzione è questa:
$f(x) = arctan (sqrt(-|(x-2)/(x+2)|))$
o questa:
$f(x) = arctan (-sqrt(|(x-2)/(x+2)|))$ ?
Nel primo caso: $f(x)$ in $RR$ non è definita per cui il limite non esiste).
Nel secondo caso, il limite da calcolare è questo:
$lim_(x->-2) arctg(-sqrt(|(x-2)/(x+2)|))$
ed è sempre uguale a $-pi/2$
Si, il limite che hai scritto per ultimo e' giusto ed e' quello della mia funzione! 
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
Volevo chiedere a voi esperti, come risolvereste il seguente limite:
$lim_(x->0) (ln(1+tgx-sinx))/(sqrt(1+2x^3)-1)$
Io ho provato con Hopital e mi è venuto fuori il seguente risultato:
$lim_(x->0) ((1-cos^3(x))/(cos^2(x)))/((3x^2)/sqrt(1+2x^3))= 0/0$
Come faccio ad arrivare al risultato $1/2$
$lim_(x->0) (ln(1+tgx-sinx))/(sqrt(1+2x^3)-1)$
Io ho provato con Hopital e mi è venuto fuori il seguente risultato:
$lim_(x->0) ((1-cos^3(x))/(cos^2(x)))/((3x^2)/sqrt(1+2x^3))= 0/0$
Come faccio ad arrivare al risultato $1/2$
Cominciamo ad eliminare la doppia frazione ed a scomporre in fattori:
$lim_(x->0)((1-cosx)(1+cosx+cos^2x))/(cos^2x)*sqrt(1+2x^2)/(3x^2)$
Separando i fattori che tendono a zero dagli altri abbiamo
$lim_(x->0)((1+cosx+cos^2x)sqrt(1+2x^2))/(3cos^2x)*(1-cosx)/x^2$
La prima frazione tende ad $1$ e l'altra è un limite noto e dà $1/2$.
$lim_(x->0)((1-cosx)(1+cosx+cos^2x))/(cos^2x)*sqrt(1+2x^2)/(3x^2)$
Separando i fattori che tendono a zero dagli altri abbiamo
$lim_(x->0)((1+cosx+cos^2x)sqrt(1+2x^2))/(3cos^2x)*(1-cosx)/x^2$
La prima frazione tende ad $1$ e l'altra è un limite noto e dà $1/2$.
Adesso sto cercando di conprendere perfettamente il seguente limite:
$lim_(x->+oo)2x-1-ln(e^(x)-2)-x$
Come si fa ad arrivare alla soluzione $-1$
$lim_(x->+oo)2x-1-ln(e^(x)-2)-x$
Come si fa ad arrivare alla soluzione $-1$
Per prima cosa puoi scrivere $$x-1-\ln\left(e^x-2\right)$$ Poi puoi vedere la $x$ sotto forma di logaritmo e ottieni $$\ln e^x - \ln\left(e^x-2\right)-1$$ Sfruttando le proprietà dei logaritmi si giunge a $$\ln\left(\frac{e^x}{e^x-2}\right)-1$$ Raccogliendo $e^x$ sopra e sotto ottieni $$\ln\left(\frac{\cancel{e^x}}{\cancel{e^x}\left(1-\frac{2}{e^x}\right)}\right)-1$$ Passando al limite ottieni $$0-1 = -1$$
E quanto fa il seguente limite??
$lim_(x->ln2^-) 2x-1-ln(2-e^x)$
Come devo calcolarlo
$lim_(x->ln2^-) 2x-1-ln(2-e^x)$
Come devo calcolarlo
Questa non è una forma indeterminata.
Se $x\to\ln 2^-$ allora $e^x \to 2^-$. Quindi $2-e^x \to 0^+$. Di conseguenza $$\ln\left(2-e^x\right)\to -\infty$$ Ma con il meno davanti tende a $+oo$. Gli altri termini non sono importanti perché finiti. In conclusione il risultato del limite è $+oo$.
Se $x\to\ln 2^-$ allora $e^x \to 2^-$. Quindi $2-e^x \to 0^+$. Di conseguenza $$\ln\left(2-e^x\right)\to -\infty$$ Ma con il meno davanti tende a $+oo$. Gli altri termini non sono importanti perché finiti. In conclusione il risultato del limite è $+oo$.
OK, ti ringrazio!
Ma come troveresti le intersezioni con gli assi della seguente?
$f(x) = 2x-1-ln(2-e^x)$
$f(x) = 2x-1-ln(2-e^x)$
L'intersezione con l'asse $y$ è immediata: $x=0$ implica $y=-1$.
Per l'intersezione con l'asse $x$ devi porre $$2x-1 = \ln\left(2-e^x\right)$$ La condizione da imporre è $$x < \ln 2$$ mentre per risolvere basta ricordare la definizione di logaritmo. Si arriva quindi a $$e^{2x-1} = 2-e^x$$ che si risolve riconducendosi a un'equazione di secondo grado.
Per l'intersezione con l'asse $x$ devi porre $$2x-1 = \ln\left(2-e^x\right)$$ La condizione da imporre è $$x < \ln 2$$ mentre per risolvere basta ricordare la definizione di logaritmo. Si arriva quindi a $$e^{2x-1} = 2-e^x$$ che si risolve riconducendosi a un'equazione di secondo grado.
"minomic":
L'intersezione con l'asse $y$ è immediata: $x=0$ implica $y=-1$.
Per l'intersezione con l'asse $x$ devi porre $$2x-1 = \ln\left(2-e^x\right)$$ La condizione da imporre è $$x < \ln 2$$ mentre per risolvere basta ricordare la definizione di logaritmo. Si arriva quindi a $$e^{2x-1} = 2-e^x$$ che si risolve riconducendosi a un'equazione di secondo grado.
Allora, la condizione da imporre $x < \ln 2$ deriva dal fatto che siamo a sinistra dell'asintoto $x=ln2$, giusto? Ma poi non capisco gli step intermedi che fai quando dici che usando la definizione di logaritmo e si arriva a $e^{2x-1} = 2-e^x$
Puoi farmi vedere i passaggi che hai fatto???
Più che altro deriva dal fatto che l'argomento di un logaritmo deve essere maggiore di zero, quindi $$2-e^x > 0 \rightarrow e^x < 2 \rightarrow x < \ln 2$$
Scusami, ma non sto capendo come fai a dire questo?
Puoi per favore farmi vedere i passaggi che faresti?
mentre per risolvere basta ricordare la definizione di logaritmo. Si arriva quindi a $e^{2x-1} = 2-e^x$ che si risolve riconducendosi a un'equazione di secondo grado.
Puoi per favore farmi vedere i passaggi che faresti?
Più che altro non riesco a capire l'equazione di secondo grado a cui si arriva?????
Abbiamo $$2x-1 = \ln\left(2-e^x\right)$$ Dalla definizione di logaritmo possiamo dire che $2x-1$ è l'esponente da dare a $e$ per avere $2-e^x$, quindi $$e^{2x-1} = 2-e^x$$ Tramite le proprietà delle potenze possiamo scrivere $$\frac{1}{e}e^{2x}+e^x-2=0$$ Ora poniamo $e^x = t$ e otteniamo $$\frac{1}{e}t^2+t-2=0 \quad\rightarrow\quad t^2+et-2e=0$$ Le soluzioni sono $$t_{1,2} = \frac{-e\pm\sqrt{e^2+8e}}{2}$$ ma teniamo solo quella con il $+$ (sai dire il perché?)
Ricordando la sostituzione che avevamo fatto possiamo dire che $$x = \ln t = \ln\left(\frac{-e+\sqrt{e^2+8e}}{2}\right)\approx 0.29246$$
Ricordando la sostituzione che avevamo fatto possiamo dire che $$x = \ln t = \ln\left(\frac{-e+\sqrt{e^2+8e}}{2}\right)\approx 0.29246$$
Il perche' teniamo solo io piu' e' dovuto al fatto che stiamo trattando dei logaritmi e quindi per le CE sappiamo che ci servono solo valori positivi!
Giusto???
Giusto???
Insomma... la risposta è che avendo posto $$e^x=t$$ la $t$ potrà assumere solo valori positivi, essendo uguagliata a un'esponenziale. Il logaritmo non c'entra.
Minomic, ma nel caso di questa funzione $f(x) = 2x-1-ln(2-e^x)$, io ho considerato il limite $x->-oo$ ed ho ottenuto $-oo$, bene, mi è venuto un dubbio.....
IO so che se mi trovo in presenza di un limite del tipo $lim_(x->+oo) f(x) = +-oo$, so che potrebbero esserci degli asintoti obbliqui, bene, ma questo vale anche se il limite tende a $x->-oo$ Insomma, negli appunti che ho non mi risulta che in una situazione del tipo $lim_(x->-oo) f(x) = +-oo$, ci potrebbero essere degli asintoti obbliqui, dici che sto sbagliando?
Puoi aiutarmi a capire cosa è vero????
IO so che se mi trovo in presenza di un limite del tipo $lim_(x->+oo) f(x) = +-oo$, so che potrebbero esserci degli asintoti obbliqui, bene, ma questo vale anche se il limite tende a $x->-oo$
Insomma, negli appunti che ho non mi risulta che in una situazione del tipo $lim_(x->-oo) f(x) = +-oo$, ci potrebbero essere degli asintoti obbliqui, dici che sto sbagliando? Puoi aiutarmi a capire cosa è vero????
Certo che potrebbe esserci! La possibilità che ci sia un asintoto obliquo si ha se $$\lim_{x\to \infty} = \infty$$ I segni non hanno importanza.
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