Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Sia $X_nsubeRR^3$ il seguente sottospazio (con la topologia euclidea): $X_n = {(x, y, z)inRR^3|x^2 + y^2 + z^2 = n}$, $ninNN$. Sia $Y = uu_{ninNN}X_n$. Determinare se $Y$ sia omeomorfo a $uu_{ninZZ}D_1(2n, 2n, 2n)$, dove $D_1(2n, 2n, 2n)$ è l’insieme dei punti di $RR^3$ a distanza $1$ dal punto $(2n, 2n, 2n)$.
Io avevo pensato che se esiste un omemorfismo $f$ tra questi due spazi allora esso indurrebbe un omeomorfismo tra $Y\\{(0,0,0)}$ e $uu_{ninZZ}D_1(2n, 2n, 2n)\\{f(0,0,0)}$, ...
Ciao,
chiedo una mano per questo esercizietto:
Si consideri su R3 la forma quadratica $Q(x, y, z) := x^2 − y^2 + z^2$.
Mostrare che la forma quadratica Q e' definita positiva sul sottospazio vettoriale W definito dall’equazione $2y − z = 0$.
Ho capito che lo span del W-spazio è: $Span((1,0,0);(0,1,2))$
Ma non capisco come sfruttare questo fatto per dare la definitezza. Perché $x^2 − y^2 + z^2$ mi sembra nessuno possa ssicurare che y non "sorpassi" in valore x e z portando a segno negativo il tutto.
Vorrei ...
Sia $Y={[x_0:x_1:x_2]in\mathbb{P}^2(CC)|x_0^2+x_1^2=x_2^2}$ munito della topologia indotta da quella euclidea. Dare una applicazione aperta e continua da $S^3$ ad $Y$. E’ possibile descrivere $Y$ come il quoziente di $S^3$ per l’azione di un gruppo?
Posto $X={(x_0,x_1,x_2)inCC^3\\{0}|x_0^2+x_1^2=x_2^2}$ abbiamo che $pi(X)=Y$. Per la funzione da $S^3$ ad $X$ avevo pensato $(x_0,x_1)->(x_0,x_1,1)$ che è continua e quindi $(x_0,x_1)->[x_0,x_1,1]$ è continua (composizione della funzione ...
L'esercizio recita:
Classificare la forma quadratica Q : R4 −→ R definita da:
$Q((x, y, z,t)) = x^2 − 8xy + y^2 + 6xz + z^2 + t^2$,
ridurla a forma canonica e determinare la matrice del cambiamento di base dalla base
standard di R3 ad una base che permette di ottenere tale forma canonica.
Ed ero giunto a trovare la matrice del cambiamento di base come quella con colonne gli autovettori rispetto alla mia base:
$((-5, 0, 0, 5), (-4, 0, 3, -4), (3, 0, 4, 3), (0, 1, 0, 0))$
Tuttavia la soluzione dell'eserizciario è:
$((0,0,1/sqrt2,-1/sqrt2), (0,3/5,-(2sqrt2)/5,-(2sqrt2)/5), (0,4/5,3/(5sqrt2),3/(5sqrt2)), (1,0, 0, 0))$
A parte l'ordine delle colonne che ...
Dato un triangolo rettangolo con cateti diversi è possibile dividerlo in due triangoli rettangoli simili a quello di partenza non isometrici.
A partire da una figura divisibile in due parti simili a quella di partenza e non isometriche si possono ottenere divisioni in un numero di parti a piacere non isometriche e simili a quella di partenza, basta prendere la parte piú piccola ottenuta nell' ultima divisione e dividerla di nuovo. Ma esistono figure divisibili in tre parti in cui questa ...
Ciao, giungo qui per chiedere un aiuto. Nel mio corso di algebra lineare di sanno alcuni accenni alla classificazione di coniche.
Tuttavia ho un dubbio perché credo non sia stato approfodnito moltissimo l'argomento e solo trattao marginalmente.
Ho capito ovviamente come trovare fissato un sistema ortonormale, monometrico positivo dalla definizione di ellisse la sua equazione. tuttavia si ottiene con tale metodo: $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ con a secondo membro il +1.
Tuttavia nell'eserciziario trovo ...
Ciao a tutti, sono nuovo e inizio subito a chiedere una mano per un esercizio che onestamente non riesco proprio a capire.
Il testo chiede:
Il mio dubbio è sul punto 3, dopo aver trovato una base per F, io ho impostato la ricerca della base fi F ortogonale sfruttando due eqazioni e la matrice rappresentati va di phi (mia forma bilineare). Cioè:
$(x,y,z,t)*((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,-1),(0,0,-1,2))*(1,0,-1,2)$
e
$(x,y,z,t)*((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,-1),(0,0,-1,2))*(0,1,2,1)$
Questo determina i valori di x,y,z,t del vettore che poi vado a svrivere raccogliendo i ...
Salve!
Ho provato a fare una dimostrazione, vorrei sapere se per voi i miei ragionamenti filano o se c'è qualche falla da qualche parte.
TEOREMA: Sia \( (X,\tau _d), d \) metrica su \( X \) . Sono equivalenti:
1. \( (X, \tau _d) \) compatto
2. \( (X, \tau _d) \) numerabilmente compatto
3. \( (X, \tau _d) \) sequenzialmente compatto
Voglio dimostrare che \( 2. \Rightarrow 3. \) , dove per definizione:
\( (X,\tau _d) \) numerabilmente compatto \( \Longleftrightarrow \forall S\subseteq ...
Siano $Top$ e $Set$ le categorie degli spazi topologici e degli insiemi, e si consideri il funtore $\pi_0$ tra di esse, con la convenzione che $\pi_0(∅) = ∅$.
Determinare se il funtore $\pi_0$ sia Pieno, Fedele o Essenzialmente suriettivo.
Sicuramente non è fedele dato che se prendo due funzioni continue $f,g$ da $RR$ in $RR$ diverse tra loro siccome $RR$ è convesso allora $f$ è ...
Si consideri lo spazio topologico $X =C\\{0}$ munito della topologia euclidea e si consideri l’omeomorfismo $g:X->X$ dato da $z->2z$. Sia $G$ il sottogruppo del gruppo degli omeomorfismi di $X$ generato da $g$. Si consideri lo spazio topologico quoziente $Y=X//G$.
$Y$ è compatto?
$Y$ è T2?
$Y$ è omotopicamente equivalente a $S^1$? E alla bottiglia di Klein?
Intanto ...
Sia $X= {(x, y)inRR^2| 1/3 ≤ max(|x|, |y|) ≤ 1}$ munito della topologia indotta da quella euclidea. Sia ∼ la relazione di equivalenza definita da:
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $1in{|x_1|, |y_1|} ∩ {|x_2|, |y_2|}$
e dalle relazioni che si ottengono dalla riflessività, simmetria e transitività. Sia $Y = X// ∼$ munito della topologia quoziente. Determinare se $Y$ sia omotopo ad un toro o al piano proiettivo reale.
La figura sono i punti che si trovano fra due quadrati uno di lato $1$ e un altro di lato ...
Salve,
Avrei un dubbio su un esercizio proposto:
In R3 si consideri l’endomorfismo f dato da:
f (e1) − f (e2) − f (e3) = o
2 f (e1) − f (e2) = 3e1 + 2e2 − e3
− f (e1) + f (e2) = 3e1 − e2 + 2e3.
RImaniamo in R3.
Io vorrei capire una cosa: quando io definisco una applicazione lineare so che data una base e i vettori wi ho che è unica la applicazione tale che: f(v1)0w1, f(v2)=w2, f(v3)=w3 per il teormea di esistenza e unicità di f.
Però qui mi viene data come c.l di ...
Sia $XsubeRR^2$ il luogo dato dai sei quadrati pieni e chiusi di vertici
$(5a − 1, −1); (5a + 1, −1); (5a − 1, +1); (5a + 1, +1)$.
Dove $a = 0,...,5$. Sia $∼$ la relazione di equivalenza su $X$ definita da
• $(5a + 1, −1 + t) ∼ (5a + 4, −1 + t)$ se $0 ≤ a ≤ 2$ e $tin[0, 2]$,
• $(−1, −1 + t) ∼ (16, −1 + t)$ per $tin[0, 2]$,
• $(19 + t, −1) ∼ (9 + t, 1)$ per $tin[0, 2]$,
• $(9 + t, −1) ∼ (24 + t, 1)$ per $tin[0, 2]$,
• $(19 + t, 1) ∼ (24 + t, −1)$ per $tin[0, 2]$,
• $(4 + t, 1) ∼ (19, −1 + t)$ per $tin[0, 2]$,
• ...
Sia $n$ un numero naturale, si considerino i seguenti sottospazi $RR^3$, tutti muniti della topologia indotta dalla topologia euclidea.
$S_n^2={(x,y,z)inRR^3| x^2+y^2+z^2=2^-n}$
$\Pi={(x,y,z)inRR^3| z=0}$
$P=={(x,y,z)inRR^3| z=0,x^2+y^2<=64}$
$X=(uu_{n=1}^10S_n^2)uu\Pi$
$Y=(uu_{n=1}^inftyS_n^2)uuP$
$Z=uu_{n=1}^inftyS_n^2$
a) Determinare se $Y$ e $Z$ siano compatti.
b)Determinare se $X$ e $z$ siano connessi.
c)Determinare se ogni punto di $Y$ abbia un sistema fondamentale di ...
Sia $S^1subeCC$ il luogo dei numeri complessi di norma $1$ e sia $\varphi:ZZxxS^1->S^1$ una azione definita da $\varphi(n,z)=e^(i n)z$. Dire se il quoziente $S^1//ZZ$ è T2.
Allora intanto osserviamo che preso $z=cos(alpha)+isen(alpha)$ per un certo $alphain[0,2pi]$ si ha che $e^(i n)z=cos(alpha+n)+isen(alpha+n)$ (ovvero le rotazioni di angoli interi su $S^1$). Abbiamo che l'arco aperto su $S^1$ definito come $($$(cos(-1),sin(-1)),(cos(1),sin(1)))$ è un insieme che contiene tutte le ...
Salve! Avrei bisogno di delucidazioni riguardo una dimostrazione, se possibile.
Ho già visto che sul forum viene accettata come definizione il seguente enunciato:
\( f:(X,\tau )\rightarrow (X',\tau ') \) è continua \( \Longleftrightarrow \forall A'\epsilon \tau ', f^-1(A')\epsilon \tau \)
Invece io dovrei dimostrarlo, tenendo conto che:
1) \( f:(X,\tau )\rightarrow (X',\tau ') \) continua in \( a\epsilon X \Longleftrightarrow \forall U'\epsilon I(f(a)) \exists U\epsilon ...
Ciao,
volevo chiedere un aiuto su un esercizio di cui dice "non esiste" il testo di soluzione ma vorrei capire perché.
E' una domanda veloce e chiede trovare tutti i momomorfismo da R4 a R3.
Io mi sono risposto così, dato che le fuznioni ineittive mandano vettori lineamrnete indip. a vettori l.i allora dato che la funzione "copre" tutti gli eleementi del dominio per definizione (cioè non posso prendere solo alcuni vettori di R4, ma tutti) allora so che l'immagine avrebbe dimensione 4 ma lo ...
Il teorema da dimostrare afferma che: "Esiste m con 1$<=$m$<=$n tale che l'inclusione: ker($\psi^s$)$sub$ker($\psi^(s+1)$) sia stretta per s
Ciao, volevo chiedervi una cosa riguardo un dubbio che mi pongo sul complemento ortogonale.
Premetto che il prodotto scalare che si usa è $tr(A^t*B):= A*B$
Ora,
io ho trovato uno spazio $W={(((2b+3d)/3,b),(0,d))|b,d in RR}$
dato cioè dallo span: $Span(((2,3),(0,0));((1,0),(0,1))):=Span(A_1,A_2)=W$ (*)
E' facile trovare il "v-doppio ortogonale" come: $W^⊥={X in RR^(2,2)|XA_1=0,XA_2=0}$ ove con le A intendo le due matrici dello span (che è anche base) al punto (*)
$XA_1=0,XA_2=0$ si traducono nel sistema di due ...
Siano $X_r={(x,y)inRR^2|x^2+y^2=r^2}$ e sia $Y={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=1}$. Si consideri la topologia euclidea su questi sottoinsiemi di $RR^2$ e sia $Z=Yuu(uu_{rin[1,2]nnQQ}X_r)$.
1) Determinare se $Z$ sia compatto.
2) Determinare se $Z$ sia connesso.
3) Determinare l'insieme dei punti di $Z$ che abbiano un sistema fondamentale di intorni connessi nello spazio topologico $Z$.
4) Determinare se ogni punto di $Z$ abbia un sistema fondamentale di intorni ...
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