Forme bilineari ESERCIZIO che non comprendo in un punto
Ciao a tutti, sono nuovo e inizio subito a chiedere una mano per un esercizio che onestamente non riesco proprio a capire.
Il testo chiede:
Il mio dubbio è sul punto 3, dopo aver trovato una base per F, io ho impostato la ricerca della base fi F ortogonale sfruttando due eqazioni e la matrice rappresentati va di phi (mia forma bilineare). Cioè:
$(x,y,z,t)*((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,-1),(0,0,-1,2))*(1,0,-1,2)$
e
$(x,y,z,t)*((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,-1),(0,0,-1,2))*(0,1,2,1)$
Questo determina i valori di x,y,z,t del vettore che poi vado a svrivere raccogliendo i parametri liberi per avere una base MA... c'è un...
Però quello che mi esce sono evidentemente due vettori totalmente distinti da quelli che trova l'esercizio per F ortogonale:
CI sono delgi 11/3 che a me non uscirebbero mai!!
Vorrei chiedervi gentilmente una mano per capire dove cavolo sbaglio
. Non ci arrivo!
Il testo chiede:
Il mio dubbio è sul punto 3, dopo aver trovato una base per F, io ho impostato la ricerca della base fi F ortogonale sfruttando due eqazioni e la matrice rappresentati va di phi (mia forma bilineare). Cioè:
$(x,y,z,t)*((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,-1),(0,0,-1,2))*(1,0,-1,2)$
e
$(x,y,z,t)*((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,-1),(0,0,-1,2))*(0,1,2,1)$
Questo determina i valori di x,y,z,t del vettore che poi vado a svrivere raccogliendo i parametri liberi per avere una base MA... c'è un...
Però quello che mi esce sono evidentemente due vettori totalmente distinti da quelli che trova l'esercizio per F ortogonale:
CI sono delgi 11/3 che a me non uscirebbero mai!!
Vorrei chiedervi gentilmente una mano per capire dove cavolo sbaglio
. Non ci arrivo!
Risposte
Anche se dovresti avere la soluzione, sei sicuro di aver risposto correttamente al punto 2?
Posso chiederti il perché della domanda?
penso di averla trovata in modo corretto dato che il risultato coincideva e ho così svolto il punto 2:
ho preso gli autovettori della matrice associata alla forma quadratica, li ho ortonormalizzati per ogni autospazio dato che sappiamo per il teorema degli assi principali che esiste la matrice ortogonale diagonalizzante.
Insomma: esiste una base di autovettori ortogonale per V mio spazio vettoriali.
Il gioco è fatt. No? Come mai il tuo dubbio? Grazie ancora.
------------------------------------------
Se fosse corretto quanto qui sopra nel mio presente messaggio quindi perché il punto 3 a me non torna, il ragionamento mi sembra corretto. Ho trovato la base di F che coincide con quella del libro e poi ho fatto il procedimento esposto
penso di averla trovata in modo corretto dato che il risultato coincideva e ho così svolto il punto 2:
ho preso gli autovettori della matrice associata alla forma quadratica, li ho ortonormalizzati per ogni autospazio dato che sappiamo per il teorema degli assi principali che esiste la matrice ortogonale diagonalizzante.
Insomma: esiste una base di autovettori ortogonale per V mio spazio vettoriali.
Il gioco è fatt. No? Come mai il tuo dubbio? Grazie ancora.
------------------------------------------
Se fosse corretto quanto qui sopra nel mio presente messaggio quindi perché il punto 3 a me non torna, il ragionamento mi sembra corretto. Ho trovato la base di F che coincide con quella del libro e poi ho fatto il procedimento esposto
Probabilmente l'equivoco nasce dal seguente fatto: sembri essere convinto che uno spazio vettoriale (nel caso specifico, $F^(bot)$) abbia un'unica base, invece ne ha infinite. Per esempio lo spazio generato da $(1,2,3)$ e $(1,1,1)$ è uguale allo spazio generato da $(-1,0,1)$ e $(0,1/5,2/5)$. In generale $L(v_1,v_2) = L(w_1,w_2)$ se e solo se $v_1$ e $v_2$ sono esprimibili come combinazioni lineari di $w_1,w_2$ e viceversa.
Scrivi la base di $F^(bot)$ che hai ottenuto.
Scrivi la base di $F^(bot)$ che hai ottenuto.
"salvesalvino":
... ho preso gli autovettori della matrice associata alla forma quadratica, li ho ortonormalizzati ...
Un conto è determinare una base ortonormale, prodotto scalare canonico, che diagonalizza una matrice simmetrica, un conto è determinare una base ortonormale di un prodotto scalare non canonico. Insomma, anche se il secondo procedimento è, in gran parte, simile al primo, le due consegne sono concettualmente diverse. Tra l'altro, si dovrebbe comprendere il motivo per cui due consegne così diverse possano essere evase in modo così simile.
"salvesalvino":
... li ho ortonormalizzati ...
Secondo quale dei due prodotti scalari? Voglio dire, ammesso e non concesso che la soluzione riportata dal libro sia quella sottostante:
$[[sqrt2/2],[-sqrt2/2],[0],[0]] ^^ [[0],[0],[sqrt2/2],[sqrt2/2]] ^^ [[sqrt6/6],[sqrt6/6],[0],[0]] ^^ [[0],[0],[sqrt6/6],[-sqrt6/6]]$
gli ultimi due vettori hanno norma unitaria secondo il prodotto scalare non canonico, non secondo il prodotto scalare canonico.
P.S.
Se era già tutto chiaro, tanto meglio.
per rispondere a Martino, io ho calcolato come dicevo:
$(x,y,z,t)*((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,-1),(0,0,-1,2))*(1,0,-1,2)$
e
$(x,y,z,t)*((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,-1),(0,0,-1,2))*(0,1,2,1)$
dove ho il sistema di generatori (o meglio base) di F data da (0,1,2,1), (1,0,-1,2) e salvo errori di calcolo trovo base: $B={(1,-1,1/3,1), (0,-1, 2/3, 1)}$
Per rispondere a Noodles su due punti che mi interessano particolarmente:
1) "un conto è determinare una base ortonormale di un prodotto scalare non canonico"
In effetti mi sa che qua a un certo punto avevo fatto un pasticcio e avevo usato il canonico per questo vorrei chiederti se è corretto invece come ho risvolto ora dopo il tuo appunto:
ho preso gli autovettori della matrice associata alla forma quadratica, li ho solo normalizzati in quando ho 4 autovalori distinti quindi gli autovettori sono già ortogonali rispetto al mio prodotto scalare indotto dalla mia matrice. ho in sostanza normalizzato ogni autovettore considerando: $||v||=vMv$ con M la matrice che ho scritto nel primo messaggio. Dovrebbe funzionare giusto?
2) tornando alla domanda n.3 dell'esercizio come gli esca quella base non capisco.
$(x,y,z,t)*((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,-1),(0,0,-1,2))*(1,0,-1,2)$
e
$(x,y,z,t)*((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,-1),(0,0,-1,2))*(0,1,2,1)$
dove ho il sistema di generatori (o meglio base) di F data da (0,1,2,1), (1,0,-1,2) e salvo errori di calcolo trovo base: $B={(1,-1,1/3,1), (0,-1, 2/3, 1)}$
Per rispondere a Noodles su due punti che mi interessano particolarmente:
1) "un conto è determinare una base ortonormale di un prodotto scalare non canonico"
In effetti mi sa che qua a un certo punto avevo fatto un pasticcio e avevo usato il canonico per questo vorrei chiederti se è corretto invece come ho risvolto ora dopo il tuo appunto:
ho preso gli autovettori della matrice associata alla forma quadratica, li ho solo normalizzati in quando ho 4 autovalori distinti quindi gli autovettori sono già ortogonali rispetto al mio prodotto scalare indotto dalla mia matrice. ho in sostanza normalizzato ogni autovettore considerando: $||v||=vMv$ con M la matrice che ho scritto nel primo messaggio. Dovrebbe funzionare giusto?
2) tornando alla domanda n.3 dell'esercizio come gli esca quella base non capisco.
"salvesalvino":E' sbagliato, rifai i calcoli. Per mostrare che è sbagliato basta sostituire questi due vettori nelle equazioni che definiscono l'ortogonale al posto di $(x,y,z,t)$.
salvo errori di calcolo trovo base: $B={(1,-1,1/3,1), (0,-1, 2/3, 1)}$
Ti ringrazio, domani ci riprovo, tuttavia a me più che il conto che ho fatto qui e a mente non avendo più la brutta dell'esercizio mi importava capire se i punti che proponevo (nel mio ultimo post) fossero corretti nello svolgimento.
In ogni caso non mi uscirebbero mai dai conti (evidentemente) quei risultati della prima foto come base. Quello che volevo capire è se il procedimento fosse giusto, più che altro.
Io ho capito quello che dicevi poco sopra, che forse quella dell'eserciziario è solo un'altra base, però mi chiedo come l'abbia ricavata dato che dai due prodotto matriciali di ortogonalità da me proposti credo non uscirebbero mai.
In ogni caso non mi uscirebbero mai dai conti (evidentemente) quei risultati della prima foto come base. Quello che volevo capire è se il procedimento fosse giusto, più che altro.
Io ho capito quello che dicevi poco sopra, che forse quella dell'eserciziario è solo un'altra base, però mi chiedo come l'abbia ricavata dato che dai due prodotto matriciali di ortogonalità da me proposti credo non uscirebbero mai.
Ma il problema è che stai chiedendo chiarimenti sul perché ti viene una base sbagliata e non scrivi il procedimento che ti conduce a quella base. Se lo scrivessi ti accorgeresti che c'è un errore, oppure se ne accorgerebbe chi ti legge dopo. Come pensi che ti si possa rispondere se non riporti i tuoi conti? 
Probabilmente hai seguito un procedimento corretto ma hai fatto qualche errore di distrazione.
Probabilmente hai seguito un procedimento corretto ma hai fatto qualche errore di distrazione.
Eh si avevo commesso un errore nel risolvere quei due prodotti di 3 matrici. 
Ora mi viene
Rimane allora solo la curiosità sul punto:
1) "un conto è determinare una base ortonormale di un prodotto scalare non canonico"
In effetti mi sa che qua a un certo punto avevo fatto un pasticcio e avevo usato il canonico per questo vorrei chiederti se è corretto invece come ho risvolto ora dopo il tuo appunto:
ho preso gli autovettori della matrice associata alla forma quadratica, li ho solo normalizzati in quando ho 4 autovalori distinti quindi gli autovettori sono già ortogonali rispetto al mio prodotto scalare indotto dalla mia matrice. ho in sostanza normalizzato ogni autovettore considerando: ||v||=vMv con M la matrice che ho scritto nel primo messaggio. Dovrebbe funzionare giusto?
Ora mi vieneRimane allora solo la curiosità sul punto:
1) "un conto è determinare una base ortonormale di un prodotto scalare non canonico"
In effetti mi sa che qua a un certo punto avevo fatto un pasticcio e avevo usato il canonico per questo vorrei chiederti se è corretto invece come ho risvolto ora dopo il tuo appunto:
ho preso gli autovettori della matrice associata alla forma quadratica, li ho solo normalizzati in quando ho 4 autovalori distinti quindi gli autovettori sono già ortogonali rispetto al mio prodotto scalare indotto dalla mia matrice. ho in sostanza normalizzato ogni autovettore considerando: ||v||=vMv con M la matrice che ho scritto nel primo messaggio. Dovrebbe funzionare giusto?
Intanto, per quanto riguarda il punto 1, presumo che l'autore definisca un prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica definita positiva. Viceversa, la verifica potrebbe considerarsi superflua. Inoltre, per quanto riguarda il punto 2, poichè:
una base ortonormale è quella del mio messaggio precedente:
Infine, poichè:
la soluzione riportata dall'autore:
essendo manifestamente sbagliata, rischia di ingenerare gravi misconcezioni.
Veramente, gli autovalori sono 2:
di molteplicità algebrica 2.
$[[sqrt2/2,-sqrt2/2,0,0]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[sqrt2/2],[-sqrt2/2],[0],[0]]=1$
$[[0,0,sqrt2/2,sqrt2/2]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[0],[0],[sqrt2/2],[sqrt2/2]]=1$
$[[sqrt6/6,sqrt6/6,0,0]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[sqrt6/6],[sqrt6/6],[0],[0]]=1$
$[[0,0,sqrt6/6,-sqrt6/6]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[0],[0],[sqrt6/6],[-sqrt6/6]]=1$
una base ortonormale è quella del mio messaggio precedente:
$[[sqrt2/2],[-sqrt2/2],[0],[0]] ^^ [[0],[0],[sqrt2/2],[sqrt2/2]] ^^ [[sqrt6/6],[sqrt6/6],[0],[0]] ^^ [[0],[0],[sqrt6/6],[-sqrt6/6]]$
Infine, poichè:
$[[0,0,sqrt2/2,sqrt2/2]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[0],[0],[sqrt2/2],[sqrt2/2]]=1$
$[[-sqrt2/2,sqrt2/2,0,0]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[-sqrt2/2],[sqrt2/2],[0],[0]]=1$
$[[0,0,-sqrt2/2,sqrt2/2]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[0],[0],[-sqrt2/2],[sqrt2/2]]=3$
$[[sqrt2/2,sqrt2/2,0,0]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[sqrt2/2],[sqrt2/2],[0],[0]]=3$
la soluzione riportata dall'autore:
essendo manifestamente sbagliata, rischia di ingenerare gravi misconcezioni.
"salvesalvino":
... in quanto ho 4 autovalori distinti ...
Veramente, gli autovalori sono 2:
$\lambda=1 ^^ \lambda=3$
di molteplicità algebrica 2.
presumo che l'autore definisca un prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica definita positiva
Yep, exactamuant!
. proprio così.Per il resto, grazie mille, allora direi che il primo punto è un errore suo, ora capisco la confusione che mi aveva arrecato.
Infine per gli autovalori ricordavo male, ero andato a memoria, sono ovviamente quelli da te detti. Mi si scusi l'errore di memoira ma ho fatto molti esercizie avrò confuso con un altro non avendo più la brutta copia sotto mano.
Direi che ogni dubbio è risolto! Grazie mille N. e buona giornata
PS: volevo solo aggiungere un PS, per sicurezza sul come trovare una base ortonormale.
Il mio metodo è stato di sfruttare gli autovettori che come sappiamo tra autospazi diversi sono ortogonali tra loro per la forma bilineare SIMMETRICA. Ovviamente avendo molteplicità 2 ci è andata di fortuna che erano tutti ortogonali anche nel medesimo autospazio. E va bene
Detto ciò, siccome la matrice è simmetrica appunto, se mi porto ad usare la base canonica (+ sfrutto il prodotto scalare canonico) la mia matrice induce un endomorfismo simmetrico con prodotto scalare canonico, quindi in realtà autovettori di autospazi diversi sono garantiti ortogonali ANCHE rispetto al prodotto scalare canonico giusto?
[EDIT]
Però mi viene il dubbio che questo metodo non sia giustissimo, infatti io parto da una matrice simmetrica però trovarne gli autovettori non mi garantisce che essi siano tra loro ortogonali per autospazi differenti rispetto al prodotto scalare richiesto, perché in realtà il mio prodotto non è il canonico
uhm sono un po' confuso, parrebbe non dover funzionare eppure è funzionato. C'è qualcosa che mi lascia perplesso.
Mi piacerebbe poter chiarire questo, perché mi sembra corretto ma volevo aver la certezza di aver ragionato correttamente. Chiedo a voi Noodles e Martino una conferma e saluto e ringrazio nuovamente!
Il mio metodo è stato di sfruttare gli autovettori che come sappiamo tra autospazi diversi sono ortogonali tra loro per la forma bilineare SIMMETRICA. Ovviamente avendo molteplicità 2 ci è andata di fortuna che erano tutti ortogonali anche nel medesimo autospazio. E va bene
Detto ciò, siccome la matrice è simmetrica appunto, se mi porto ad usare la base canonica (+ sfrutto il prodotto scalare canonico) la mia matrice induce un endomorfismo simmetrico con prodotto scalare canonico, quindi in realtà autovettori di autospazi diversi sono garantiti ortogonali ANCHE rispetto al prodotto scalare canonico giusto?
[EDIT]
Però mi viene il dubbio che questo metodo non sia giustissimo, infatti io parto da una matrice simmetrica però trovarne gli autovettori non mi garantisce che essi siano tra loro ortogonali per autospazi differenti rispetto al prodotto scalare richiesto, perché in realtà il mio prodotto non è il canonico
uhm sono un po' confuso, parrebbe non dover funzionare eppure è funzionato. C'è qualcosa che mi lascia perplesso.Mi piacerebbe poter chiarire questo, perché mi sembra corretto ma volevo aver la certezza di aver ragionato correttamente. Chiedo a voi Noodles e Martino una conferma e saluto e ringrazio nuovamente!
"salvesalvino":
... autovettori di autospazi diversi sono garantiti ortogonali ANCHE rispetto al prodotto scalare canonico ...
Direi proprio il contrario. Autovettori di autospazi diversi sono ortogonali rispetto al prodotto scalare canonico. Bisogna dimostrare, non è difficile, che sono ortogonali anche rispetto al prodotto scalare non canonico.
Sì, esatto, avevo editato mentre stavi scrivendo mi sa, il discorso come sottolinei è il contrario!
proprio perché la matrice è simmetrica in realtà è questo che garantisce che presa la base canonica e il prodotto scalare canonico ho autovettori ortogonali per autospazi tra loro distinti!
Però è meno ovvio che, dato il mio prodotto scalare (cioè quello dato nell'esercizio), io abbia autovettori ortogonali tra loro anche per questo prodotto scalare non canonico.
Dico meno ovvio perché per averlo dimostrato dovrei garantire di avere una matrice simmetrica quando ho una base ortogonale rispetto al mio prodotto scalare non canonico e non capisco come garantire questo!
proprio perché la matrice è simmetrica in realtà è questo che garantisce che presa la base canonica e il prodotto scalare canonico ho autovettori ortogonali per autospazi tra loro distinti!
Però è meno ovvio che, dato il mio prodotto scalare (cioè quello dato nell'esercizio), io abbia autovettori ortogonali tra loro anche per questo prodotto scalare non canonico.
Dico meno ovvio perché per averlo dimostrato dovrei garantire di avere una matrice simmetrica quando ho una base ortogonale rispetto al mio prodotto scalare non canonico e non capisco come garantire questo!
Quando calcoli il prodotto scalare non canonico tra due autovettori ortogonali rispetto al prodotto scalare canonico, autovettore 1 riga a sinistra per matrice per autovettore 2 colonna a destra, poichè l'azione della matrice sull'autovettore 2 colonna a destra, al netto dell'autovalore, riproduce il medesimo autovettore 2 colonna, il gioco è fatto.
Mi ostinavo a tutti i costi a cercare di dimostrare che la matrice era simmetrica ANCHE rispetto al prodotto scalare non canonico datoci, così da avere garantito di avere una base di autovettori anche per essa per il thm spettrale (e quindi essere ortogonali -gli autovettori- anche per tale prodotto non canonico oltre al canonico).
In effetti era meglio spostare l'attenzione sul calcolo più "operativo" come suggerisci e la risposta è immediata, quelli sono autovettori per la mia matrice, quindi rimangono tali al netto dell'autovalore e quindi ho di nuovo un prodotto scalare riga per colonna canonico con un coefficiente scalare in più!
Grazie mille per il tuo importante aiuto!
In effetti era meglio spostare l'attenzione sul calcolo più "operativo" come suggerisci e la risposta è immediata, quelli sono autovettori per la mia matrice, quindi rimangono tali al netto dell'autovalore e quindi ho di nuovo un prodotto scalare riga per colonna canonico con un coefficiente scalare in più!
Grazie mille per il tuo importante aiuto!
Buon proseguimento e complimenti per i tuoi processi metacognitivi. 
Lo prendo come un reale complimento 
, data la tua estrema capacità (che invidio[nota]In senso buono[/nota] moltissimo) di rendere semplici cose complesse!
Buona giornata
, data la tua estrema capacità (che invidio[nota]In senso buono[/nota] moltissimo) di rendere semplici cose complesse!Buona giornata
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo