Rotazioni in $S^1$
Sia $S^1subeCC$ il luogo dei numeri complessi di norma $1$ e sia $\varphi:ZZxxS^1->S^1$ una azione definita da $\varphi(n,z)=e^(i n)z$. Dire se il quoziente $S^1//ZZ$ è T2.
Allora intanto osserviamo che preso $z=cos(alpha)+isen(alpha)$ per un certo $alphain[0,2pi]$ si ha che $e^(i n)z=cos(alpha+n)+isen(alpha+n)$ (ovvero le rotazioni di angoli interi su $S^1$). Abbiamo che l'arco aperto su $S^1$ definito come $($$(cos(-1),sin(-1)),(cos(1),sin(1)))$ è un insieme che contiene tutte le classi di equivalenza. Se considero l'insieme ${ninZZ|\varphi(n,($ $(cos(-1),sin(-1)),(cos(1),sin(1))))nn($$(cos(-1),sin(-1)),(cos(1),sin(1)))!=∅}={0,1,-1}$ per cui è finito e quindi $S^1//ZZ$ è T2.
Può andar bene?
Allora intanto osserviamo che preso $z=cos(alpha)+isen(alpha)$ per un certo $alphain[0,2pi]$ si ha che $e^(i n)z=cos(alpha+n)+isen(alpha+n)$ (ovvero le rotazioni di angoli interi su $S^1$). Abbiamo che l'arco aperto su $S^1$ definito come $($$(cos(-1),sin(-1)),(cos(1),sin(1)))$ è un insieme che contiene tutte le classi di equivalenza. Se considero l'insieme ${ninZZ|\varphi(n,($ $(cos(-1),sin(-1)),(cos(1),sin(1))))nn($$(cos(-1),sin(-1)),(cos(1),sin(1)))!=∅}={0,1,-1}$ per cui è finito e quindi $S^1//ZZ$ è T2.
Può andar bene?
Risposte
Non si capisce molto quello che hai scritto. Se consideriamo tuttavia la situazione equivalente di \(\mathbb R/\mathbb Z\) con l'azione \(\varphi(n, x) = x + n/2\pi\) la risposta mi sembra immediata. Le orbite sono infatte formate dalle parti frazionarie dei multipli di un numero irrazionale. Se non sbaglio si tratta di un insieme denso in \([0, 1)\) per cui dubito che il tuo quoziente sia effettivamente T2.
ok ho riscritto
Come ho scritto nel mio post precedente, la tua dimostrazione non è corretta. Il tuo insieme non è uguale a \(\{0, 1, -1\}\). Puoi considerare anche solo \(e^{[0, 1)}\) come insieme di partenza, ma se consideriamo per esempio
\[ \varphi(3, e^{[0, 1)}) \cap e^{[0, 1)} = e^{[3, 4)} \cap e^{[0, 1)} = e^{[0, 4 - \pi)} \neq \emptyset \]
\[ \varphi(3, e^{[0, 1)}) \cap e^{[0, 1)} = e^{[3, 4)} \cap e^{[0, 1)} = e^{[0, 4 - \pi)} \neq \emptyset \]
Come ho già detto inizialmente, lo spazio topologico non è T2.
Dimostro prima di tutto che esistono classi di equivalenza distinte. Infatti, se prendo un qualsiasi angolo razionale \(q \in \mathbb Q \cap (0, 1),\) allora \(q + k \neq 2n\pi\) per ogni \(k, n \in \mathbb Z\) perché \(2\pi\) è un numero irrazionale. Quindi \([e^{i0} = 1] \neq [e^{iq}].\)
Voglio ora dimostrare che queste due classi di equivalenza non hanno intorni disgiunti, cioè che
\[ \forall \epsilon \in \mathbb R^+.\; \exists\, k \in \mathbb Z.\; |\varphi(k, e^{iq}) - 1| = |e^{i(q + k)} - 1| < \epsilon.\]
La condizione è equivalente a chiedersi se l'angolo tra i due numeri complessi è inferiore a un qualche \(\delta,\) cioè:
\[ \forall \delta \in \mathbb R^+.\; \exists\, k, n \in \mathbb Z. \; |q + k - 2n\pi| < \delta. \]
Se \(\{x\} = x - \lfloor x \rfloor \) è la parte frazionaria di un numero, allora posso scrivere la condizione come
\[ \forall \delta \in \mathbb R^+.\; \exists\, n \in \mathbb Z. \; |q - \{2n\pi\}| < \delta. \]
Siccome \(2\pi\) è un numero irrazionale sappiamo che l'insieme \(\{2n\pi \mid n \in \mathbb Z\}\) è denso in \([0, 1]\) ed esiste quindi necessariamente un suo elemento che ha una distanza rispetto a \(q\) minore di \(\delta\) per ogni scelta di \(\delta\). Quindi lo spazio non è T2. Per una dimostrazione su quest'ultimo fatto puoi dare una occhiata per esempio qui.
Dimostro prima di tutto che esistono classi di equivalenza distinte. Infatti, se prendo un qualsiasi angolo razionale \(q \in \mathbb Q \cap (0, 1),\) allora \(q + k \neq 2n\pi\) per ogni \(k, n \in \mathbb Z\) perché \(2\pi\) è un numero irrazionale. Quindi \([e^{i0} = 1] \neq [e^{iq}].\)
Voglio ora dimostrare che queste due classi di equivalenza non hanno intorni disgiunti, cioè che
\[ \forall \epsilon \in \mathbb R^+.\; \exists\, k \in \mathbb Z.\; |\varphi(k, e^{iq}) - 1| = |e^{i(q + k)} - 1| < \epsilon.\]
La condizione è equivalente a chiedersi se l'angolo tra i due numeri complessi è inferiore a un qualche \(\delta,\) cioè:
\[ \forall \delta \in \mathbb R^+.\; \exists\, k, n \in \mathbb Z. \; |q + k - 2n\pi| < \delta. \]
Se \(\{x\} = x - \lfloor x \rfloor \) è la parte frazionaria di un numero, allora posso scrivere la condizione come
\[ \forall \delta \in \mathbb R^+.\; \exists\, n \in \mathbb Z. \; |q - \{2n\pi\}| < \delta. \]
Siccome \(2\pi\) è un numero irrazionale sappiamo che l'insieme \(\{2n\pi \mid n \in \mathbb Z\}\) è denso in \([0, 1]\) ed esiste quindi necessariamente un suo elemento che ha una distanza rispetto a \(q\) minore di \(\delta\) per ogni scelta di \(\delta\). Quindi lo spazio non è T2. Per una dimostrazione su quest'ultimo fatto puoi dare una occhiata per esempio qui.
Provo a generalizzare la cosa per farti capire che c'è qualcosa che non quadra:
Sia $ S^1subeCC $ il luogo dei numeri complessi di norma $ 1 $, $alphainRR$ e sia $ \varphi:ZZxxS^1->S^1 $ una azione definita da $ \varphi(n,z)=e^(i nalpha)z $. Dire se il quoziente $ S^1//ZZ $ è T2.
Consideriamo la funzione $S^1//ZZ->S^1$ definita come $[z]->e^((2piarg(z))/alphai)$ questo è un omeomorfismo tra $S^1//ZZ$ e $S^1$ per cui $S^1//ZZ$ è T2 qualunque sia $alpha!=0$
Sia $ S^1subeCC $ il luogo dei numeri complessi di norma $ 1 $, $alphainRR$ e sia $ \varphi:ZZxxS^1->S^1 $ una azione definita da $ \varphi(n,z)=e^(i nalpha)z $. Dire se il quoziente $ S^1//ZZ $ è T2.
Consideriamo la funzione $S^1//ZZ->S^1$ definita come $[z]->e^((2piarg(z))/alphai)$ questo è un omeomorfismo tra $S^1//ZZ$ e $S^1$ per cui $S^1//ZZ$ è T2 qualunque sia $alpha!=0$
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