Sviluppo di taylor

[ciaomammalolmao]

Ciao ho una funzione che non mi riesce sviluppare in $x_o=0$ per la risoluzione di un limite, ho notato che usando il limite notevole viene facilmente. Ma ho provato fermandomi al primo ordine (che in teoria dovrebbe essere la stessa cosa giusto?) e non mi torna. La funzione è $sqrt((1+x^2)^2-1)$. Ho notato che la funzione non è neanche derivabile in zero quindi come posso fare? Grazie

[Mephlip]

Se non esiste la derivata prima in $0$, come fai a svilupparla in serie di Taylor in $0$? Inoltre, potresti riportare il limite per intero?

[Noodles1]

@ ciaomammalolmao

Poichè:

$sqrt((1+x^2)^2-1)=sqrt(2*x^2+x^4)=sqrt(2*x^2*(1+1/2x^2))=sqrt2*|x|*sqrt(1+1/2x^2)$

puoi comunque svilupparla in un intorno sinistro:

$-sqrt2*x*sqrt(1+1/2x^2)$

e in un intorno destro:

$sqrt2*x*sqrt(1+1/2x^2)$

separatamente.

[ciaomammalolmao]

Il limite è $lim_(x->0)(sqrt((1+x^2)^2-1)*arctan(x)*ln(1+2sinx))/(x-sinx)$ si infatti ho capito che non posso svilupparla in zero, però come posso procedere?

[Noodles1]

Se quello è il limite:

$x rarr 0^-$

$-sqrt2*x*sqrt(1+1/2x^2)=-sqrt2*x+o(x)$

$x rarr 0^+$

$sqrt2*x*sqrt(1+1/2x^2)=sqrt2*x+o(x)$

basta e avanza.

[ciaomammalolmao]

Quindi devo distinguere nei due casi? Ma in questo caso conviene usare i limiti notevoli al numeratore? Perché venerdì ho un esame e ancora non ci hanno spiegato come fare i limiti con taylor

[Noodles1]

Se vuoi concludere con gli sviluppi, devi necessariamente distinguere due casi. Altrimenti, visto che sono coinvolti solo dei prodotti e che la radice tende a uno, puoi limitarti a scrivere:

$sqrt((1+x^2)^2-1)=sqrt2*|x|*sqrt(1+1/2x^2)$

Vero è che, visto il valore assoluto, prima o poi dovrai distinguere due casi (questo non significa che il limite sinistro debba essere necessariamente diverso dal limite destro).

[ciaomammalolmao]

Quindi in genere quando mi trovo con solo prodotti conviene evitare di utilizzare taylor per risparmiare tempo? Grazie mille

[Noodles1]

Se l'esercizio è stato pensato per applicare i limiti notevoli, io mi limiterei ad applicare i limiti notevoli.

[ciaomammalolmao]

Ok grazie mille

[pilloeffe]

Ciao ciaomammalolmao,

Il limite proposto non esiste.
Invece risulta:

$\lim_{x \to 0^{\pm}}(\sqrt((1+x^2)^2-1) \cdot arctan(x) \cdot ln(1+2sinx))/(x-sinx) = \pm 12 \sqrt2 $

L'unica cosa da sviluppare in serie è il denominatore, dove si ha cancellazione di infinitesimi:

$x - sin x = x^3/6 + o(x^4) $

Poi osserva che si ha:

$ \sqrt((1+x^2)^2-1) = \sqrt((1+x^2)^2-1^2) = \sqrt((1+x^2)+1) \cdot \sqrt((1+x^2)-1) = \sqrt((1+x^2)+1) \cdot |x| $

Quindi omettendo per comodità gli infinitesimi di ordine superiore si ha:

$\lim_{x \to 0^{\pm}}(\sqrt((1+x^2)^2-1) \cdot arctan(x) \cdot ln(1+2sinx))/(x-sinx) = $

$ = \sqrt2 \lim_{x \to 0^{\pm}}(|x| \cdot arctan(x) \cdot ln(1+2sinx))/(x^3/6) = 6 \sqrt2 \lim_{x \to 0^{\pm}}(|x| \cdot arctan(x) \cdot ln(1+2sinx))/x^3 = $

$ = 6 \sqrt2 \lim_{x \to 0^{\pm}} |x|/x \cdot arctan(x)/x \cdot (ln(1+2sinx))/x = $

$ = 6 \sqrt2 \lim_{x \to 0^{\pm}} |x|/x \cdot arctan(x)/x \cdot (ln(1+2sinx))/(2 sin x) \cdot (2 sin x)/x = $

$ = 12 \sqrt2 \lim_{x \to 0^{\pm}} |x|/x \cdot arctan(x)/x \cdot (ln(1+2sinx))/(2 sin x) \cdot (sin x)/x = $

$ = 12 \sqrt2 \lim_{x \to 0^{\pm}} |x|/x \cdot \lim_{x \to 0^{\pm}} arctan(x)/x \cdot \lim_{x \to 0^{\pm}} (ln(1+2sinx))/(2 sin x) \cdot \lim_{x \to 0^{\pm}} (sin x)/x = $

$ = 12 \sqrt2 \lim_{x \to 0^{\pm}} |x|/x \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 12 \sqrt2 \lim_{x \to 0^{\pm}} |x|/x = \pm 12 \sqrt2 $