Determinare il carattere della serie $\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n)$
Verifico la condizione necessaria per la convergenza
$\lim_{n->\infty}(\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n) = 0^\infty = 0$
Dunque provo ad applicare il criterio del confronto asintotico (essendo la serie a termini positivi) scegliendo
$a_n = (\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n)$, $b_n = \frac{1}{n^2}$
e dunque
$\lim_{n->\infty}n^2(\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n) = \lim_{n->\infty}n^2\cdot n^{-1/2\log(n)} = \lim_{n->\infty} n^{2-1/2\log(n)} = +\infty^{-\infty} = 0$
Essendo la serie associata alla successione $b_n$ convergente, allora anche quella iniziale lo è.
E' corretto?
$\lim_{n->\infty}(\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n) = 0^\infty = 0$
Dunque provo ad applicare il criterio del confronto asintotico (essendo la serie a termini positivi) scegliendo
$a_n = (\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n)$, $b_n = \frac{1}{n^2}$
e dunque
$\lim_{n->\infty}n^2(\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n) = \lim_{n->\infty}n^2\cdot n^{-1/2\log(n)} = \lim_{n->\infty} n^{2-1/2\log(n)} = +\infty^{-\infty} = 0$
Essendo la serie associata alla successione $b_n$ convergente, allora anche quella iniziale lo è.
E' corretto?
Risposte
Sì, va bene. Tuttavia, per la parte dell'esposizione ti consiglio di evitare i simboli non definiti e, nel caso di forme indeterminate, scrivere esplicitamente a cosa tendono base ed esponente; mentre, nel caso in cui non c'è indeterminatezza, ti consiglio di scrivere direttamente $\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{\log n}=0$ e $\lim_{n\to+\infty} n^{2-\frac{1}{2} \log n}=0$ senza scrivere cose bruttine come $0^\infty$ e $+\infty^{-\infty}$. Poi, chiaramente, in sede di esame ti consiglio di riadattare l'esposizione a come la ha introdotta il tuo docente o di chiedere direttamente durante l'esame quale esposizione risulta più chiara per dimostrare le tue conoscenze.
Inoltre, per la parte matematica, un metodo alternativo è osservare che se $n > e^4$ è $\log n > 4$. Quindi, se $n > e^4$ risulta:
$$\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{\log n} < \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^4=\frac{1}{n^2}$$
e concludere col confronto classico (nelle serie, puoi spezzare la serie tra $1$ e $\floor{e^4}-1$ e da $\floor{e^4}$ in poi. La prima sommatoria è finita e quindi non influenza la convergenza; alla coda rimanente della serie puoi applicare la disuguaglianza).
In sostanza è la stessa cosa che hai fatto tu, ma ti dà il vantaggio di imparare a ricavarsi disuguaglianze (e in analisi è fondamentale saperlo fare, quindi ti dà strumenti utili anche in contesti diversi rispetto alle serie; il criterio del confronto asintotico, invece, ti aiuta solo nelle serie e negli integrali impropri).
Inoltre, per la parte matematica, un metodo alternativo è osservare che se $n > e^4$ è $\log n > 4$. Quindi, se $n > e^4$ risulta:
$$\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{\log n} < \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^4=\frac{1}{n^2}$$
e concludere col confronto classico (nelle serie, puoi spezzare la serie tra $1$ e $\floor{e^4}-1$ e da $\floor{e^4}$ in poi. La prima sommatoria è finita e quindi non influenza la convergenza; alla coda rimanente della serie puoi applicare la disuguaglianza).
In sostanza è la stessa cosa che hai fatto tu, ma ti dà il vantaggio di imparare a ricavarsi disuguaglianze (e in analisi è fondamentale saperlo fare, quindi ti dà strumenti utili anche in contesti diversi rispetto alle serie; il criterio del confronto asintotico, invece, ti aiuta solo nelle serie e negli integrali impropri).
Grazie.
In realtà, il primo approccio che tento è proprio quello di maggiorare/minorare il termine generale della serie per riportarlo ad un altro noto, ma non sempre ci riesco.
In realtà, il primo approccio che tento è proprio quello di maggiorare/minorare il termine generale della serie per riportarlo ad un altro noto, ma non sempre ci riesco.
Prego! Sì, non è sempre immediato. Qui, l'idea intuitiva è che vuoi ricondurti ad una serie armonica generalizzata e quindi, una volta notato che:
$$\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{\log n}=\frac{1}{n^{\frac{1}{2}\log n}}$$
vuoi stimare in qualche modo l'esponente $\frac{\log n}{2}$, o trovando una disuguaglianza dall'alto con la stessa struttura della successione della serie armonica avente esponente più grande di $1$ (e quindi dimostrare che c'è convergenza) o trovando una disuguaglianza dal basso con la stessa struttura della successione della serie armonica avente esponente più piccolo di $1$ (e quindi dimostrare che c'è divergenza).
Dato che $\frac{\log n}{2} \to +\infty$ per $n \to +\infty$, certamente sarà $\frac{\log n}{2} \ge 2$ se $n$ è abbastanza grande; poi, per monotonia dell'esponenziale con base maggiore di $1$, sarà $n^{\frac{1}{2}\log n} \ge n^2$. Essendo tutte quantità positive, il suo reciproco invertirà il verso della disuguaglianza, portandoci alla convergenza per confronto con la serie armonica. Quindi, basta risolvere la disequazione $\frac{\log n}{2} \ge 2$ per ottenere la stima desiderata.
Come vedi, alla fine è più capire intuitivamente cosa sta succedendo e sapere dove guardare: la formalizzazione poi viene in maniera del tutto naturale dopo aver tirato giù l'idea.
$$\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{\log n}=\frac{1}{n^{\frac{1}{2}\log n}}$$
vuoi stimare in qualche modo l'esponente $\frac{\log n}{2}$, o trovando una disuguaglianza dall'alto con la stessa struttura della successione della serie armonica avente esponente più grande di $1$ (e quindi dimostrare che c'è convergenza) o trovando una disuguaglianza dal basso con la stessa struttura della successione della serie armonica avente esponente più piccolo di $1$ (e quindi dimostrare che c'è divergenza).
Dato che $\frac{\log n}{2} \to +\infty$ per $n \to +\infty$, certamente sarà $\frac{\log n}{2} \ge 2$ se $n$ è abbastanza grande; poi, per monotonia dell'esponenziale con base maggiore di $1$, sarà $n^{\frac{1}{2}\log n} \ge n^2$. Essendo tutte quantità positive, il suo reciproco invertirà il verso della disuguaglianza, portandoci alla convergenza per confronto con la serie armonica. Quindi, basta risolvere la disequazione $\frac{\log n}{2} \ge 2$ per ottenere la stima desiderata.
Come vedi, alla fine è più capire intuitivamente cosa sta succedendo e sapere dove guardare: la formalizzazione poi viene in maniera del tutto naturale dopo aver tirato giù l'idea.
Chiaro.
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