Aiuto con il carattere della serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1 + \sin n)^n}{2^n} $

[ncant04]

Come da titolo. La serie è a termini positivi. Non posso sfruttare il limite notevole $ \sin \varepsilon (x) ~ \varepsilon (x) $ in quanto nel nostro caso $ n $ non tende a 0 e nemmeno $ \left( 1 + \varepsilon (x) \right) ^ \alpha - 1 ~ \alpha \varepsilon (x) $ per lo stesso motivo. Ho provato con il criterio della radice, ma invano.
Potete darmi una mano?

[moccidentale]

.

[ncant04]

Professori UniPi be like: "Ma sì, mettiamo la trappola."
Era contrassegnato come "difficilissimo", ma a questo punto perché metterlo...

[moccidentale]

.

[ncant04]

Lo farò, per il bene della divulgazione scientifica

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

Ma era in un esame, o in qualche foglio di esercizi? Gia' il fatto che \( \{ \sin(n) \}_{n \in \mathbb{N}} \) e' denso in \( [-1,1] \) non e' completamente banale. E peraltro non basta nemmeno per concludere sulla divergenza (credo), ti serve sapere (per esempio) che vale \( (1 + \sin(n_k) )^{n_k} / 2^{n_k} \ge (1 - 1/f(n_k))^{f(n_k)} \) per una certa sottosuccessione di \( n_k \) ed una qualche \(f\).

[ncant04]

"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":Ma era in un esame, o in qualche foglio di esercizi?

Eserciziario (con complementi di teoria) fornito dai Prof.