Carattere delle serie $ \sum_{n=0}^{\infty} \sin \frac{n+2}{n^3+4} $; $ \sum_{n=0}^{\infty} \cos \frac{n+2}{n^2+4}$

[ncant04]

Come da titolo. Per la prima potrei sfruttare il limite notevole $ \sin \varepsilon (x) ~ \varepsilon (x) $ e ottengo:

\[
\sin \left( \frac{n+2}{n^3+4}\right) \sim \frac{n+2}{n^3+4} = \frac{n}{n^3+4} + \frac{2}{n^3+4}
\]

Dato che $ \frac{n}{n^3+4} < \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2} $ e che $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $ converge, e dato che $ \frac{2}{n^3+4} < \frac{2}{n^3} = 2 \frac{1}{n^3} $ e che $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} $ converge, per confronto con la serie armonica generalizzata $ \frac{1}{n^\alpha} $ quando $ \alpha > 1 $, la serie converge (in quanto somma di due serie convergenti.

Spero di non sbagliarmi.

[Mephlip]

Sì, va bene. Però, per usare il criterio del confronto asintotico, dovresti anche dimostrare che le serie sono a termini di segno costante: non che sia difficile, ma in questi argomenti elementari bisogna sottoporre la preparazione dello studente ad una profonda analisi e quindi assicurarsi che quest'ultimo verifichi tutte le ipotesi dei teoremi che usa.

[ncant04]

"Mephlip":Sì, va bene. Dovresti però dimostrare che le serie sono a termini di segno costante

Hai ragione. Nel caso di $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+2}{n^3+4} $

\[
s_0 = \frac{2}{4} = 0,5 \\
s_1 = \frac{2}{4} + \frac{3}{5} = \frac{11}{10} = 1,1 \\
s_2 = \frac{2}{4} + \frac{3}{5} + \frac{4}{12} = \frac{43}{30} \approx 1,43
\]

si osserva che $ s_{n + 1} = s_n + a_{n+1} \geq s_n $, pertanto è una serie a termini positivi. Non so se dovrei analizzare la vera serie originale invece del suo cugino asintotico.

[Mephlip]

Sì, va bene. Bastava però osservare che $\frac{n+2}{n^3+4}>0$ per ogni $n\in\mathbb{N}$, non è necessaria la monotonia.

"ncant":Non so se dovrei analizzare la vera serie originale invece del suo cugino asintotico.

Che dice il criterio del confronto asintotico?