Dimostrazione teorema funzioni monotone

[Aletzunny1]

Sia $f:(a,b)->RR$ monotona crescente e sia $x0 in (a,b)$: allora esitono finiti:
$1)$ $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$

$2)$ $lim_(x->x0^+)f(x)=Inff(x), x in (x0,b)$

La dimostrazione $1)$ a lezione è stata così fatta: dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$ finito.
$AA x in (a,x0)$ si ha che $f(x)0$ per definizione di Sup esiste $xk in (a,x0)$ tale che $Supf(x)-kx0^-)f(x)=Supf(x)$ finito.

La dimostrazione $2)$ è stata lasciata per esercizio ma sto trovando alcune difficoltà: scrivo il mio tentativo e i miei dubbi:

dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^+)f(x)=Inf(x), x in (x0,b)$ finito.
$AA x in (x0,b)$ si ha che $f(x)>f(x0)$ e dunque $Inf(x)>=f(x0)$ (ma ora posso dire lo stesso che l'$Inff(x)$ è finito?) Dunque $Inf(x)$ esiste finito(?). Inoltre dato $k>0$ per definizione di Inf esiste $xk in (x0,b)$ tale che $Inf(x)x0^+)f(x)=Inff(x)$ finito.

Ho dunque questo dubbio sulla parte iniziale e non so come risolverlo.
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie

[gugo82]

"Aletzunny":Sia $f:(a,b)->RR$ monotona crescente e sia $x0 in (a,b)$: allora esitono finiti:
$1)$ $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$

$2)$ $lim_(x->x0^+)f(x)=Inff(x), x in (x0,b)$

[...]

La dimostrazione $2)$ è stata lasciata per esercizio ma sto trovando alcune difficoltà: scrivo il mio tentativo e i miei dubbi:

dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^+)f(x)=Inf(x), x in (x0,b)$ finito.
$AA x in (x0,b)$ si ha che $f(x)>f(x0)$ e dunque $Inf(x)>=f(x0)$ (ma ora posso dire lo stesso che l'$Inff(x)$ è finito?) Dunque $Inf(x)$ esiste finito(?).

Se hai capito perché $f(x)<=f(x_0) => "sup" f " finito"$ non dovresti avere problemi a rispondere da solo.

"Aletzunny":Inoltre dato $k>0$ per definizione di Inf esiste $xk in (x0,b)$ tale che $Inf(x)x0^+)f(x)=Inff(x)$ finito.

Giusto... A parte una disuguaglianza.


P.S.: Per favore, correggi i pedici... Dopo quasi 900 post non si possono vedere formule con $xk$ al posto di $x_k$.

P.P.S.: I comandi per gli estremi inferiore e superiore in MathML non esistono. Si può sopperire con i codici:

"inf"
"sup"

[Aletzunny1]

"gugo82":[quote="Aletzunny"]Sia $f:(a,b)->RR$ monotona crescente e sia $x0 in (a,b)$: allora esitono finiti:
$1)$ $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$

$2)$ $lim_(x->x0^+)f(x)=Inff(x), x in (x0,b)$

[...]

La dimostrazione $2)$ è stata lasciata per esercizio ma sto trovando alcune difficoltà: scrivo il mio tentativo e i miei dubbi:

dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^+)f(x)=Inf(x), x in (x0,b)$ finito.
$AA x in (x0,b)$ si ha che $f(x)>f(x0)$ e dunque $Inf(x)>=f(x0)$ (ma ora posso dire lo stesso che l'$Inff(x)$ è finito?) Dunque $Inf(x)$ esiste finito(?).

Se hai capito perché $f(x)<=f(x_0) => "sup" f " finito"$ non dovresti avere problemi a rispondere da solo.

"Aletzunny":Inoltre dato $k>0$ per definizione di Inf esiste $xk in (x0,b)$ tale che $Inf(x)x0^+)f(x)=Inff(x)$ finito.

Giusto... A parte una disuguaglianza.


P.S.: Per favore, correggi i pedici... Dopo quasi 900 post non si possono vedere formule con $xk$ al posto di $x_k$.

P.P.S.: I comandi per gli estremi inferiore e superiore in MathML non esistono. Si può sopperire con i codici:

"inf"
"sup"

[/quote]

Allora è proprio lì che non sono sicuro di aver capito benissimo.

Pensavo che il fatto che $f(x)<=f(x_0)$ implicasse che nell'intervallo $(a,x_0)$ allora il $Supf(x)$ $AA x in(a,x_0)$ fosse di certo minore di $f(x_0)$ e dunque finito.

Ma è qui probabilmente che sbaglio e quindi non capisco il caso dell'$Inf f(x)$.
Potresti aiutarmi?

Invece che errore c'è nella seconda parte?

[gugo82]

Perché dovresti sbagliare?

Che cos'è il $"sup"$?

Per quanto riguarda l'errore, perché $"inf" f < f(x)$?

[Aletzunny1]

"gugo82":Perché dovresti sbagliare?

Che cos'è il $"sup"$?

Per quanto riguarda l'errore, perché $"inf" f < f(x)$?

Il sup è il più piccolo dei maggioranti tale che data l'insieme $A$ si ha che $a<=lambda$ $AA a$ dove $lambda$ è il sup.

Dovrei mettere invece $Inf f(x)<=f(x)$ ?

[Aletzunny1]

"gugo82":Perché dovresti sbagliare?

Che cos'è il $"sup"$?

Per quanto riguarda l'errore, perché $"inf" f < f(x)$?

Però ancora non mi è chiaro perché da $f(x)>=f(x_0)$ $AA x in (x_0,b)$ e da $Inf f(x)>=f(x_0)$ si ha che l'$Inf f(x)$ è finito.

[gugo82]

Quali valori sono possibili per lo $"inf"$ di un insieme?
E per lo $"inf"$ di una funzione?


P.S.: Sì, ci va la disuguaglianza larga.

[Aletzunny1]

"gugo82":Quali valori sono possibili per lo $"inf"$ di un insieme?
E per lo $"inf"$ di una funzione?


P.S.: Sì, ci va la disuguaglianza larga.

Perfetto allora la disuguaglianza è sistemata.

Ora devo capire la prima parte della dimostrazione:
Allora dato un insieme $A$ l$Inf f(x)$ è il più grande dei minoranti, cioè $AA a$ si ha che $lambda<=f(x)$ dove $lambda$ è l'$Inf f(x)$.

Mentre onestamente non ho compreso cosa intendi con "quali valori" sono possibili per l'$"inf"$ di una funzione? cioè nella mia idea(teoricamente l'$"inf"$ di una funzione non è stato trattato a lezione)l'$"inf"$ di una funzione sarebbe il valore più piccolo che la funzione può assumere (però così mi puzza tanto di definizione di minimo)

[gugo82]

Non hai risposto alla domanda. Quali valori può assumere $"inf" X$ con $X sube RR$?
Può essere $"inf" X $ un numero reale? Può essere $+oo$? E $-oo$?

Per quanto riguarda le funzioni, vai a studiare la teoria.


P.S.: Ma questa è roba di Analisi I, mentre stai chiedendo cose di Analisi II... Mi spieghi che succede?

[Aletzunny1]

"gugo82":Non hai risposto alla domanda. Quali valori può assumere $"inf" X$ con $X sube RR$?
Può essere $"inf" X $ un numero reale? Può essere $+oo$? E $-oo$?

Per quanto riguarda le funzioni, vai a studiare la teoria.


P.S.: Ma questa è roba di Analisi I, mentre stai chiedendo cose di Analisi II... Mi spieghi che succede?

Alla domanda non ti ho risposto perché non so rispondere onestamente.
La teoria di analisi 1 che ho seguito non parla dell' $"inf"$ e del $"suf"$ di funzioni(mette questi teoremi nella teoria sui limiti) e ho provato a guardare sui libri che ho a casa ma ho trovato pochissimo.

Semplice...con tutto questo macello per il covid 19 ho Analisi 1 da dare l'orale(dunque tutta teoria) e intanto l'università stacaricando tramite video di qualche anno fa il corso di analisi 2

[Aletzunny1]

"gugo82":Non hai risposto alla domanda. Quali valori può assumere $"inf" X$ con $X sube RR$?
Può essere $"inf" X $ un numero reale? Può essere $+oo$? E $-oo$?

Per quanto riguarda le funzioni, vai a studiare la teoria.


P.S.: Ma questa è roba di Analisi I, mentre stai chiedendo cose di Analisi II... Mi spieghi che succede?

Il fatto che $"inf"X$ sia un numero o $+infty$ o $-infty$ è quello che sto cercando di capire

[gugo82]

"Aletzunny":[quote="gugo82"]Non hai risposto alla domanda. Quali valori può assumere $"inf" X$ con $X sube RR$?
Può essere $"inf" X $ un numero reale? Può essere $+oo$? E $-oo$?

Per quanto riguarda le funzioni, vai a studiare la teoria.


P.S.: Ma questa è roba di Analisi I, mentre stai chiedendo cose di Analisi II... Mi spieghi che succede?

Alla domanda non ti ho risposto perché non so rispondere onestamente.[/quote]
Allora pensaci di più.

"Aletzunny":La teoria di analisi 1 che ho seguito non parla dell' $"inf"$ e del $"suf"$ di funzioni(mette questi teoremi nella teoria sui limiti) e ho provato a guardare sui libri che ho a casa ma ho trovato pochissimo.

Che libri hai?

"Aletzunny":Semplice...con tutto questo macello per il covid 19 ho Analisi 1 da dare l'orale(dunque tutta teoria) e intanto l'università stacaricando tramite video di qualche anno fa il corso di analisi 2

[Aletzunny1]

"gugo82":[quote="Aletzunny"][quote="gugo82"]Non hai risposto alla domanda. Quali valori può assumere $"inf" X$ con $X sube RR$?
Può essere $"inf" X $ un numero reale? Può essere $+oo$? E $-oo$?

Per quanto riguarda le funzioni, vai a studiare la teoria.


P.S.: Ma questa è roba di Analisi I, mentre stai chiedendo cose di Analisi II... Mi spieghi che succede?

Alla domanda non ti ho risposto perché non so rispondere onestamente.[/quote]
Allora pensaci di più.

"Aletzunny":La teoria di analisi 1 che ho seguito non parla dell' $"inf"$ e del $"suf"$ di funzioni(mette questi teoremi nella teoria sui limiti) e ho provato a guardare sui libri che ho a casa ma ho trovato pochissimo.

Che libri hai?

"Aletzunny":Semplice...con tutto questo macello per il covid 19 ho Analisi 1 da dare l'orale(dunque tutta teoria) e intanto l'università stacaricando tramite video di qualche anno fa il corso di analisi 2

[/quote]

Seriamente ho provato a pensarci rispetto alla definizione di $"inf"$ ma con un intervallo $(a,b)$ non riesco a capire perché da $f(x)>f(x_0)$ e da $"inf" f(x)>=f(x_0)$ con $(x_0,b)$ si possa dire che $"inf"f(x)$ sia finito.

Come testo ho il Giusti terza edizione

[Aletzunny1]

"gugo82":[quote="Aletzunny"][quote="gugo82"]Non hai risposto alla domanda. Quali valori può assumere $"inf" X$ con $X sube RR$?
Può essere $"inf" X $ un numero reale? Può essere $+oo$? E $-oo$?

Per quanto riguarda le funzioni, vai a studiare la teoria.


P.S.: Ma questa è roba di Analisi I, mentre stai chiedendo cose di Analisi II... Mi spieghi che succede?

Alla domanda non ti ho risposto perché non so rispondere onestamente.[/quote]
Allora pensaci di più.

"Aletzunny":La teoria di analisi 1 che ho seguito non parla dell' $"inf"$ e del $"suf"$ di funzioni(mette questi teoremi nella teoria sui limiti) e ho provato a guardare sui libri che ho a casa ma ho trovato pochissimo.

Che libri hai?

"Aletzunny":Semplice...con tutto questo macello per il covid 19 ho Analisi 1 da dare l'orale(dunque tutta teoria) e intanto l'università stacaricando tramite video di qualche anno fa il corso di analisi 2

[/quote]

Altrimenti che testi mi consiglieresti per questi argomenti come $"sup"$ e $"inf"$ di funzioni?
Grazie

[gugo82]

"gugo82":Non hai risposto alla domanda. Quali valori può assumere $"inf" X$ con $X sube RR$?
Può essere $"inf" X $ un numero reale? Può essere $+oo$? E $-oo$?

A questa puoi rispondere certamente.

"Aletzunny":[quote="gugo82"]Che libri hai?

Come testo ho il Giusti terza edizione[/quote]
Io ho sotto mano la seconda edizione. La definizione per le funzioni è nel capitolo 3, "Funzioni e loro limiti; funzioni continue", par. 1, Definizione 1.2.
Insomma, quella degli estremi superiore ed inferiore è la prima definizione che si dà quando si comincia a parlare di funzioni numeriche.

Non credo che questo paragrafo sia stato eliminato dalla nuova edizione... Vedi un po'.

[Aletzunny1]

"gugo82":[quote="gugo82"]Non hai risposto alla domanda. Quali valori può assumere $"inf" X$ con $X sube RR$?
Può essere $"inf" X $ un numero reale? Può essere $+oo$? E $-oo$?

A questa puoi rispondere certamente.

"Aletzunny":[quote="gugo82"]Che libri hai?

Come testo ho il Giusti terza edizione[/quote]
Io ho sotto mano la seconda edizione. La definizione per le funzioni è nel capitolo 3, "Funzioni e loro limiti; funzioni continue", par. 1, Definizione 1.2.
Insomma, quella degli estremi superiore ed inferiore è la prima definizione che si dà quando si comincia a parlare di funzioni numeriche.

Non credo che questo paragrafo sia stato eliminato dalla nuova edizione... Vedi un po'.[/quote]

Grazie...lo ricerco subito! Forse è stato mio l'errore di cercarlo nei soli limiti!
Grazie della dritta

[gugo82]

Bravo.
Questa è una definizione fondamentale, non conoscerla equivale a non aver capito un tubo di Analisi.

Ora, tornando a noi, l'estremo inferiore $"inf"X$ di un sottoinsieme $X sube RR$ quali valori può assumere?

[Aletzunny1]

Perdonami ma non l'ho ancora capito!

Ho finito adesso di leggere la definizione sul Giusti (pag 124, paragrafo 4.5, definizione 4.7) e parla di quando una funzione è limitata superiormente, inferiormente o limitata.

L'idea, probabilmente sbagliata, che mi sono fatto è che se $XsubeRR$ allora per forza $"inf"X$ deve essere contenuto in $RR$ e dunque finito.

[gugo82]

"Aletzunny":Ho finito adesso di leggere la definizione sul Giusti (pag 124, paragrafo 4.5, definizione 4.7) e parla di quando una funzione è limitata superiormente, inferiormente o limitata.

Subito dopo dovrebbe esserci la definizione che cerchi.

"Aletzunny":L'idea, probabilmente sbagliata, che mi sono fatto è che se $XsubeRR$ allora per forza $"inf"X$ deve essere contenuto in $RR$ e dunque finito.

Ah, dunque vediamo... Qual è l'estremo inferiore di $X=ZZ$?

[Aletzunny1]

"gugo82":[quote="Aletzunny"]Ho finito adesso di leggere la definizione sul Giusti (pag 124, paragrafo 4.5, definizione 4.7) e parla di quando una funzione è limitata superiormente, inferiormente o limitata.

Subito dopo dovrebbe esserci la definizione che cerchi.

"Aletzunny":L'idea, probabilmente sbagliata, che mi sono fatto è che se $XsubeRR$ allora per forza $"inf"X$ deve essere contenuto in $RR$ e dunque finito.

Ah, dunque vediamo... Qual è l'estremo inferiore di $X=ZZ$?[/quote]

Sono sincero: $1)$ non sto capendo più nulla, $2)$ ho cercato nelle pagine successive ma ancora non ho trovato nulla, se no che $"in"f$ in $RR$ $<="inf"f$ in $X$ $<="sup"f$ in $X$ $<="inf" f$ in $RR$

[gugo82]

Sono sincero anch'io:

[list=1][*:cyky1jy3] ti ho fatto una domanda e ti ho chiesto di rispondere, non c'è nulla da capire, ti devi solo fidare;

[/*:m:cyky1jy3]
[*:cyky1jy3] mi stai dicendo seriamente che un testo di Analisi Matematica I usa i simboli $"inf"_X f$ e $"sup"_X f$ senza definirli... Le alternative sono due: o Giusti si è improvvisamente rincoglionito (così come tutti i revisori della Boringhieri) o tu non leggi attentamente il testo.
A scanso di equivoci, la definizione presente sul mio testo è questa qui:


[/*:m:cyky1jy3][/list:o:cyky1jy3]
Tornando a noi:

"gugo82":Quali valori può assumere $"inf" X$ con $X sube RR$?
Può essere $"inf" X $ un numero reale? Può essere $+oo$? E $-oo$?