Problema con equazione differenziale
Salve ragazzi e buonasera a tutti, non riesco a risolvere due equazioni differenziali,
in particolare ho $ y'=2t(y-1)^2 $ ed $ y' = cos(t)e^(-2y+sen(t)) $.
La prima avevo pensato a variabili separabili, e quindi
$ (1/(y-1)^2) dy = 2t dt $ e risolvendo gli integrali ho trovato, $ 1/(y-1)=-t^2+c $. Ma questo punto non riesco ad isolare la y, per trovare una soluzione.
Ringrazio tutti
in particolare ho $ y'=2t(y-1)^2 $ ed $ y' = cos(t)e^(-2y+sen(t)) $.
La prima avevo pensato a variabili separabili, e quindi
$ (1/(y-1)^2) dy = 2t dt $ e risolvendo gli integrali ho trovato, $ 1/(y-1)=-t^2+c $. Ma questo punto non riesco ad isolare la y, per trovare una soluzione.
Ringrazio tutti
Risposte
Ciao! Anche la seconda è a variabili separabili, prova a fare dei conti.
La prima è corretta (occhio che hai anche la soluzione $y=1$), ma un po' mi stupisce che non riesci ad isolare la $y$. Passa ai reciproci.
La prima è corretta (occhio che hai anche la soluzione $y=1$), ma un po' mi stupisce che non riesci ad isolare la $y$. Passa ai reciproci.
Si ho provato a passare ai reciproci, ma da qualche punto sbaglio i conti e mi blocco. Ed alla fine non mi trovo più con la soluzione. Anche la seconda non sono riuscito a capire come scriverla per poterla risolvere a variabili separabili. Potete aiutarmi?
Sì che ti aiutiamo, ma aiuto non significa risolvere. Ribadisco quindi: prova a fare dei conti, scrivili pure tutti e li controlliamo con piacere (è più importante capire dove sbagli piuttosto che leggere uno svolgimento).
Quindi hai provato a passare ai reciproci hai detto, dunque sei arrivato a
$$y-1=\frac{1}{-t^2+c}$$
Cosa non ti torna a questo punto? Qual è la soluzione che hai con cui non ti trovi? Poi, un altro consiglio decisamente più importante: ti hanno detto/hai capito studiando che le soluzioni delle equazioni differenziali puoi verificarle?
Per la seconda aspetto che mi scriverai almeno qualche passaggio, scritta in quella forma puoi fare qualcosa e non ci credo che hai guardato il foglio 10 minuti senza fare nulla
Quindi hai provato a passare ai reciproci hai detto, dunque sei arrivato a
$$y-1=\frac{1}{-t^2+c}$$
Cosa non ti torna a questo punto? Qual è la soluzione che hai con cui non ti trovi? Poi, un altro consiglio decisamente più importante: ti hanno detto/hai capito studiando che le soluzioni delle equazioni differenziali puoi verificarle?
Per la seconda aspetto che mi scriverai almeno qualche passaggio, scritta in quella forma puoi fare qualcosa e non ci credo che hai guardato il foglio 10 minuti senza fare nulla
Vorrei postare il primo, ma non riesco a caricare una immagine jpg.
Comunque mi trovo $ y = 1/(-x+c) + 1 $ e risolvendo Cauchy in y(0) = 1 mi trovo $ C = 1 + C $
Comunque mi trovo $ y = 1/(-x+c) + 1 $ e risolvendo Cauchy in y(0) = 1 mi trovo $ C = 1 + C $
Ho inserito al posto t la x
"dansi":
Vorrei postare il primo, ma non riesco a caricare una immagine jpg.
Meglio così, le immagini col tempo spariscono; ma scrivere direttamente? Non è così lungo, dai.
"dansi":
Comunque mi trovo $ y = 1/(-x+c) + 1 $ e risolvendo Cauchy in y(0) = 1 mi trovo $ C = 1 + C $
E il quadrato all'esponente della $x$? Errore di trascrizione qui sul forum o sparisce per altri motivi?
Da $C=1+C$ segue che $0=1$, c'è qualche problema.
Comunque cerca di riportare integralmente i testi dei problemi, una cosa è un'equazione differenziale, un'altra è un problema di Cauchy.
Il testo è il problema di Cauchy $ y' = 2t(y-1)^2 $ poi mi chiede con $ y(0) = 1 $, quindi avevo sostituito la 0 al posto della x dopo aver trovato la y. Mi porta come risposta $ ha y = 1 come soluzione $
Ok, tuttavia qua c'è un bel problema: applicare il metodo risolutivo ti fa annullare un denominatore, c'è decisamente qualcosa che non va.
Quindi, abbiamo visto che $y(x)=1$ è una soluzione, ce ne possono essere altre?
Se sì, perché sì?
Se no, perché no?
Quindi, abbiamo visto che $y(x)=1$ è una soluzione, ce ne possono essere altre?
Se sì, perché sì?
Se no, perché no?
e non l'ho capita. 
mi arrendo.
mi arrendo.
Ma non arrenderti, devi solo studiare un po' meglio ed essere disposto a ragionarci su il necessario.
Innanzitutto, ti è chiaro perché $y(x)=1$ è soluzione del problema di Cauchy?
Inoltre, che teoremi conosci sulle equazioni differenziali? Ce n'è uno in particolare che è importante.
Innanzitutto, ti è chiaro perché $y(x)=1$ è soluzione del problema di Cauchy?
Inoltre, che teoremi conosci sulle equazioni differenziali? Ce n'è uno in particolare che è importante.
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