Studio della funzione integrale - I... VI
Le nozioni e gli esempi proposti in questo thread sono presenti anche in questi appunti pubblicati sul sito.
***
Tempo fa, un utente del Forum (non ricordo più chi) aveva chiesto un aiuto per studiare questo tipo di funzioni.
Questo post vuole rispondere a quella domanda.
Ho diviso il testo in vari punti e in post diversi :
A)Definizione di funzione integrale e richiamo di proprietà degli integrali definiti.
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .[ Rilassando al massimo le condizioni cui deve soddisfare la funzione integranda, si può arrivare a dire che l'insieme delle discontinuità della funzione integranda è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue].
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è continua e derivabile (derivabile solo nei punti in cui $f $ è continua) ed ha come derivata la funzione integranda.
Ovviamente $F''(x) = f'(x)$
E' utile ricordare che :
$int_x^a f(t)dt = - int_a^x f(t)dt $
$int_a^a f(t)dt=0 $
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a
Nel caso che un estremo dell'integrale non sia semplicemente $ x $ ma una funzione di $x$ , diciamo $g(x)$, sia cioè $ F(x) = int_a^(g(x)) f(t)dt $ allora applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene che :
$F'(x) = f[g(x)]*g'(x) $
Un esempio servirà a chiarire meglio
Es. Sia $F(x) = int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ ; pongo $y =sqrt(x); G(y)=int_0^y e^(t^2)dt$ da cui $F(x)=G(sqrt(x)) $ e quindi $G'(y)=e^(y^2)$ e infine $F'(x)=G'(sqrt(x))*1/(2*sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.
Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di $x$, diciamo $ g_1(x),g_2(x)$ , sia cioè :$F(x)= int_(g_1(x))^(g_2(x)) f(t)dt $ si ha analogamente che $F'(x)=f[g_2(x)]*g'_2(x)-f[g_1(x)]*g'_1(x)$.
SEGUE
Edit : apportate modifiche in linea con suggerimenti di gugo
***
Tempo fa, un utente del Forum (non ricordo più chi) aveva chiesto un aiuto per studiare questo tipo di funzioni.
Questo post vuole rispondere a quella domanda.
Ho diviso il testo in vari punti e in post diversi :
A)Definizione di funzione integrale e richiamo di proprietà degli integrali definiti.
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .[ Rilassando al massimo le condizioni cui deve soddisfare la funzione integranda, si può arrivare a dire che l'insieme delle discontinuità della funzione integranda è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue].
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è continua e derivabile (derivabile solo nei punti in cui $f $ è continua) ed ha come derivata la funzione integranda.
Ovviamente $F''(x) = f'(x)$
E' utile ricordare che :
$int_x^a f(t)dt = - int_a^x f(t)dt $
$int_a^a f(t)dt=0 $
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a
Nel caso che un estremo dell'integrale non sia semplicemente $ x $ ma una funzione di $x$ , diciamo $g(x)$, sia cioè $ F(x) = int_a^(g(x)) f(t)dt $ allora applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene che :
$F'(x) = f[g(x)]*g'(x) $
Un esempio servirà a chiarire meglio
Es. Sia $F(x) = int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ ; pongo $y =sqrt(x); G(y)=int_0^y e^(t^2)dt$ da cui $F(x)=G(sqrt(x)) $ e quindi $G'(y)=e^(y^2)$ e infine $F'(x)=G'(sqrt(x))*1/(2*sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.
Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di $x$, diciamo $ g_1(x),g_2(x)$ , sia cioè :$F(x)= int_(g_1(x))^(g_2(x)) f(t)dt $ si ha analogamente che $F'(x)=f[g_2(x)]*g'_2(x)-f[g_1(x)]*g'_1(x)$.
SEGUE
Edit : apportate modifiche in linea con suggerimenti di gugo
Risposte
Evidentemente l'integrale:
\[
\Psi (x):=\int_0^x \Gamma (t)\ \text{d} t
\]
non converge: infatti in \(0\) la funzione \(\Gamma\) è un infinito d'ordine maggiore di \(1\) e dunque non è sommabile.
Quindi la \(\Psi\) non è una funzione propria: infatti, \(\Psi (x)=+\infty\) per ogni \(x>0\).
La cosa si può salvare considerando la funzione:
\[
\Lambda (x) := \int_1^x \Gamma (t)\ \text{d} t\; .
\]
Tale funzione è strettamente crescente in \(]0,+\infty[\), perchè la sua derivata è positiva in \(]0,+\infty[\); è nulla in \(1\), positiva in \(]1,+\infty[\) e negativa in \(]0,1[\); ha \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \Lambda (x)=-\infty\); la funzione è concava in \(]0,1]\) e convessa in \([1,+\infty[\); e cresce all'infinito molto velocemente.
\[
\Psi (x):=\int_0^x \Gamma (t)\ \text{d} t
\]
non converge: infatti in \(0\) la funzione \(\Gamma\) è un infinito d'ordine maggiore di \(1\) e dunque non è sommabile.
Quindi la \(\Psi\) non è una funzione propria: infatti, \(\Psi (x)=+\infty\) per ogni \(x>0\).
La cosa si può salvare considerando la funzione:
\[
\Lambda (x) := \int_1^x \Gamma (t)\ \text{d} t\; .
\]
Tale funzione è strettamente crescente in \(]0,+\infty[\), perchè la sua derivata è positiva in \(]0,+\infty[\); è nulla in \(1\), positiva in \(]1,+\infty[\) e negativa in \(]0,1[\); ha \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \Lambda (x)=-\infty\); la funzione è concava in \(]0,1]\) e convessa in \([1,+\infty[\); e cresce all'infinito molto velocemente.
È possibile generalizzare il concetto di funzione integrale nel caso di funzioni di più variabili?
"magliocurioso":
È possibile generalizzare il concetto di funzione integrale nel caso di funzioni di più variabili?
No.
"gugo82":Perché no?
No.
[OT]
Per lo stesso identico motivo per cui delle serie ordinarie \(\sum a_n\) puoi scrivere la successione delle somme parziali, mentre per le serie doppie \(\sum a_{n,m}\) non puoi.
Insomma, un insieme "lineare" come la retta reale ha un suo odinamento naturale (ha solo due versi di percorrenza e basta sceglierne uno) e ciò ti consente di dare un significato al simbolo:
\[
\int_a^x f(t)\ \text{d} t
\]
sia se \(x\) viene dopo di \(a\) sia se viene prima.
Ma la stessa cosa non si può fare negli spazi a dimensione superiore, perchè essi non hanno un ordinamento naturale: infatti, che senso avrebbe, senza un ordinamento sottostante, un simbolo del tipo:
\[
\int_{(a,b)}^{(x,y)} f(t,s)\ \text{d} t\text{d} s \text{ ?}
\]
Quando si parla di "funzione integrale" di una funzione di più variabili (o, in generale, di una funzione definita su uno spazio di misura) si pensa sempre ad una funzione "d'insieme" e non ad una funzione "di punto".
Ad esempio, se \(f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) è una funzione continua la funzione integrale della \(f\) è l'applicazione definita da:
\[
F(E):= \int_E f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y
\]
ove \(E\subseteq \mathbb{R}^2\) è un insieme misurabile (secodo Peano-Jordan, ad esempio).
[/OT]
"magliocurioso":Perché no?[/quote]
[quote="gugo82"]No.
Per lo stesso identico motivo per cui delle serie ordinarie \(\sum a_n\) puoi scrivere la successione delle somme parziali, mentre per le serie doppie \(\sum a_{n,m}\) non puoi.
Insomma, un insieme "lineare" come la retta reale ha un suo odinamento naturale (ha solo due versi di percorrenza e basta sceglierne uno) e ciò ti consente di dare un significato al simbolo:
\[
\int_a^x f(t)\ \text{d} t
\]
sia se \(x\) viene dopo di \(a\) sia se viene prima.
Ma la stessa cosa non si può fare negli spazi a dimensione superiore, perchè essi non hanno un ordinamento naturale: infatti, che senso avrebbe, senza un ordinamento sottostante, un simbolo del tipo:
\[
\int_{(a,b)}^{(x,y)} f(t,s)\ \text{d} t\text{d} s \text{ ?}
\]
Quando si parla di "funzione integrale" di una funzione di più variabili (o, in generale, di una funzione definita su uno spazio di misura) si pensa sempre ad una funzione "d'insieme" e non ad una funzione "di punto".
Ad esempio, se \(f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) è una funzione continua la funzione integrale della \(f\) è l'applicazione definita da:
\[
F(E):= \int_E f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y
\]
ove \(E\subseteq \mathbb{R}^2\) è un insieme misurabile (secodo Peano-Jordan, ad esempio).
[/OT]
Grazie molte! Inizio subito la lettura! 
Scusate il disturbo ma io continuo ad avere problemi con gli studi integrali, dato che la prof ce li ha accennati pochissimo.
Se ho una funzione a tratti come mi comporto? Io ho questa
$\{( xsen2x),(x/2):}$
La prima vale nell'intervallo [ - $\pi$/2 - 1/2 ; $\pi$/2 + 1/2 ]
La seconda esternamente a questo intervallo.
E' una funzione continua nei rispettivi intervalli, ma non totalmente perchè c'è una discontinuità di salto giusto? Derivabile nei rispettivi intervalli aperti.
C'è l'asintoto orizzontale sinistro che tende a 0- e quello destro che tende a 0+
Poi dovevo determinare il segno della funzione con il teorema degli zeri ... io ho trovato che gli zeri sono 0 e $\pi$/2
Mi veniva chiesto per quali x , $f(x)=x$ , non sono sicura del ragionamento che ho fatto ma ottengo che per $xsen2x$ abbiamo $\pi$/4 , mentre per $\x/2$ abbiamo 2 .
Devo poi determinare dominio, eventuali asintoti verticali e orizzontali , punti di discontinuità , punti angolosi e cuspidi della funzione definita da $\int_0^xf(t)dt$ e qui mi perdo fra tutti gli intervalli e inizio a fare casino! Qualcuno mi può aiutare?
Se ho una funzione a tratti come mi comporto? Io ho questa
$\{( xsen2x),(x/2):}$
La prima vale nell'intervallo [ - $\pi$/2 - 1/2 ; $\pi$/2 + 1/2 ]
La seconda esternamente a questo intervallo.
E' una funzione continua nei rispettivi intervalli, ma non totalmente perchè c'è una discontinuità di salto giusto? Derivabile nei rispettivi intervalli aperti.
C'è l'asintoto orizzontale sinistro che tende a 0- e quello destro che tende a 0+
Poi dovevo determinare il segno della funzione con il teorema degli zeri ... io ho trovato che gli zeri sono 0 e $\pi$/2
Mi veniva chiesto per quali x , $f(x)=x$ , non sono sicura del ragionamento che ho fatto ma ottengo che per $xsen2x$ abbiamo $\pi$/4 , mentre per $\x/2$ abbiamo 2 .
Devo poi determinare dominio, eventuali asintoti verticali e orizzontali , punti di discontinuità , punti angolosi e cuspidi della funzione definita da $\int_0^xf(t)dt$ e qui mi perdo fra tutti gli intervalli e inizio a fare casino! Qualcuno mi può aiutare?
Scrivo qui perchè mi sembrava il posto più adatto. Ci sono siti internet o programmi che disegnano funzioni integrali? Grazie mille.
Sto cercando di ricavare la forma esplicita della funzione di integrale di una funzione definita in \(\displaystyle [-1,0] \) come \(\displaystyle f(x)=4x \) e in \(\displaystyle (0,1] f(x)=5x \), considerando che l'estremo di integrazione inferiore deve essere \(\displaystyle -1 \). Pensavo di averla trovata in \(\displaystyle f(x)= (x-1)*2 \) in \(\displaystyle [-1,0] \) e \(\displaystyle f(x)= -2+5/2*x \) in \(\displaystyle [0, 1] \) , ma suppongo proprio di sbagliarmi per cui chi mi da una mano?
Se non ho capito male vuoi esprimere esplicitamente la funzione \(F:[-1,1]\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
F(x)=\int_{-1}^x f(t)\ \text{d} t \qquad \text{con } f(t):= \begin{cases} 4t &\text{, se } -1\leq t\leq 0 \\ 5t &\text{, se } 0
Farlo non è tanto difficile, e basta distinguere i casi possibili.
Se \(x\leq 0\), allora:
\[
F(x)=\int_{-1}^x 4t\ \text{d} t = 2t^2\Big|_{-1}^x = 2x^2-2\; ;
\]
mentre, se \(x>0\), allora:
\[
F(x) = \int_{-1}^0 4t\ \text{d} t + \int_0^x 5t\ \text{d} t = -2 + \frac{5}{2}\ t^2 \Big|_0^x = \frac{5}{2}\ x^2 -2\; .
\]
Conseguentemente:
\[
F(x) = \begin{cases} 2x^2-2 &\text{, se } -1\leq x\leq 0 \\ \frac{5}{2}\ x^2 -2 &\text{, se } 0
\[
F(x)=\int_{-1}^x f(t)\ \text{d} t \qquad \text{con } f(t):= \begin{cases} 4t &\text{, se } -1\leq t\leq 0 \\ 5t &\text{, se } 0
Farlo non è tanto difficile, e basta distinguere i casi possibili.
Se \(x\leq 0\), allora:
\[
F(x)=\int_{-1}^x 4t\ \text{d} t = 2t^2\Big|_{-1}^x = 2x^2-2\; ;
\]
mentre, se \(x>0\), allora:
\[
F(x) = \int_{-1}^0 4t\ \text{d} t + \int_0^x 5t\ \text{d} t = -2 + \frac{5}{2}\ t^2 \Big|_0^x = \frac{5}{2}\ x^2 -2\; .
\]
Conseguentemente:
\[
F(x) = \begin{cases} 2x^2-2 &\text{, se } -1\leq x\leq 0 \\ \frac{5}{2}\ x^2 -2 &\text{, se } 0
Ragazzi un mesetto fa all'ennesimo appello di Analisi 1 mi hanno ucciso con una funzione integrale particolare. Ve la propongo perchè non sono ancora riuscito a capire come si risolve:
$ f(x) =int_0^|x|(e^t - 1)/(t sqrt(1-t))dt $
chiedeva in particolare il dominio dell'integrale, il grafico e un altro punto che non ricordo. Sapete darmi un'idea di come si risolva? Cioè più che altro il modulo all'estremo di integrazione cosa comporta?
$ f(x) =int_0^|x|(e^t - 1)/(t sqrt(1-t))dt $
chiedeva in particolare il dominio dell'integrale, il grafico e un altro punto che non ricordo. Sapete darmi un'idea di come si risolva? Cioè più che altro il modulo all'estremo di integrazione cosa comporta?
Come hai pensato di fare?
Puoi benissimo applicare a questo problema il procedimento scritto nei post iniziali di Camillo. Prova.
Puoi benissimo applicare a questo problema il procedimento scritto nei post iniziali di Camillo. Prova.
io ho trovato il dominio dell' integranda che è $ (-oo;0) uu (0;1) $ poi essendoci il modulo di x all'estremo di integrazione ho pensato che fosse impossibile che l'integrale fosse minore di zero, cioè si può fare solo l'integrale da zero a uno e facendo i limiti ho trovato che a zero il limite vale 1 e che a 1 la funzione converge. Però è sbagliato perchè ho preso zero 
. Di quale metodo parli?
. Di quale metodo parli?
Innanzitutto, nota che l'integrando si prolunga con continuità in \(0\), quindi \(0\) non dà problemi in quanto ad integrazione; gli unici problemi, casomai, vengono quando l'estremo d'integrazione \(|x|\) prende il valore \(1\).
Ad ogni modo, nota che la tua funzione è composta da:
\[
\Phi(y):= \int_0^y \frac{e^t -1}{t\sqrt{1-t}}\ \text{d} t \qquad \text{e} \qquad h (x)=|x|
\]
in modo che:
\[
f(x):= \Phi (h(x))\; .
\]
La funzione \(\Phi\) è la funzione integrale di punto iniziale \(0\) della funzione \(\phi (y):= \frac{e^y -1}{y \sqrt{1-y}}\); la \(\phi\) è definita in \(]-\infty ,0[\cup ]0,1[\) ma si prolunga con continuità su \(0\) ponendo \(\phi (0)=1\); continuando a denotare con \(\phi\) il prolungamento a tutto \(]-\infty, 1[\), notiamo che \(\phi\) è un infinito in \(1\) d'ordine \(1/2\), quindi sommabile a sinistra di \(1\); d'altra parte, essa è infinitesima in \(-\infty\) d'ordine \(3/2\), quindi sommabile pure all'infinito.
Conseguentemente, \(\Phi\) è definita in \(]-\infty, 1]\) ed ha limite finito in \(-\infty\).
La funzione composta \(f(x)=\Phi (h(x))\) è allora definita ogniqualvolta \(h(x)\in \operatorname{Dom} \Phi\), ossia per ogni \(x\) tale che \(|x|\leq 1\); ne consegue che \(\operatorname{Dom} f=[-1,1]\).
Ad ogni modo, nota che la tua funzione è composta da:
\[
\Phi(y):= \int_0^y \frac{e^t -1}{t\sqrt{1-t}}\ \text{d} t \qquad \text{e} \qquad h (x)=|x|
\]
in modo che:
\[
f(x):= \Phi (h(x))\; .
\]
La funzione \(\Phi\) è la funzione integrale di punto iniziale \(0\) della funzione \(\phi (y):= \frac{e^y -1}{y \sqrt{1-y}}\); la \(\phi\) è definita in \(]-\infty ,0[\cup ]0,1[\) ma si prolunga con continuità su \(0\) ponendo \(\phi (0)=1\); continuando a denotare con \(\phi\) il prolungamento a tutto \(]-\infty, 1[\), notiamo che \(\phi\) è un infinito in \(1\) d'ordine \(1/2\), quindi sommabile a sinistra di \(1\); d'altra parte, essa è infinitesima in \(-\infty\) d'ordine \(3/2\), quindi sommabile pure all'infinito.
Conseguentemente, \(\Phi\) è definita in \(]-\infty, 1]\) ed ha limite finito in \(-\infty\).
La funzione composta \(f(x)=\Phi (h(x))\) è allora definita ogniqualvolta \(h(x)\in \operatorname{Dom} \Phi\), ossia per ogni \(x\) tale che \(|x|\leq 1\); ne consegue che \(\operatorname{Dom} f=[-1,1]\).
Ok grazie mille.. oggi me la guardo con calma 
Ok l'ho risolta e mi viene però ho un dubbio: nell'origine la funzione come la disegno? a punta inclinata di 45 gradi dato che il mite a zero fa 1, oppure con una lieve curvatura?
Chiediti se la tua funzione è derivabile in \(0\), innanzitutto...
essendo integrale da o a... so che la funzione integrale passa nell'origine e che si annulla in zero... in ogni caso essendo integrabile è sicuramente derivabile. No? non ho mai capito alla perfezione questi concetti...
Scusa, con le notazioni del mio post di sopra, hai \(f(x)=\Phi (|x|)\).
Sapendo che \(\Phi\) è derivabile in \(0\) e che \(\Phi^\prime (0)=\phi (0)\), riesci a calcolare la derivata destra e sinistra di \(f\) in \(0\)?
Sapendo che \(\Phi\) è derivabile in \(0\) e che \(\Phi^\prime (0)=\phi (0)\), riesci a calcolare la derivata destra e sinistra di \(f\) in \(0\)?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo