Studio della funzione integrale - I... VI

[Camillo]

Le nozioni e gli esempi proposti in questo thread sono presenti anche in questi appunti pubblicati sul sito.

***

Tempo fa, un utente del Forum (non ricordo più chi) aveva chiesto un aiuto per studiare questo tipo di funzioni.
Questo post vuole rispondere a quella domanda.
Ho diviso il testo in vari punti e in post diversi :

A)Definizione di funzione integrale e richiamo di proprietà degli integrali definiti.
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .[ Rilassando al massimo le condizioni cui deve soddisfare la funzione integranda, si può arrivare a dire che l'insieme delle discontinuità della funzione integranda è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue].
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è continua e derivabile (derivabile solo nei punti in cui $f $ è continua) ed ha come derivata la funzione integranda.

Ovviamente $F''(x) = f'(x)$

E' utile ricordare che :
$int_x^a f(t)dt = - int_a^x f(t)dt $
$int_a^a f(t)dt=0 $
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a
Nel caso che un estremo dell'integrale non sia semplicemente $ x $ ma una funzione di $x$ , diciamo $g(x)$, sia cioè $ F(x) = int_a^(g(x)) f(t)dt $ allora applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene che :

$F'(x) = f[g(x)]*g'(x) $

Un esempio servirà a chiarire meglio
Es. Sia $F(x) = int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ ; pongo $y =sqrt(x); G(y)=int_0^y e^(t^2)dt$ da cui $F(x)=G(sqrt(x)) $ e quindi $G'(y)=e^(y^2)$ e infine $F'(x)=G'(sqrt(x))*1/(2*sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.

Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di $x$, diciamo $ g_1(x),g_2(x)$ , sia cioè :$F(x)= int_(g_1(x))^(g_2(x)) f(t)dt $ si ha analogamente che $F'(x)=f[g_2(x)]*g'_2(x)-f[g_1(x)]*g'_1(x)$.

SEGUE

Edit : apportate modifiche in linea con suggerimenti di gugo

[appa91]

non è 1 e -1?

[gugo82]

Certo, quindi la \(f\) ha un punto angoloso in \(0\).
Adesso sai disegnarne il grafico lì intorno.

[appa91]

ottimo! Grazie mille!

[appa91]

Ragazzi ma nel caso in cui l'estremo di integrazione fosse una funzione non continua in tutto R? Cioe se fosse ad esempio 1/x in x=0 non esisterebbe la funz integrale giusto? Pero in questo caso come devo comportarmi nello studio dei limiti?

[gugo82]

La funzione integrale esisterebbe lì dove esiste come funzione composta... Per il resto, servono più dettagli.

[impronta1]

"Camillo":C)Esempio commentato

Studiare la funzione integrale: $F(x)=int _2^x \frac{e^t*dt}{t^(1/3)(t+1)}$

a) Studio di $f(t) = \frac{e^t}{t^(1/3)(t+1)}$
I risultati principali sono :
-Dominio : $(-oo,-1)U(-1,0)U(0,+oo)$ .
-Limiti
$lim_(t rarr +oo) f(t) = +oo$ ;$lim_(t rarr -oo) f(t) = 0^(+) $

$lim_(t rarr 0^(+)) f(t) =+oo$ , $lim_(t rarr 0^(-)) f(t)=-oo$
$t=0 $ è asintoto verticale

$lim_(t rarr -1^(+)) f(t) = -oo$ ; $lim_(t rarr -1^(-)) f(t) = +oo$
$t=-1 $ è asintoto verticale.
-Inoltre $f(t) > 0 $ per $t>0 $ e anche per $ t < -1$ ; $f(t)<0 $ per $-1 -Infine $f(t)$ ha max relativo per $ x= alpha $ con $ -1 con $beta >0$.

b) Studio di $ F(x)$
- $F(2)=0 $
-segno di $F(x)$ : guardando il diagramma di $f(t)$ e ricordando che $F(x)$ rappresenta l'area(con segno..) sottesa dalla curva e dall'asse delle ascisse, da $t=2 $ fino a $t=x$ si ottiene :
*per $x>2$ $F(x)> 0 $
*per $ 0 *per $ -1 Dall'esame però della $F'(x)$ si noterà che $F(x)$ in $(-1,0)$ è decrescente ; dovendo decrescere da $+oo$ fino a un valore negativo per $x=0$ ( vedi più avanti la spiegazione), la funzione taglierà l'asse delle ascisse in un punto compreso tra $-1 $ e $0$.
-Inoltre $lim_(x rarr +oo)F(x)=lim_(x rarr+oo)int_2^x e^t*dt/(t^(1/3)*(t+1))$ e questo integrale diverge a $+oo$per i
criteri di convergenza degli integrali impropri.
-Esaminiamo ora il comportamento di $F(x)$ nell'intorno di $x=0$.
$F(0^(+))=lim_(x rarr 0^(+))int_2^xf(t)dt$ =$ -int_x^2f(t)dt$ che converge a un valore negativo, diciamo $gamma$ .
$F(0^(-))=lim_(x rarr 0^(-))int_2^xf(t)dt $=$-int_x^2f(t)dt $ che pure converge e allo stesso valore $gamma$.
Quindi $F(0)$ è definita e di valore negativo pari a $gamma$.
-Consideriamo ora $F(x)$ nell'intorno destro di $-1$; sarà
$F(-1^(+))=lim_( x rarr (-1)^(+))int_2^x f(t)dt =-int_x^2f(t)dt$ che diverge a $+oo$.
Pertanto $F(x)$ non è definita per valori $x < -1 $ ed ha dominio dato da $(-1,+oo)$.
-Derivata : $F'(x)=\frac{e^x}{x^(1/3)*(x+1)}$. Si deduce quindi che :

$F(x)$ è crescente per $x >0$ e decrescente per $-1 -In $x=0$ si ha un punto di cuspide in quanto $lim_(x rarr0^(+-))F'(x)=+-oo$.
Si può poi anche calcolare $F''(x)$ e determinare così gli intervalli di concavità e convessità della funzione nonchè i due punti di flesso compresi uno in $(-1,0)$ e l'altro in $(0,2)$.

SEGUE

ciao camillo potresti gentilmente spiegarmi una cosa? quando hai studiato la funzione integranda hai scritto presumibilmente i valori di massimo e minimo, in realtà per fare ciò non dovresti prima calcolare la derivata prima? mentre gli stessi valori rappresentano monotonia di Fx?

[JappoDiVi]

Ciao a tutti! Mi servirebbe una mano per chiarire meglio questo argomento...oltre ad aver studiato l'argomento sul Pagani-Salsa - Analisi matematica 1, ho dato un'occhiata anche su internet, e ho dedotto questo:
INTEGRALE DEFINITO: si riduce al calcolo dell'area tra f(x) e l'asse delle ascisse (con segno, ovvero positiva per l'aera calcolata in y>0 e negativa per y<0) in [a;b]--> R; questo concetto è legato alle somme di Reimann-Cauchy.
INTEGRALE INDEFINITO: è il calcolo di tutte le primitive relative a quella funzione integranda (data la costante C ); la relazione tra somme di Reimann e primitiva è descritta nel teorema fondamentale del calcolo integrale (con relativa dimostrazione in cui, con il teorema del valor medio per gli integrali, si dimosta il connesso.)
FUNZIONE INTEGRALE: (e qui inizia la mia nota dolente): si cerca F(x) ovvero una funzione, devinita tra x0 (punto fissato, possiamo anche chiamarlo "a" se si vuole) ed x variabile, che naturalmente vivono sull'asse delle ascisse. Questa funzione deve essere la primitiva di un'altra funzione (per esempio f(t) )ù

Le mie domande sono:
1. f(t) ed F(x) Giaciono sullo stesso piano? O meglio, l'asse di ascissa t coincide con l'asse x? (perchè non riesco ad immaginarmi la situazione molto bene...)
2. Qual'è la differenza tra integrale PROPRIO ed IMPROPRIO?
3. Il primo esercizio relativo alle funzioni integrali del libro mi chiede: la derivata prima di:
$ F(x)=int_(1)^(x) (t log(1+t)) /(2t^2 + 5) dt $
Grazie al teorema di Torricelli possiamo dire che:
$ F'(x)=(x log(1+x)) /(2x^2 + 5) $
e ci posso stare...

il secondo esercizio invece è:
$ F(x)= int_(0)^(4x)(e^t) /((|t|+1) cosh t) dt $
Ma il risultato invece è:
$ F'(x)=4(e^(4x)) /((|4x|+1) cosh (4x)) $
Quella costante moltiplicatica 4, da dove viene?! ...è come se avesse moltiplicato la derivata dell'estremante... è dovuta per caso da dt?!?!
Grazie mille per ora.

[JappoDiVi]

Scrivo il mio dubbio in un nuovo topic, dato che alla discussione precedente hanno risposto dopo più di un mese!! =)

[***1117]

Paggisan , qui è ben spiegato come fare

http://vivalascuola****/come-tr ... ml#steps_4

[***1117]

Qui è ben spiegato come disegnarle con Derive

http://vivalascuola****/come-tr ... 33266.html

[kobeilprofeta]

"Camillo":C)Esempio commentato

Studiare la funzione integrale: $F(x)=int _2^x \frac{e^t*dt}{t^(1/3)(t+1)}$

a) Studio di $f(t) = \frac{e^t}{t^(1/3)(t+1)}$
I risultati principali sono :
-Dominio : $(-oo,-1)U(-1,0)U(0,+oo)$ .
-Limiti
$lim_(t rarr +oo) f(t) = +oo$ ;$lim_(t rarr -oo) f(t) = 0^(+) $

$lim_(t rarr 0^(+)) f(t) =+oo$ , $lim_(t rarr 0^(-)) f(t)=-oo$
$t=0 $ è asintoto verticale

$lim_(t rarr -1^(+)) f(t) = -oo$ ; $lim_(t rarr -1^(-)) f(t) = +oo$
$t=-1 $ è asintoto verticale.
-Inoltre $f(t) > 0 $ per $t>0 $ e anche per $ t < -1$ ; $f(t)<0 $ per $-1 -Infine $f(t)$ ha max relativo per $ x= alpha $ con $ -1 con $beta >0$.

b) Studio di $ F(x)$
- $F(2)=0 $
-segno di $F(x)$ : guardando il diagramma di $f(t)$ e ricordando che $F(x)$ rappresenta l'area(con segno..) sottesa dalla curva e dall'asse delle ascisse, da $t=2 $ fino a $t=x$ si ottiene :
*per $x>2$ $F(x)> 0 $
*per $ 0 *per $ -1 Dall'esame però della $F'(x)$ si noterà che $F(x)$ in $(-1,0)$ è decrescente ; dovendo decrescere da $+oo$ fino a un valore negativo per $x=0$ ( vedi più avanti la spiegazione), la funzione taglierà l'asse delle ascisse in un punto compreso tra $-1 $ e $0$.
-Inoltre $lim_(x rarr +oo)F(x)=lim_(x rarr+oo)int_2^x e^t*dt/(t^(1/3)*(t+1))$ e questo integrale diverge a $+oo$per i
criteri di convergenza degli integrali impropri.
-Esaminiamo ora il comportamento di $F(x)$ nell'intorno di $x=0$.
$F(0^(+))=lim_(x rarr 0^(+))int_2^xf(t)dt$ =$ -int_x^2f(t)dt$ che converge a un valore negativo, diciamo $gamma$ .
$F(0^(-))=lim_(x rarr 0^(-))int_2^xf(t)dt $=$-int_x^2f(t)dt $ che pure converge e allo stesso valore $gamma$.
Quindi $F(0)$ è definita e di valore negativo pari a $gamma$.
-Consideriamo ora $F(x)$ nell'intorno destro di $-1$; sarà
$F(-1^(+))=lim_( x rarr (-1)^(+))int_2^x f(t)dt =-int_x^2f(t)dt$ che diverge a $+oo$.
Pertanto $F(x)$ non è definita per valori $x < -1 $ ed ha dominio dato da $(-1,+oo)$.
-Derivata : $F'(x)=\frac{e^x}{x^(1/3)*(x+1)}$. Si deduce quindi che :

$F(x)$ è crescente per $x >0$ e decrescente per $-1 -In $x=0$ si ha un punto di cuspide in quanto $lim_(x rarr0^(+-))F'(x)=+-oo$.
Si può poi anche calcolare $F''(x)$ e determinare così gli intervalli di concavità e convessità della funzione nonchè i due punti di flesso compresi uno in $(-1,0)$ e l'altro in $(0,2)$.

SEGUE

A me risulta che $f(t)$ sia asintotico a $1/t$ per $t to 0$ e che quundi $0 !in D F$

dove sbaglio?

[Sk_Anonymous]

"Camillo":
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a

Ciao.
Vorrei aggiungere un mio piccolo contributo, spero sia gradito.

Alludendo alla citazione, probabilmente si voleva scrivere che $a In realtà questa condizione ulteriore non dovrebbe servire a nulla; infatti la proprietà

$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt$

dovrebbe essere vera anche per $cnotin[a,b]$.

Sbaglio?

Saluti.

[kobeilprofeta]

Il problema è se si parla di una $f in R[a,b]$, allora non avrebbe senso parlare di $c>b$

[Sk_Anonymous]

Vero.
Allora dovrebbe essere valido, per lo meno, il mio primo suggerimento

$a
Giusto?

Saluti.

[kobeilprofeta]

penso di sì.

e riguardo al mio dubbio?

[Sk_Anonymous]

Se $f(x)$ fosse continua e definita solo sull'intervallo $(a,b)$, dovresti necessariamente aver ragione.
Beninteso, a patto che io non abbia tralasciato inavvertitamente qualche altro particolare.

Saluti.

[kobeilprofeta]

"kobeilprofeta":
...

A me risulta che f(t) sia asintotico a 1t per t→0 e che quundi 0∉DF

dove sbaglio?

[mazzarri1]

Una domanda.
Ho interiorizzato, spero, il concetto di funzione integrale
$I(x)=int_a^x f(t)dt$
Ho capito varie cose e ho svolto alcuni esercizi.
Soprattutto ho interiorizzato il concetto geometrico dietro la funzione integrale, qual è il suo significato vero quando la $t$ varia tra il numero $a$ e $x$.
Ora non mi è affatto chiaro il "passaggio successivo"... a volte, non spesso, la funzione integrale è cosa più complessa, del tipo
$I(x)=int_(x^2-3)^(ln(x^2-5)) f(t)dt$
ecco... di una siffatta funzione integrale mi posso calcolare agevolmente la derivata conoscendo la formula adatta allo scopo ma... non capisco il suo significato geometrico... che cosa significa che $t$ stavolta può variare tra due funzioni? la $f(t)$, funzione integranda, è essa stessa una funzione... come può il suo integrale (che è una area cioè un numero) variare tra due funzioni anzichè fra due numeri?
Grazie

[gugo82]

Guarda che l'integrale non varia tra due funzioni...

[mazzarri1]

grazie Gugo ma è proprio questo che non comprendo... come interpreto allora questo particolare tipo di funzione integrale?