Studio della funzione integrale - I... VI
Le nozioni e gli esempi proposti in questo thread sono presenti anche in questi appunti pubblicati sul sito.
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Tempo fa, un utente del Forum (non ricordo più chi) aveva chiesto un aiuto per studiare questo tipo di funzioni.
Questo post vuole rispondere a quella domanda.
Ho diviso il testo in vari punti e in post diversi :
A)Definizione di funzione integrale e richiamo di proprietà degli integrali definiti.
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .[ Rilassando al massimo le condizioni cui deve soddisfare la funzione integranda, si può arrivare a dire che l'insieme delle discontinuità della funzione integranda è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue].
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è continua e derivabile (derivabile solo nei punti in cui $f $ è continua) ed ha come derivata la funzione integranda.
Ovviamente $F''(x) = f'(x)$
E' utile ricordare che :
$int_x^a f(t)dt = - int_a^x f(t)dt $
$int_a^a f(t)dt=0 $
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a
Nel caso che un estremo dell'integrale non sia semplicemente $ x $ ma una funzione di $x$ , diciamo $g(x)$, sia cioè $ F(x) = int_a^(g(x)) f(t)dt $ allora applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene che :
$F'(x) = f[g(x)]*g'(x) $
Un esempio servirà a chiarire meglio
Es. Sia $F(x) = int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ ; pongo $y =sqrt(x); G(y)=int_0^y e^(t^2)dt$ da cui $F(x)=G(sqrt(x)) $ e quindi $G'(y)=e^(y^2)$ e infine $F'(x)=G'(sqrt(x))*1/(2*sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.
Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di $x$, diciamo $ g_1(x),g_2(x)$ , sia cioè :$F(x)= int_(g_1(x))^(g_2(x)) f(t)dt $ si ha analogamente che $F'(x)=f[g_2(x)]*g'_2(x)-f[g_1(x)]*g'_1(x)$.
SEGUE
Edit : apportate modifiche in linea con suggerimenti di gugo
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Tempo fa, un utente del Forum (non ricordo più chi) aveva chiesto un aiuto per studiare questo tipo di funzioni.
Questo post vuole rispondere a quella domanda.
Ho diviso il testo in vari punti e in post diversi :
A)Definizione di funzione integrale e richiamo di proprietà degli integrali definiti.
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .[ Rilassando al massimo le condizioni cui deve soddisfare la funzione integranda, si può arrivare a dire che l'insieme delle discontinuità della funzione integranda è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue].
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è continua e derivabile (derivabile solo nei punti in cui $f $ è continua) ed ha come derivata la funzione integranda.
Ovviamente $F''(x) = f'(x)$
E' utile ricordare che :
$int_x^a f(t)dt = - int_a^x f(t)dt $
$int_a^a f(t)dt=0 $
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a
Nel caso che un estremo dell'integrale non sia semplicemente $ x $ ma una funzione di $x$ , diciamo $g(x)$, sia cioè $ F(x) = int_a^(g(x)) f(t)dt $ allora applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene che :
$F'(x) = f[g(x)]*g'(x) $
Un esempio servirà a chiarire meglio
Es. Sia $F(x) = int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ ; pongo $y =sqrt(x); G(y)=int_0^y e^(t^2)dt$ da cui $F(x)=G(sqrt(x)) $ e quindi $G'(y)=e^(y^2)$ e infine $F'(x)=G'(sqrt(x))*1/(2*sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.
Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di $x$, diciamo $ g_1(x),g_2(x)$ , sia cioè :$F(x)= int_(g_1(x))^(g_2(x)) f(t)dt $ si ha analogamente che $F'(x)=f[g_2(x)]*g'_2(x)-f[g_1(x)]*g'_1(x)$.
SEGUE
Edit : apportate modifiche in linea con suggerimenti di gugo
Risposte
Ecco intanto il grafico della funzione integrale $f(t) = e^(-t)(t-1)/sqrt(t^2+t+2) $ .
Più tardi farò qualche commento , inizia tu a guradare entrambi i grafici della funzione integrale edi quella integranda...
Più tardi farò qualche commento , inizia tu a guradare entrambi i grafici della funzione integrale edi quella integranda...
camillo grazie per l'aiuto che mi stai dando..... però ti prego ricordati di spiegarmi sto fatto della positività e negatività della funzione integranda 
Va sempre tenuto presente il grafico della funzione integranda $f(t)=e^(-t)(t-1)/sqrt(t^2+t+2) $ le cui caratteristiche principali sono :
$f(1) = 0 $;$f(t) > 0 $ per $t > 1 $ ; $f(t)<0 $ per $t<1 $, $lim_(t rarr+oo)f(t)=0 $ ;$ lim_(t rarr -oo) f(t)= -oo$.
Funzione sempre crescente.
Consideriamo ora la $F(x)=int_0^x f(t)dt$ .
A) Ovvio che sia $F(0)=0 $ .Cerchiamo ora di valutarla per $0
La $F(x)$ quindi risalirà verso valori " meno negativi" .Che arrivi fino a $0$ e lo superi non lo sappiamo ; però
l'$int_0^(+oo)e^(-t)(t-1)dt/sqrt(t^2+t+2) $ converge , ha cioè valore finito [ per $x rarr +oo $ la funzione integranda è di infinitesimo di ordine maggiore di qualunque potenza di $t$ e questo è dovuto alla presenza di $ e^(-t)=1/e^t$].
Non conosciamo però questo valore finito -bisognerebbe calcolare numericamente l'integrale improprio.
La $F(x)$ avrà quindi un asintoto orizzontale per $ x rarr +oo$ , chiamiamolo $ alpha $ questo valore sconosciuto e quindi l'equazione dell'asintoto orizzontale è $ y = alpha $ .
Non sappiamo se $ alpha >0$, (in tal caso le aree positive per $x >1 $ avrebbero la prevalenza ) oppure nullo( le aree si sarebbero compensate) oppure negativo ("vincono " le aree negative : sembra sia così ).
B)Vediamo cosa succede per $ x< 0 $ .
Converrà riscrivere la funzione integrale così:
$ F(x) = int_0^xf(t)dt = - int_x^0 f(t)dt $ .Attenzione quindi al segno meno davanti all'integrale che rovescerà quindi tutte le considerazioni che faremo sul segno dell'integrale .
La funzione integranda è sempre negativa ,l'area racchiusa sarà quindi sempre negativa ma il segno meno davanti all'integrale comporta che $F(x) $( sempre per $x<0$ ) sia sempre positiva.
$f(1) = 0 $;$f(t) > 0 $ per $t > 1 $ ; $f(t)<0 $ per $t<1 $, $lim_(t rarr+oo)f(t)=0 $ ;$ lim_(t rarr -oo) f(t)= -oo$.
Funzione sempre crescente.
Consideriamo ora la $F(x)=int_0^x f(t)dt$ .
A) Ovvio che sia $F(0)=0 $ .Cerchiamo ora di valutarla per $0
La $F(x)$ quindi risalirà verso valori " meno negativi" .Che arrivi fino a $0$ e lo superi non lo sappiamo ; però
l'$int_0^(+oo)e^(-t)(t-1)dt/sqrt(t^2+t+2) $ converge , ha cioè valore finito [ per $x rarr +oo $ la funzione integranda è di infinitesimo di ordine maggiore di qualunque potenza di $t$ e questo è dovuto alla presenza di $ e^(-t)=1/e^t$].
Non conosciamo però questo valore finito -bisognerebbe calcolare numericamente l'integrale improprio.
La $F(x)$ avrà quindi un asintoto orizzontale per $ x rarr +oo$ , chiamiamolo $ alpha $ questo valore sconosciuto e quindi l'equazione dell'asintoto orizzontale è $ y = alpha $ .
Non sappiamo se $ alpha >0$, (in tal caso le aree positive per $x >1 $ avrebbero la prevalenza ) oppure nullo( le aree si sarebbero compensate) oppure negativo ("vincono " le aree negative : sembra sia così ).
B)Vediamo cosa succede per $ x< 0 $ .
Converrà riscrivere la funzione integrale così:
$ F(x) = int_0^xf(t)dt = - int_x^0 f(t)dt $ .Attenzione quindi al segno meno davanti all'integrale che rovescerà quindi tutte le considerazioni che faremo sul segno dell'integrale .
La funzione integranda è sempre negativa ,l'area racchiusa sarà quindi sempre negativa ma il segno meno davanti all'integrale comporta che $F(x) $( sempre per $x<0$ ) sia sempre positiva.
camillo grazie.....mi hai illuminato!!!
ultimissima cosa....quando applico il criterio del confronto per x-->-oo mi viene come risultato +00 (perchè prevale il carattere dell'esponenziale)....ma se considero il segno meno davanti all'integrale (come mi hai scritto tu per il caso x<0 ).....mi verrebbe che il risultato del limite è -00 e quindi dovrebbe divergere verso -oo e non verso +oo ..... perchè????
mò provo a fare un'altra funzione integrale e vediamo se ho realmente capito!!!!
l'ultima cosa....che versione hai di derive???
come ho già detto...pur eseguendo i passi giusti.....non riesco ad avere lo stesso tuo grafico
ultimissima cosa....quando applico il criterio del confronto per x-->-oo mi viene come risultato +00 (perchè prevale il carattere dell'esponenziale)....ma se considero il segno meno davanti all'integrale (come mi hai scritto tu per il caso x<0 ).....mi verrebbe che il risultato del limite è -00 e quindi dovrebbe divergere verso -oo e non verso +oo ..... perchè????
mò provo a fare un'altra funzione integrale e vediamo se ho realmente capito!!!!
l'ultima cosa....che versione hai di derive???
come ho già detto...pur eseguendo i passi giusti.....non riesco ad avere lo stesso tuo grafico
*Per completare lo studio della funzione integrale conviene calcolarne la derivata $F'(x)$ che sarà data da $F'(x)= e^(-x)(x-1)/sqrt(x^2+x+2)$ [ è la funzione integranda ].
Dall'esame di $F'(x) $ si vede che la derivata è :
$ >0 $ per $ x>1 $;
$<0 $ per $ x<1$
$=0 $ per $ x=1 $.
pertanto la funzione integrale $F(x)$ è :
crescente per $ x>1 $
decrescente per $x <1 $
ha un minimo in $x=1 $.
*Ho derive 6 , non so quale possa essere il tuo problema...
*Quando parli del criterio del confronto per $x rarr -oo$ non mi è chiaro che cosa vuoi dire esattamente.
Come applichi questo criterio e a che cosa ?
Il criterio serve a stabilire se un integrale improprio diverge o converge paragonando(tramite maggiorazione o confronto asintotico) la funzione integranda con un'altra di cui si sa se converge o no .
Dall'esame di $F'(x) $ si vede che la derivata è :
$ >0 $ per $ x>1 $;
$<0 $ per $ x<1$
$=0 $ per $ x=1 $.
pertanto la funzione integrale $F(x)$ è :
crescente per $ x>1 $
decrescente per $x <1 $
ha un minimo in $x=1 $.
*Ho derive 6 , non so quale possa essere il tuo problema...
*Quando parli del criterio del confronto per $x rarr -oo$ non mi è chiaro che cosa vuoi dire esattamente.
Come applichi questo criterio e a che cosa ?
Il criterio serve a stabilire se un integrale improprio diverge o converge paragonando(tramite maggiorazione o confronto asintotico) la funzione integranda con un'altra di cui si sa se converge o no .
"Camillo":
*Quando parli del criterio del confronto per $x rarr -oo$ non mi è chiaro che cosa vuoi dire esattamente.
Come applichi questo criterio e a che cosa ?
Il criterio serve a stabilire se un integrale improprio diverge o converge paragonando(tramite maggiorazione o confronto asintotico) la funzione integranda con un'altra di cui si sa se converge o no .
io uso il criterio del confronto asintotico con $g(t)=1/|t|^a$ come funzione di contronto
$lim f(t)*|t|^a= +oo$ per ogni $a>0$ perchè prevale il carattere dell'esponenziale, cioè di $e^(-t)$ che tende a +oo.
quindi mi viene +oo....che cambiato di segno è -oo
Dovrebbe invece venire +oo visto che la mia funzione tende prorprio a +oo come si vede dal grafico!
capito cosa ti voglio dire???
@paggisan
*Il calcolo di $lim_(t rarr -oo)f(t) $ mostra che tale limite vale : $-oo$ in quanto essendo $f(t)= e^(-t)*(t-1)/sqrt(t^2+t+2) $ i vari fattori tendono a $ [ (+oo)*(-oo)/(+oo)] $.Prevale $e^(-t)$ sul denominatore e quindi il limite è appunto $-oo$.
*Adesso è da vedere a cosa tende $F(x)=int_0^xf(t)dt$ quando $x rarr -oo$.
Conviene riscriverlo, per $x<0$, $: -int_x^0 f(t)dt $ in modo da ripristinare il normale verso delle $ x $ crescenti.
Si tratta ora di vedere se l'integrale (per $x rarr -oo)$ converge o diverge .Va quindi considerato l'integrale improprio $int_(-oo)^0 e^(-t)(t-1)dt/sqrt(t^2+t+2)$ . Per vederne la integrabilità si deve analizzare come si comporta nell'intorno di $ -oo$, unico punto critico per la funzione integranda.
Già si era visto studiando la funzione integranda , che diverge a $-oo$ quando $x rarr -oo$.Quindi certamente l'integrale non converge ; se la funzione integranda fosse stata infinitesima di ordine $ >1 $ rispetto all'infinitesimo campione $1/x$ , allora l'integrale sarebbe stato convergente.
** Non confondere il segno ( e il valore ) del $lim_(x rarr -oo)f(t)$ con il valore e il segno dell'integrale $ F(x) =int_(-oo)^0f(t)dt $ .Sono due cose ben distinte : una è una valutazione puntuale della $f(t)$ , l'altra tiene conto di tutti i valori che la $ f(t) $ assume da $ -oo $ fino a $0$ e appunto li integra .
Edit : sez I e II modifiche secondo suggerimenti di gugo e ampliamneti.
*Il calcolo di $lim_(t rarr -oo)f(t) $ mostra che tale limite vale : $-oo$ in quanto essendo $f(t)= e^(-t)*(t-1)/sqrt(t^2+t+2) $ i vari fattori tendono a $ [ (+oo)*(-oo)/(+oo)] $.Prevale $e^(-t)$ sul denominatore e quindi il limite è appunto $-oo$.
*Adesso è da vedere a cosa tende $F(x)=int_0^xf(t)dt$ quando $x rarr -oo$.
Conviene riscriverlo, per $x<0$, $: -int_x^0 f(t)dt $ in modo da ripristinare il normale verso delle $ x $ crescenti.
Si tratta ora di vedere se l'integrale (per $x rarr -oo)$ converge o diverge .Va quindi considerato l'integrale improprio $int_(-oo)^0 e^(-t)(t-1)dt/sqrt(t^2+t+2)$ . Per vederne la integrabilità si deve analizzare come si comporta nell'intorno di $ -oo$, unico punto critico per la funzione integranda.
Già si era visto studiando la funzione integranda , che diverge a $-oo$ quando $x rarr -oo$.Quindi certamente l'integrale non converge ; se la funzione integranda fosse stata infinitesima di ordine $ >1 $ rispetto all'infinitesimo campione $1/x$ , allora l'integrale sarebbe stato convergente.
** Non confondere il segno ( e il valore ) del $lim_(x rarr -oo)f(t)$ con il valore e il segno dell'integrale $ F(x) =int_(-oo)^0f(t)dt $ .Sono due cose ben distinte : una è una valutazione puntuale della $f(t)$ , l'altra tiene conto di tutti i valori che la $ f(t) $ assume da $ -oo $ fino a $0$ e appunto li integra .
Edit : sez I e II modifiche secondo suggerimenti di gugo e ampliamneti.
altro problema:
non sò come posso dimostrare le ipotesi del teorema di DE l'HOPITAL a questo limite di funzione integrale per $t->-oo$( che mi serve sviluppare per verificare se esiste o non esiste l'asintoto obliquo):
$lim_(t rarr -oo)= {int_0^xe^(-t)/sqrt[(t-1)(t-2)]}/t$
helpppp!!!!!!!!!!!!!
non sò come posso dimostrare le ipotesi del teorema di DE l'HOPITAL a questo limite di funzione integrale per $t->-oo$( che mi serve sviluppare per verificare se esiste o non esiste l'asintoto obliquo):
$lim_(t rarr -oo)= {int_0^xe^(-t)/sqrt[(t-1)(t-2)]}/t$
helpppp!!!!!!!!!!!!!
Hai una situazione di forma indetrminata del tipo $f(x)/g(x) rarr [oo/oo]$ ; per poter usare il Teorema di de l'Hopital devono essere verificate le seguenti condizioni , in un intorno del punto $x_0$ (in questo caso di $-oo $)
*$f(x), g(x) $ continue
*$f(x), g(x) $ derivabili
*$g'(x) ne 0 $.
*$f(x), g(x) $ continue
*$f(x), g(x) $ derivabili
*$g'(x) ne 0 $.
a) $F(x )= x int_0^x e^(-y^2)dy - int_1^x ye^(-y^2)dy $
Soluzione : $F''(x) = e^(-x^2) ; lim_(x to +oo) F(x) = +oo$
Grafico di $F''(x)$
b) $F(x) = int_0^x(1-e^(-t^2))dt/(t^2+1)$
Grafico di $F(x)$
c) $F(x) = e^(-x^4)+ int_0^(x^2) t^2 e^(-t) dt $
Grafico di $F(x) $
d) $F(x) = int_0^(x^2-2x) e^(-t^4)dt $
Soluzione
Dominio : $RR$ ; minimo per $x=1 $ ; non esistono massimi.
Grafico
e) $F(x) = int _0^(x^2-1) e^(-t)sqrt(t)dt $
Soluzione
Dominio : $ (-oo,-1] U[1,+oo)$
Asintoto orizzonale : $y = sqrt(pi)/2$
Minimo :$F(+-1)=0 $
Non esistono massimi
Grafico
SEGUE
Soluzione : $F''(x) = e^(-x^2) ; lim_(x to +oo) F(x) = +oo$
Grafico di $F''(x)$
b) $F(x) = int_0^x(1-e^(-t^2))dt/(t^2+1)$
Grafico di $F(x)$
c) $F(x) = e^(-x^4)+ int_0^(x^2) t^2 e^(-t) dt $
Grafico di $F(x) $
d) $F(x) = int_0^(x^2-2x) e^(-t^4)dt $
Soluzione
Dominio : $RR$ ; minimo per $x=1 $ ; non esistono massimi.
Grafico
e) $F(x) = int _0^(x^2-1) e^(-t)sqrt(t)dt $
Soluzione
Dominio : $ (-oo,-1] U[1,+oo)$
Asintoto orizzonale : $y = sqrt(pi)/2$
Minimo :$F(+-1)=0 $
Non esistono massimi
Grafico
SEGUE
Grazie per aver accolto i miei piccoli suggerimenti. 
Propongo lo studio di $F(x) = int_1^x(e^t*dt)/sqrt|t| $
Soluzione :
Soluzione :
Camillo sicuramente farò le fnzioni che mi hai segnalato tu
però...nel frattempo chiedo un'altro aiutino
non riesco a fare i limiti di questa funzione $int_x^(x+1) e^(-sqrt(t))dt - x $
mi riuscite a dare una mano?
il dominio è ovviamnete $x>=0$
helppp!
però...nel frattempo chiedo un'altro aiutino
non riesco a fare i limiti di questa funzione $int_x^(x+1) e^(-sqrt(t))dt - x $
mi riuscite a dare una mano?
il dominio è ovviamnete $x>=0$
helppp!
L'integrale si può calcolare te e quindi volendo ottieni una espressione analitica per $F(x)$.
Immagino tu ti riferisca al limite della $F(x) $ per $ x to +oo $ .
Un semplice ragionamento qualitativo :
la funzione integranda è infinitesima per $ x to +oo $ e a maggior ragione quando la integri tra $ x $ e $ x+1 $ il valore dell'integrale tende a $ 0 $.
Resta allora solo il contributo di $ -x $ che chiaramente tende a $ -oo $.
Immagino tu ti riferisca al limite della $F(x) $ per $ x to +oo $ .
Un semplice ragionamento qualitativo :
la funzione integranda è infinitesima per $ x to +oo $ e a maggior ragione quando la integri tra $ x $ e $ x+1 $ il valore dell'integrale tende a $ 0 $.
Resta allora solo il contributo di $ -x $ che chiaramente tende a $ -oo $.
grazie mille Camillo....come al solito sei troooppo chiaro e preciso nelle tue spiegazioni(il post per la cronaca l'ho letto molto tempo fà)!
io però ho ancora problemi..... guarda questa funzione integrale:
$int_0^x arcsin[t|t|/(t^2+1)]
non riesaco a determinare campo di esistenza(io penso sia da -oo a +oo ) e limiti.... una mano me la riesci a dare ancora una volta?
io però ho ancora problemi..... guarda questa funzione integrale:
$int_0^x arcsin[t|t|/(t^2+1)]
non riesaco a determinare campo di esistenza(io penso sia da -oo a +oo ) e limiti.... una mano me la riesci a dare ancora una volta?
Ciao,intanto complimenti.Grazie a questo topic ho risolto diversi dubbi.
Ora volevo chiedervi,devo trovare il dominio di questa funzione
$\int_0^(x^2)e^t/sqrt(1-t)dt$
non riesco a capire cosa cambia col fatto che ho $x^2$ come estremo sup
Poi per studiarne la derivabilità è sufficiente fare il dominio della derivata prima o devo fare altro??
Poi un ultima cosa,in questa funzione mi viene chiesto di verificare se è limitata e di calcolare eventuali estremi e/o asintoti
$\int_1^(x)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt$
ho studiato il dominio che è [1;2[
Essendo $\int_1^(2)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt=+oo$ allora superiormente non è limitata.
Per vedere se è limitata inferiormente posso fare il $\lim_{x \to \1}\int_1^(x)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt$ ?
Sempre se è giusto quel che ho scritto,il valore trovato se è finito è l'ordinata dell'estremo?L'estremo sarebbe (1,0)?
Grazie anticipatamente a chi risponderà!
Ora volevo chiedervi,devo trovare il dominio di questa funzione
$\int_0^(x^2)e^t/sqrt(1-t)dt$
non riesco a capire cosa cambia col fatto che ho $x^2$ come estremo sup
Poi per studiarne la derivabilità è sufficiente fare il dominio della derivata prima o devo fare altro??
Poi un ultima cosa,in questa funzione mi viene chiesto di verificare se è limitata e di calcolare eventuali estremi e/o asintoti
$\int_1^(x)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt$
ho studiato il dominio che è [1;2[
Essendo $\int_1^(2)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt=+oo$ allora superiormente non è limitata.
Per vedere se è limitata inferiormente posso fare il $\lim_{x \to \1}\int_1^(x)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt$ ?
Sempre se è giusto quel che ho scritto,il valore trovato se è finito è l'ordinata dell'estremo?L'estremo sarebbe (1,0)?
Grazie anticipatamente a chi risponderà!
"paggisan":
grazie mille Camillo....come al solito sei troooppo chiaro e preciso nelle tue spiegazioni(il post per la cronaca l'ho letto molto tempo fà)!
io però ho ancora problemi..... guarda questa funzione integrale:
$int_0^x arcsin[t|t|/(t^2+1)]$
non riesco a determinare campo di esistenza(io penso sia da $-oo$ a $+oo$ ) e limiti.... una mano me la riesci a dare ancora una volta?
Camillo oltre a rispondere alla domanda qui sopra... può dirmi qualche altro cosuccia a prorposito di questi 2 integrali che tu stesso mi hai suggerito di fare
a) $F(x )= x int_0^x e^(-y^2)dy - int_1^x ye^(-y^2)dy $
Soluzione : $F''(x) = e^(-x^2) ; lim_(x to +oo) F(x) = +oo$
Grafico di $F''(x)$
la derivata prima mi viene a sua volta un integrale....come faccio dunque a fare lo studio del segno se è ancora una volta un integrale
??b) $F(x) = int_0^x(1-e^(-t^2))dt/(t^2+1)$
Grafico di $F(x)$
l dominio mi è venuto: tutto R-(0)...ma come può essere e come mi devo comportare se uno degli estremi dell'integrale è prorpio lo 0????
devo verificare se per x->0 è sommabile??? e se mi venisse non sommabile che vorrebbe dire???
grazie anticipatamente per le risposte
Ecco i commenti alla funzione integrale :$F(x)=int_0^x arcsin((t*|t|)*dt/(t^2+1))$
a) funzione integranda $f(t) $
Per trovare il dominio della funzione integranda devo imporre :
$-1<=(t*|t|)/(1+t^2)<= 1 $ ; ricordando che $ |t| = t $ se $ t>0 $ , mentre $|t| = -t $ se $ t<0 $ si vede che il dominio è $RR$.
Inoltre $f(0) =0 ; f(t)>0 $ per $t>0 $ ; $f(t)<0 $ per $t<0 $.
$lim_(t to +oo) f(t)= pi/2$(asintoto orizzontale); $lim_(t to -oo)f(t)= -pi/2$(asintoto orizzontale).
b) Funzione integrale $F(x)$ .
$F(0)=0 ; F(x) >0 $ per $x >0 $ ;per$x<0,F(x)= -int_x^0 f(t)dt $ ed è quindi ancora $F(x) >0 $ (essendo $f(t) <0 $ per $t<0 $).
Inoltre si verifica facilmente che : $lim_(x to +-oo)F(x)=+oo $.
Il dominio di $F(x)$ è $RR$. $F(x)$ ha un punto di minimo assoluto in $x=0$.
Per concludere $F(x) $ è decrescente per $x <0 $ ; crescente per $x >0 $ in quanto la sua derivata
$F'(x) =arcsin((x*|x|)/(x^2+1)) $ è negativa per $x<0$ e positiva per $x >0 $.
a) funzione integranda $f(t) $
Per trovare il dominio della funzione integranda devo imporre :
$-1<=(t*|t|)/(1+t^2)<= 1 $ ; ricordando che $ |t| = t $ se $ t>0 $ , mentre $|t| = -t $ se $ t<0 $ si vede che il dominio è $RR$.
Inoltre $f(0) =0 ; f(t)>0 $ per $t>0 $ ; $f(t)<0 $ per $t<0 $.
$lim_(t to +oo) f(t)= pi/2$(asintoto orizzontale); $lim_(t to -oo)f(t)= -pi/2$(asintoto orizzontale).
b) Funzione integrale $F(x)$ .
$F(0)=0 ; F(x) >0 $ per $x >0 $ ;per$x<0,F(x)= -int_x^0 f(t)dt $ ed è quindi ancora $F(x) >0 $ (essendo $f(t) <0 $ per $t<0 $).
Inoltre si verifica facilmente che : $lim_(x to +-oo)F(x)=+oo $.
Il dominio di $F(x)$ è $RR$. $F(x)$ ha un punto di minimo assoluto in $x=0$.
Per concludere $F(x) $ è decrescente per $x <0 $ ; crescente per $x >0 $ in quanto la sua derivata
$F'(x) =arcsin((x*|x|)/(x^2+1)) $ è negativa per $x<0$ e positiva per $x >0 $.
"Camillo":
Ecco i commenti alla funzione integrale :$F(x)=int_0^x arcsin((t*|t|)*dt/(t^2+1))$
a) funzione integranda $f(t) $
Per trovare il dominio della funzione integranda devo imporre :
$-1<=(t*|t|)/(1+t^2)<= 1 $ ; ricordando che $ |t| = t $ se $ t>0 $ , mentre $|t| = -t $ se $ t<0 $ si vede che il dominio è $RR$.
Inoltre $f(0) =0 ; f(t)>0 $ per $t>0 $ ; $f(t)<0 $ per $t<0 $.
$lim_(t to +oo) f(t)= pi/2$(asintoto orizzontale); $lim_(t to -oo)f(t)= -pi/2$(asintoto orizzontale).
b) Funzione integrale $F(x)$ .
$F(0)=0 ; F(x) >0 $ per $x >0 $ ;per$x<0,F(x)= -int_x^0 f(t)dt $ ed è quindi ancora $F(x) >0 $ (essendo $f(t) <0 $ per $t<0 $).
Inoltre si verifica facilmente che : $lim_(x to +-oo)F(x)=+oo $.
Il dominio di $F(x)$ è $RR$. $F(x)$ ha un punto di minimo assoluto in $x=0$.
Per concludere $F(x) $ è decrescente per $x <0 $ ; crescente per $x >0 $ in quanto la sua derivata
$F'(x) =arcsin((x*|x|)/(x^2+1)) $ è negativa per $x<0$ e positiva per $x >0 $.
si tutto ok.....ma gli asintoti obliqui??sono li' i problemi che incontro maggiormente...
inoltre prima ti avevo scritto cheil dominio di una funzione di quelle da tè proposte mi era venuto: tutto R-(0) ....no....sbagliato....non era una delle funzioni da te prorposte ma una fatta da me....
in generale: quando il dominio viene tutto R-(0)...ma uno degli estremi dell'integrale è prorpio lo 0, che bisogna fare????
devo verificare se per x->0 è sommabile??? e se mi venisse non sommabile che vorrebbe dire???
grazie anticipatamente per le risposte
"paggisan":
b) $F(x) = int_0^x(1-e^(-t^2))dt/(t^2+1)$
Grafico di $F(x)$
altra domanda...fresca fresca.....
ho studiato la funzione da te proposta e che vedi sopra
ma trovo problemi nello studio della derivata seconda che mi è venuta cosi'
$F''(x)= [2x(x^2e^(-x^2)+2e^(-x^2)-1)]/(x^2+1)^2$
pongo il numeratore >0 (senza il " 2x" ) e ottengo: $e^(-x^2)(x^2+2)>1-> e^(-x^2)>1/(x^2+2)$
un ragazzo mi ha detto di studiare i due membri della disequazione separatamente....e fare i grafici delle due funzioni che trovi qui --> http://paggisan.altervista.org/Grafico02.jpg (fai copia e incolla perchè il link non funziona)
ma poi???? non sò come fare..... sò che i due punti di intersezione corrisponderanno ai miei flessi...ma poi???come determino concavità e convessità?
ps:è giusta la derivata vero? non è che ho sbagliato anche quella??
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