Studio della funzione integrale - I... VI
Le nozioni e gli esempi proposti in questo thread sono presenti anche in questi appunti pubblicati sul sito.
***
Tempo fa, un utente del Forum (non ricordo più chi) aveva chiesto un aiuto per studiare questo tipo di funzioni.
Questo post vuole rispondere a quella domanda.
Ho diviso il testo in vari punti e in post diversi :
A)Definizione di funzione integrale e richiamo di proprietà degli integrali definiti.
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .[ Rilassando al massimo le condizioni cui deve soddisfare la funzione integranda, si può arrivare a dire che l'insieme delle discontinuità della funzione integranda è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue].
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è continua e derivabile (derivabile solo nei punti in cui $f $ è continua) ed ha come derivata la funzione integranda.
Ovviamente $F''(x) = f'(x)$
E' utile ricordare che :
$int_x^a f(t)dt = - int_a^x f(t)dt $
$int_a^a f(t)dt=0 $
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a
Nel caso che un estremo dell'integrale non sia semplicemente $ x $ ma una funzione di $x$ , diciamo $g(x)$, sia cioè $ F(x) = int_a^(g(x)) f(t)dt $ allora applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene che :
$F'(x) = f[g(x)]*g'(x) $
Un esempio servirà a chiarire meglio
Es. Sia $F(x) = int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ ; pongo $y =sqrt(x); G(y)=int_0^y e^(t^2)dt$ da cui $F(x)=G(sqrt(x)) $ e quindi $G'(y)=e^(y^2)$ e infine $F'(x)=G'(sqrt(x))*1/(2*sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.
Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di $x$, diciamo $ g_1(x),g_2(x)$ , sia cioè :$F(x)= int_(g_1(x))^(g_2(x)) f(t)dt $ si ha analogamente che $F'(x)=f[g_2(x)]*g'_2(x)-f[g_1(x)]*g'_1(x)$.
SEGUE
Edit : apportate modifiche in linea con suggerimenti di gugo
***
Tempo fa, un utente del Forum (non ricordo più chi) aveva chiesto un aiuto per studiare questo tipo di funzioni.
Questo post vuole rispondere a quella domanda.
Ho diviso il testo in vari punti e in post diversi :
A)Definizione di funzione integrale e richiamo di proprietà degli integrali definiti.
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .[ Rilassando al massimo le condizioni cui deve soddisfare la funzione integranda, si può arrivare a dire che l'insieme delle discontinuità della funzione integranda è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue].
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è continua e derivabile (derivabile solo nei punti in cui $f $ è continua) ed ha come derivata la funzione integranda.
Ovviamente $F''(x) = f'(x)$
E' utile ricordare che :
$int_x^a f(t)dt = - int_a^x f(t)dt $
$int_a^a f(t)dt=0 $
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a
Nel caso che un estremo dell'integrale non sia semplicemente $ x $ ma una funzione di $x$ , diciamo $g(x)$, sia cioè $ F(x) = int_a^(g(x)) f(t)dt $ allora applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene che :
$F'(x) = f[g(x)]*g'(x) $
Un esempio servirà a chiarire meglio
Es. Sia $F(x) = int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ ; pongo $y =sqrt(x); G(y)=int_0^y e^(t^2)dt$ da cui $F(x)=G(sqrt(x)) $ e quindi $G'(y)=e^(y^2)$ e infine $F'(x)=G'(sqrt(x))*1/(2*sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.
Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di $x$, diciamo $ g_1(x),g_2(x)$ , sia cioè :$F(x)= int_(g_1(x))^(g_2(x)) f(t)dt $ si ha analogamente che $F'(x)=f[g_2(x)]*g'_2(x)-f[g_1(x)]*g'_1(x)$.
SEGUE
Edit : apportate modifiche in linea con suggerimenti di gugo
Risposte
Devo dire che un vademecum del genere ci voleva. Hai tutto il mio appoggio Camillo!
Due piccolissime note:
1.
La numerabilità dei punti di discontinuità non è proprio il "massimo" possibile: in verità, al massimo l'insieme delle discontinuità dell'integrando è un insieme di misura nulla secondo Lebesue (quindi potrebbe essere anche di cardinalità maggiore del numerabile, come l'insieme di Cantor).
2.
Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale dimostra la continuità della funzione integrale prima dalla sua derivabilità: quindi la notizia della continuità di $F$ andrebbe di logica preposta alla notizia della sua derivabilità. Inoltre la derivabilità di $F$ è assicurata solo nei punti in cui $f$ è continua.
Due piccolissime note:
1.
"Camillo":
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .
La numerabilità dei punti di discontinuità non è proprio il "massimo" possibile: in verità, al massimo l'insieme delle discontinuità dell'integrando è un insieme di misura nulla secondo Lebesue (quindi potrebbe essere anche di cardinalità maggiore del numerabile, come l'insieme di Cantor).
2.
"Camillo":
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è cioè derivabile (e quindi continua) ed ha come derivata la funzione integranda.
Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale dimostra la continuità della funzione integrale prima dalla sua derivabilità: quindi la notizia della continuità di $F$ andrebbe di logica preposta alla notizia della sua derivabilità. Inoltre la derivabilità di $F$ è assicurata solo nei punti in cui $f$ è continua.
Ringrazio Gugo per le sue osservazioni ; per ora non modifico il testo, rimando la correzione alla fine .
Avrò ancora bisogno di commenti/osservazioni/suggerimenti.
Questi appunti sono indirizzati a chi debba sostenere Analisi I , quindi al più metterò tra parentesi riferimenti tipo Lebesgue.
Avrò ancora bisogno di commenti/osservazioni/suggerimenti.
Questi appunti sono indirizzati a chi debba sostenere Analisi I , quindi al più metterò tra parentesi riferimenti tipo Lebesgue.
B)Studio della funzione integrale $F(x)= int_a^x f(t)dt$
Consigli e suggerimenti .
*Studiare prima di tutto,anche in modo sommario,la funzione integranda $f(t)$.
Sarà utile considerarne il dominio, gli asintoti, i limiti agli estremi del dominio e tracciarne un grafico,anche se approssimato.
Adesso si può passare allo studio $F(x)$ :
*E'ovvio ma utile ricordare che $F(a)=0 $ .
*Valutare, quando possibile, il segno di $F(x)$,osservando il segno appunto dell'integrale definito (e quindi dell'area corrispondente) data da $int_a^x f(t)dt$.
Prestare attenzione : se si considera $int_a^b f(t)dt $ con $b < a $, converrà trasformarlo in $ - int_b^a f(t)dt$ ; si è così ripristinato il "verso normale di integrazione " in cui l'estremo inferiore di integrazione è minore di quello superiore.
Ad esempio se $F(x)= int_0^x e^(-x^2)$ sappiamo che $F(0)=0 $; inoltre essendo l'area racchiusa tra la curva e l'asse delle ascisse sempre positiva ne consegue che per la funzione integrale in questione è :
*$F(X) > 0 $ per $x>0 $
ma
*$F(X) < 0 $ per $x<0 $ [infatti $int_0^x e^(-t^2)dt= -int_x^0 e^(-t^2)dt$].
* Calcolare poi $lim_(x rarr +-oo)F(x) = lim_(x rarr +-oo)int_0^x f(t)dt $ e verificare se l'integrale converge o diverge, usando i criteri di convergenza per gli integrali impropri.
Si avrà quindi :
-se l'integrale diverge allora anche $F(X) $ diverge
-se invece l'integrale converge , allora $lim_( x rarr +-oo)F(x )= l$ (finito) e questo significa che $F(x)$ ha asintoto orizzontale di equazione $y = l $ .
Se si sa calcolare l'integrale improprio allora è possibile determinare l'esatto valore di $l $, altrimenti no, bisogna magari
limitarsi alla conoscenza del segno, se deducibile da altre considerazioni (zeri, crescenza , decrescenza della funzione
$F(x))$.
*E' opportuno poi calcolare gli altri limiti di $F(x)$ nei punti di discontinuità di $f(t)$.
Sia $t=c$ punto di discontinuità per $f(t)$.
E' opportuno distinguere vari casi :
a) esiste finito il limite destro della funzione integranda , allora la funzione integrale è definita e continua a destra.
b) analogo risultato nel caso esista finito il limite sinistro.
c) esiste finito il limite della funzione integranda , ma la funzione non è continua in $ t=c $ :$f(c) ne lim_(t rarr c)f(c)$, allora la funzione integrale è continua in $t=c$.
[Queste considerazioni derivano dal fatto che i punti dell'asse reale hanno misura di Lebesgue nulla: diciamo che quello che succede alla funzione integranda in un singolo punto non ha effetto sull'integrale].
Possiamo trarre pertanto la conclusione che :
-la funzione integrale $F(x)$ relativa ad $f(t)$ è continua nei punti $c$ in cui $f(t)$ presenta delle discontinuità eliminabili o di prima specie ( esistono finiti i limiti destro e sinistro ma sono diversi).
-Quando invece la discontinuità è di seconda specie o addirittura uno dei limiti non esiste allora la cosa si fa problematica .
Se l'integrale diverge allora $ x=c $ sarà asintoto verticale per $F(x)$.
Chiaramente in quest'ultimo caso la funzione $F(x)$ non sarà definita per valori $x > c $ (se $c > 0$) in quanto la funzione integrale divergerà.
Esempio $F(x)=int_0^x e^t*dt/(t-1)$.
Chiaramente $ t=1 $ è punto di discontinuità per la funzione integranda .
Valutiamo $F(1)=lim_(x rarr 1^(-))int_0^x e^t*dt/(t-1) $ e vediamo che l'integrale diverge a $-oo$ e quindi pure $F(x) $ diverge a $-oo$.
$F(x)$ pertanto non è definita per $x > 1$ e il suo dominio sarà quindi $(-oo,1)$.
*Passo successivo assai significativo è quello di calcolare la derivata di $F(x) $ che sappiamo essere $F'(x)= f(x) $.
Si deducono quindi gli intervalli di crescenza , decrescenza, punti di stazionarietà della funzione integrale e quindi i suoi punti di max e min relativi, gli eventuali punti di cuspide e/o punti a flesso a tangente verticale : le normali informazioni che si ottengono dallo studio della derivata prima di una funzione.
*Se possibile si calcola anche la derivata seconda $F''(x)=f'(x)$ che fornirà quindi quali siano gli intervalli di concavità , convessità e i punti di flesso della funzione integrale.
*Per verificare se $F(x)$ ha asintoto obliquo , nel caso ovviamente
che $F(x)$ diverga a $+- oo $ si calcola $m=lim_(x rarr +-oo)[F(x)]/x $=$ lim_(x rarr +-oo)(int_a^x f(t)dt)/t $=
$= lim_(x rarr +-oo)f(x)$ avendo usato la regola di De l'Hopital per l'ultimo passaggio.
Va poi verificato, prima di concludere che esiste asintoto obliquo che :
$lim_( x rarr +-oo) [F(x)-mx] = q $ esista finito.
SEGUE
Edit : modifiche in accordo con suggerimenti di gugo e ampliamenti
Consigli e suggerimenti .
*Studiare prima di tutto,anche in modo sommario,la funzione integranda $f(t)$.
Sarà utile considerarne il dominio, gli asintoti, i limiti agli estremi del dominio e tracciarne un grafico,anche se approssimato.
Adesso si può passare allo studio $F(x)$ :
*E'ovvio ma utile ricordare che $F(a)=0 $ .
*Valutare, quando possibile, il segno di $F(x)$,osservando il segno appunto dell'integrale definito (e quindi dell'area corrispondente) data da $int_a^x f(t)dt$.
Prestare attenzione : se si considera $int_a^b f(t)dt $ con $b < a $, converrà trasformarlo in $ - int_b^a f(t)dt$ ; si è così ripristinato il "verso normale di integrazione " in cui l'estremo inferiore di integrazione è minore di quello superiore.
Ad esempio se $F(x)= int_0^x e^(-x^2)$ sappiamo che $F(0)=0 $; inoltre essendo l'area racchiusa tra la curva e l'asse delle ascisse sempre positiva ne consegue che per la funzione integrale in questione è :
*$F(X) > 0 $ per $x>0 $
ma
*$F(X) < 0 $ per $x<0 $ [infatti $int_0^x e^(-t^2)dt= -int_x^0 e^(-t^2)dt$].
* Calcolare poi $lim_(x rarr +-oo)F(x) = lim_(x rarr +-oo)int_0^x f(t)dt $ e verificare se l'integrale converge o diverge, usando i criteri di convergenza per gli integrali impropri.
Si avrà quindi :
-se l'integrale diverge allora anche $F(X) $ diverge
-se invece l'integrale converge , allora $lim_( x rarr +-oo)F(x )= l$ (finito) e questo significa che $F(x)$ ha asintoto orizzontale di equazione $y = l $ .
Se si sa calcolare l'integrale improprio allora è possibile determinare l'esatto valore di $l $, altrimenti no, bisogna magari
limitarsi alla conoscenza del segno, se deducibile da altre considerazioni (zeri, crescenza , decrescenza della funzione
$F(x))$.
*E' opportuno poi calcolare gli altri limiti di $F(x)$ nei punti di discontinuità di $f(t)$.
Sia $t=c$ punto di discontinuità per $f(t)$.
E' opportuno distinguere vari casi :
a) esiste finito il limite destro della funzione integranda , allora la funzione integrale è definita e continua a destra.
b) analogo risultato nel caso esista finito il limite sinistro.
c) esiste finito il limite della funzione integranda , ma la funzione non è continua in $ t=c $ :$f(c) ne lim_(t rarr c)f(c)$, allora la funzione integrale è continua in $t=c$.
[Queste considerazioni derivano dal fatto che i punti dell'asse reale hanno misura di Lebesgue nulla: diciamo che quello che succede alla funzione integranda in un singolo punto non ha effetto sull'integrale].
Possiamo trarre pertanto la conclusione che :
-la funzione integrale $F(x)$ relativa ad $f(t)$ è continua nei punti $c$ in cui $f(t)$ presenta delle discontinuità eliminabili o di prima specie ( esistono finiti i limiti destro e sinistro ma sono diversi).
-Quando invece la discontinuità è di seconda specie o addirittura uno dei limiti non esiste allora la cosa si fa problematica .
Se l'integrale diverge allora $ x=c $ sarà asintoto verticale per $F(x)$.
Chiaramente in quest'ultimo caso la funzione $F(x)$ non sarà definita per valori $x > c $ (se $c > 0$) in quanto la funzione integrale divergerà.
Esempio $F(x)=int_0^x e^t*dt/(t-1)$.
Chiaramente $ t=1 $ è punto di discontinuità per la funzione integranda .
Valutiamo $F(1)=lim_(x rarr 1^(-))int_0^x e^t*dt/(t-1) $ e vediamo che l'integrale diverge a $-oo$ e quindi pure $F(x) $ diverge a $-oo$.
$F(x)$ pertanto non è definita per $x > 1$ e il suo dominio sarà quindi $(-oo,1)$.
*Passo successivo assai significativo è quello di calcolare la derivata di $F(x) $ che sappiamo essere $F'(x)= f(x) $.
Si deducono quindi gli intervalli di crescenza , decrescenza, punti di stazionarietà della funzione integrale e quindi i suoi punti di max e min relativi, gli eventuali punti di cuspide e/o punti a flesso a tangente verticale : le normali informazioni che si ottengono dallo studio della derivata prima di una funzione.
*Se possibile si calcola anche la derivata seconda $F''(x)=f'(x)$ che fornirà quindi quali siano gli intervalli di concavità , convessità e i punti di flesso della funzione integrale.
*Per verificare se $F(x)$ ha asintoto obliquo , nel caso ovviamente
che $F(x)$ diverga a $+- oo $ si calcola $m=lim_(x rarr +-oo)[F(x)]/x $=$ lim_(x rarr +-oo)(int_a^x f(t)dt)/t $=
$= lim_(x rarr +-oo)f(x)$ avendo usato la regola di De l'Hopital per l'ultimo passaggio.
Va poi verificato, prima di concludere che esiste asintoto obliquo che :
$lim_( x rarr +-oo) [F(x)-mx] = q $ esista finito.
SEGUE
Edit : modifiche in accordo con suggerimenti di gugo e ampliamenti
Piccola precisazione:
Noto che nei punti $c$ in cui l'integrando possiede finito il limite destro [risp. il limite sinistro, il limite], allora la funzione integrale è sicuramente definita e continua a destra di [risp. continua a sinistra di, continua in] $c$: ciò discende proprio dal fatto che i punti dell'asse reale hanno misura di Lebesgue nulla.
Esempio: siano $f(x)=\{(-1, ", se "xle 0),(1, ", se "x>0):}$ ed $F(x)=\int_1^x f(t) " d"t$.
Fissato $x=0$, l'integrale $F(0)$ non è un integrale improprio: infatti, prescindendo l'integrale di Riemann dal comportamento dell'integrando su insiemi di misura nulla secondo Lebesgue ed essendo ${0}$ un insieme con tale caratteristica, è possibile modificare arbitrariamente il valore di $f(0)$ (ad esmpio prolungare in maniera continua a destra ponendo $f(0)=1$) senza modificare il valore di $F(0)$.
Quanto detto implica che la funzione integrale relativa ad $f$ è continua nei punti $c$ in cui $f$ presenta discontinuità eliminabili o di prima specie.
I problemi sorgono quando la discontinuità in $c$ è di seconda specie oppure quando uno dei due limiti destro o sinistro della $f$ in $c$ non esiste (ma anche quando non esistono entrambi non è una bella situazione!
).
P.S.: Il Teorema di Vitali-Lebesgue è uno dei risultati più forti che ho visto durante il corso di Analisi I.
Certo, forse agli ingegneri non è mai stato enunciato, però almeno i matematici dovrebbero conoscerlo dal primo anno: quindi ti prego di farne menzione da qualche parte.
"Camillo":
*E' opportuno poi calcolare gli altri limiti di $F(x)$ nei punti di discontinuità di $f(t)$.
Sia ad esempio $t=c$ punto di discontinuità di $f(t)$.Pertanto $F(c^(+)) =int_0^(c^+)f(t)dt $ . Se tale valore esiste
finito, se cioè l'integrale converge e in aggiunta anche $F(c^(-))$ esiste finto e converge allo stesso valore di
$F(c^(+))$ allora $F(x) $ è definita in $x=c $ e si ha $F(c)= l$.
Se invece l'integrale diverge allora $x=c $ sarà asintoto verticale per $F(x)$.
Chiaramente in quest'ultimo caso la funzione $F(x)$ non sarà definita per valori $x > c $ (se $c > 0$) in quanto la funzione integrale divergerà.
Noto che nei punti $c$ in cui l'integrando possiede finito il limite destro [risp. il limite sinistro, il limite], allora la funzione integrale è sicuramente definita e continua a destra di [risp. continua a sinistra di, continua in] $c$: ciò discende proprio dal fatto che i punti dell'asse reale hanno misura di Lebesgue nulla.
Esempio: siano $f(x)=\{(-1, ", se "xle 0),(1, ", se "x>0):}$ ed $F(x)=\int_1^x f(t) " d"t$.
Fissato $x=0$, l'integrale $F(0)$ non è un integrale improprio: infatti, prescindendo l'integrale di Riemann dal comportamento dell'integrando su insiemi di misura nulla secondo Lebesgue ed essendo ${0}$ un insieme con tale caratteristica, è possibile modificare arbitrariamente il valore di $f(0)$ (ad esmpio prolungare in maniera continua a destra ponendo $f(0)=1$) senza modificare il valore di $F(0)$.
Quanto detto implica che la funzione integrale relativa ad $f$ è continua nei punti $c$ in cui $f$ presenta discontinuità eliminabili o di prima specie.
I problemi sorgono quando la discontinuità in $c$ è di seconda specie oppure quando uno dei due limiti destro o sinistro della $f$ in $c$ non esiste (ma anche quando non esistono entrambi non è una bella situazione!
).P.S.: Il Teorema di Vitali-Lebesgue è uno dei risultati più forti che ho visto durante il corso di Analisi I.
Certo, forse agli ingegneri non è mai stato enunciato, però almeno i matematici dovrebbero conoscerlo dal primo anno: quindi ti prego di farne menzione da qualche parte.
C)Esempio commentato
Studiare la funzione integrale: $F(x)=int _2^x \frac{e^t*dt}{t^(1/3)(t+1)}$
a) Studio di $f(t) = \frac{e^t}{t^(1/3)(t+1)}$
I risultati principali sono :
-Dominio : $(-oo,-1)U(-1,0)U(0,+oo)$ .
-Limiti
$lim_(t rarr +oo) f(t) = +oo$ ;$lim_(t rarr -oo) f(t) = 0^(+) $
$lim_(t rarr 0^(+)) f(t) =+oo$ , $lim_(t rarr 0^(-)) f(t)=-oo$
$t=0 $ è asintoto verticale
$lim_(t rarr -1^(+)) f(t) = -oo$ ; $lim_(t rarr -1^(-)) f(t) = +oo$
$t=-1 $ è asintoto verticale.
-Inoltre $f(t) > 0 $ per $t>0 $ e anche per $ t < -1$ ; $f(t)<0 $ per $-1
b) Studio di $ F(x)$
- $F(2)=0 $
-segno di $F(x)$ : guardando il diagramma di $f(t)$ e ricordando che $F(x)$ rappresenta l'area(con segno..) sottesa dalla curva e dall'asse delle ascisse, da $t=2 $ fino a $t=x$ si ottiene :
*per $x>2$ $F(x)> 0 $
*per $ 0
-Inoltre $lim_(x rarr +oo)F(x)=lim_(x rarr+oo)int_2^x e^t*dt/(t^(1/3)*(t+1))$ e questo integrale diverge a $+oo$per i
criteri di convergenza degli integrali impropri.
-Esaminiamo ora il comportamento di $F(x)$ nell'intorno di $x=0$.
$F(0^(+))=lim_(x rarr 0^(+))int_2^xf(t)dt$ =$ -int_x^2f(t)dt$ che converge a un valore negativo, diciamo $gamma$ .
$F(0^(-))=lim_(x rarr 0^(-))int_2^xf(t)dt $=$-int_x^2f(t)dt $ che pure converge e allo stesso valore $gamma$.
Quindi $F(0)$ è definita e di valore negativo pari a $gamma$.
-Consideriamo ora $F(x)$ nell'intorno destro di $-1$; sarà
$F(-1^(+))=lim_( x rarr (-1)^(+))int_2^x f(t)dt =-int_x^2f(t)dt$ che diverge a $+oo$.
Pertanto $F(x)$ non è definita per valori $x < -1 $ ed ha dominio dato da $(-1,+oo)$.
-Derivata : $F'(x)=\frac{e^x}{x^(1/3)*(x+1)}$. Si deduce quindi che :
$F(x)$ è crescente per $x >0$ e decrescente per $-1
Si può poi anche calcolare $F''(x)$ e determinare così gli intervalli di concavità e convessità della funzione nonchè i due punti di flesso compresi uno in $(-1,0)$ e l'altro in $(0,2)$.
SEGUE
Studiare la funzione integrale: $F(x)=int _2^x \frac{e^t*dt}{t^(1/3)(t+1)}$
a) Studio di $f(t) = \frac{e^t}{t^(1/3)(t+1)}$
I risultati principali sono :
-Dominio : $(-oo,-1)U(-1,0)U(0,+oo)$ .
-Limiti
$lim_(t rarr +oo) f(t) = +oo$ ;$lim_(t rarr -oo) f(t) = 0^(+) $
$lim_(t rarr 0^(+)) f(t) =+oo$ , $lim_(t rarr 0^(-)) f(t)=-oo$
$t=0 $ è asintoto verticale
$lim_(t rarr -1^(+)) f(t) = -oo$ ; $lim_(t rarr -1^(-)) f(t) = +oo$
$t=-1 $ è asintoto verticale.
-Inoltre $f(t) > 0 $ per $t>0 $ e anche per $ t < -1$ ; $f(t)<0 $ per $-1
b) Studio di $ F(x)$
- $F(2)=0 $
-segno di $F(x)$ : guardando il diagramma di $f(t)$ e ricordando che $F(x)$ rappresenta l'area(con segno..) sottesa dalla curva e dall'asse delle ascisse, da $t=2 $ fino a $t=x$ si ottiene :
*per $x>2$ $F(x)> 0 $
*per $ 0
-Inoltre $lim_(x rarr +oo)F(x)=lim_(x rarr+oo)int_2^x e^t*dt/(t^(1/3)*(t+1))$ e questo integrale diverge a $+oo$per i
criteri di convergenza degli integrali impropri.
-Esaminiamo ora il comportamento di $F(x)$ nell'intorno di $x=0$.
$F(0^(+))=lim_(x rarr 0^(+))int_2^xf(t)dt$ =$ -int_x^2f(t)dt$ che converge a un valore negativo, diciamo $gamma$ .
$F(0^(-))=lim_(x rarr 0^(-))int_2^xf(t)dt $=$-int_x^2f(t)dt $ che pure converge e allo stesso valore $gamma$.
Quindi $F(0)$ è definita e di valore negativo pari a $gamma$.
-Consideriamo ora $F(x)$ nell'intorno destro di $-1$; sarà
$F(-1^(+))=lim_( x rarr (-1)^(+))int_2^x f(t)dt =-int_x^2f(t)dt$ che diverge a $+oo$.
Pertanto $F(x)$ non è definita per valori $x < -1 $ ed ha dominio dato da $(-1,+oo)$.
-Derivata : $F'(x)=\frac{e^x}{x^(1/3)*(x+1)}$. Si deduce quindi che :
$F(x)$ è crescente per $x >0$ e decrescente per $-1
Si può poi anche calcolare $F''(x)$ e determinare così gli intervalli di concavità e convessità della funzione nonchè i due punti di flesso compresi uno in $(-1,0)$ e l'altro in $(0,2)$.
SEGUE
Ecco il grafico di $f(t)=\frac{e^t}{t^(1/3)(t+1)}$
e della funzione integrale $F(x)=int_2^x \frac{e^t*dt}{t^(1/3)(t+1)}$
SEGUE
e della funzione integrale $F(x)=int_2^x \frac{e^t*dt}{t^(1/3)(t+1)}$
SEGUE
Propongo alcuni esercizi da svolgere con qualche "aiuto ".
a) $F(x)= x*int_0^x e^{-y^2}dy-int_1^x ye^{-y^2}dy $.
Dedurre il grafico di $F^{''}(x) $ e calcolare $lim_{x \to +\infty} F(x)$
b) Studiare la funzione $ F(x)= int_0^x \frac{(1-e^(-t^2))*dt}{t^2+1}$.
c) Studiare la funzione $F(x)= e^{-x^4}+int_0^{x^2} t^2 e^{-t^2} dt$
d) $F(x) = int_0^{x^2-2x} e^{-t^4}dt$
Determinare il dominio di $F(x)$ e i punti di massimo e di minimo.
e) $F(x)= int_0^{x^2-1}e^{-t} \sqrt{t} dt$
Determinare dominio , asintoti orizzontali e punti di massimo e di minimo
SEGUE
a) $F(x)= x*int_0^x e^{-y^2}dy-int_1^x ye^{-y^2}dy $.
Dedurre il grafico di $F^{''}(x) $ e calcolare $lim_{x \to +\infty} F(x)$
b) Studiare la funzione $ F(x)= int_0^x \frac{(1-e^(-t^2))*dt}{t^2+1}$.
c) Studiare la funzione $F(x)= e^{-x^4}+int_0^{x^2} t^2 e^{-t^2} dt$
d) $F(x) = int_0^{x^2-2x} e^{-t^4}dt$
Determinare il dominio di $F(x)$ e i punti di massimo e di minimo.
e) $F(x)= int_0^{x^2-1}e^{-t} \sqrt{t} dt$
Determinare dominio , asintoti orizzontali e punti di massimo e di minimo
SEGUE
che programma avete usato per creare il grafico della funzione integrale???'
io solitamente, per le funzioni normali, uso il derive......ma per creare le funzioni integrali non sò proprio quale usare!!!
hellppp!!!!!!!!!!!!!!!!!
io solitamente, per le funzioni normali, uso il derive......ma per creare le funzioni integrali non sò proprio quale usare!!!
hellppp!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ho usato Derive ( anche se ho fatto un controllo manuale ) : inserisci in Derive la funzione integranda, poi fai calcolare ancora a Derive l'integrale definito tra diciamo $0 $ e $x $ se così è : anche se Derive non riesce spesso a scrivere l'espressione analitica(per ovvie ragioni) della funzione integrale $F(X)$ , non importa.
Come ultimo passo fai fare il grafico della funzione primitiva anche se non esplicitata analiticamente .
Come ultimo passo fai fare il grafico della funzione primitiva anche se non esplicitata analiticamente .
non riesco!!! mi dice che ci sono troppe variabili!!!!
l'integrale è questo:
[e^(-t) * (t-1)]
-----------------
sqrt(t^2+t+2) (<---radice quadrata)
definito nell'intervallo "x" (estremo sup) e "0" (estremo inf)
qualcuno riesce a farmela....e magari spiegarmi perchè il derive mi dice che ci sono troppe variabili (nonostante eseguo i passi che mi avete detto di fare)!!!
l'integrale è questo:
[e^(-t) * (t-1)]
-----------------
sqrt(t^2+t+2) (<---radice quadrata)
definito nell'intervallo "x" (estremo sup) e "0" (estremo inf)
qualcuno riesce a farmela....e magari spiegarmi perchè il derive mi dice che ci sono troppe variabili (nonostante eseguo i passi che mi avete detto di fare)!!!
"paggisan":
non riesco!!! mi dice che ci sono troppe variabili!!!!
l'integrale è questo:
[e^(-t) * (t-1)]
-----------------
sqrt(t^2+t+2) (<---radice quadrata)
definito nell'intervallo "x" (estremo sup) e "0" (estremo inf)
qualcuno riesce a farmela....e magari spiegarmi perchè il derive mi dice che ci sono troppe variabili (nonostante eseguo i passi che mi avete detto di fare)!!!
Perché non provi prima con un integrale più semplice?
E magari poi scrivi tu le istruzioni che hai dato.
nel pannello principale ho scritto la funzie f(t)
poi ho fatto: calcola-->integrale-->ho impostato gli estremi ed ho clikkato-->semplifica
cosi' nel pannello di controllo principale mi ha ricavato l'integrale e (credo) la primitiva
ho copiato la primitiva (facendo tasto destro sopra la primitiva-->copia)
poi ho fatto: inserisci-->grafico 2d
mi si è aperto il pannello di controllo per i grafici
nella barra in basso ho incollato ciò che prima avevo copiato (cioè la primitiva di F(x))
e infine ho fatto: inserisci-->grafico
e appena clikko mi dice: troppe variabili
tutto qui....che sbaglio?
poi ho fatto: calcola-->integrale-->ho impostato gli estremi ed ho clikkato-->semplifica
cosi' nel pannello di controllo principale mi ha ricavato l'integrale e (credo) la primitiva
ho copiato la primitiva (facendo tasto destro sopra la primitiva-->copia)
poi ho fatto: inserisci-->grafico 2d
mi si è aperto il pannello di controllo per i grafici
nella barra in basso ho incollato ciò che prima avevo copiato (cioè la primitiva di F(x))
e infine ho fatto: inserisci-->grafico
e appena clikko mi dice: troppe variabili
tutto qui....che sbaglio?
altre 2 cose:
1) da quello che ho letto quando voglio usare il criterio del confronto ,devo prendere una g(t) con dui confrontare la mia funzione...se calcolando il limite viene un certo "l">0 allora l'integrale di partenza ha lo stesso carattere dell'integrale di g(t)...giusto??
ma a volte mi capita che quando faccio il limite per x-->+oo mi viene
- a volte lo "0"
- altre volte "infinito"
che significa????
e se invece il limite mi desse un valore NEGATIVO....se significherebbe??? (ve lo chiedo perchè mi è capitato)
2)se ad esempio ho una funzione integrale F(X) i cui estremi sono
- estremo sup: x
- estremo inf: 0
succede sempre e solo che
F(x)>0 per x>0 , F(x)<0 per x<0 e che F(x)=0 per x=0
oppure può anche capitare che la funzione ad esempio sia in parte negativa anche per x>0 ????
1) da quello che ho letto quando voglio usare il criterio del confronto ,devo prendere una g(t) con dui confrontare la mia funzione...se calcolando il limite viene un certo "l">0 allora l'integrale di partenza ha lo stesso carattere dell'integrale di g(t)...giusto??
ma a volte mi capita che quando faccio il limite per x-->+oo mi viene
- a volte lo "0"
- altre volte "infinito"
che significa????
e se invece il limite mi desse un valore NEGATIVO....se significherebbe??? (ve lo chiedo perchè mi è capitato)
2)se ad esempio ho una funzione integrale F(X) i cui estremi sono
- estremo sup: x
- estremo inf: 0
succede sempre e solo che
F(x)>0 per x>0 , F(x)<0 per x<0 e che F(x)=0 per x=0
oppure può anche capitare che la funzione ad esempio sia in parte negativa anche per x>0 ????
Se ti dice troppe variabili, sei sicuro di avere inserito il numero $e $ in modo corretto cioè con ctrl+e ?
Comunque sintetizzo il procedimento che uso
scrivo $ f(t) $
calcola -----> integrale ----> definito
limite inferiore : 0
lim sup : x
semplifica
ottengo una certa espressione , in realtà la differenza di due integrali
inserisci ---> oggetto grafico 2D ----> traccia grafico
Comunque sintetizzo il procedimento che uso
scrivo $ f(t) $
calcola -----> integrale ----> definito
limite inferiore : 0
lim sup : x
semplifica
ottengo una certa espressione , in realtà la differenza di due integrali
inserisci ---> oggetto grafico 2D ----> traccia grafico
"paggisan":
nel pannello principale ho scritto la funzie f(t)
poi ho fatto: calcola-->integrale-->ho impostato gli estremi ed ho clikkato-->semplifica
cosi' nel pannello di controllo principale mi ha ricavato l'integrale e (credo) la primitiva
ho copiato la primitiva (facendo tasto destro sopra la primitiva-->copia)
poi ho fatto: inserisci-->grafico 2d
mi si è aperto il pannello di controllo per i grafici
nella barra in basso ho incollato ciò che prima avevo copiato (cioè la primitiva di F(x))
e infine ho fatto: inserisci-->grafico
e appena clikko mi dice: troppe variabili
tutto qui....che sbaglio?
Mi sembra corretto : ho ottenuto tramite derive il grafico della tua funzione ma , per problemi di upload non riesco a metterlo sul sito
"paggisan":
[quote="paggisan"]altre 2 cose:
1) da quello che ho letto quando voglio usare il criterio del confronto ,devo prendere una g(t) con dui confrontare la mia funzione...se calcolando il limite viene un certo "l">0 allora l'integrale di partenza ha lo stesso carattere dell'integrale di g(t)...giusto??
ma a volte mi capita che quando faccio il limite per x-->+oo mi viene
- a volte lo "0"
- altre volte "infinito"
che significa????
e se invece il limite mi desse un valore NEGATIVO....se significherebbe??? (ve lo chiedo perchè mi è capitato)
ad esempio ho fatto la funzione da voi proposta. cioè questa:
[quote="Camillo"]C)
Studiare la funzione integrale: $F(x)=int _2^xe^t*dt/(t^(1/3)*(t+1))$
-Consideriamo ora $F(x)$ nell'intorno destro di $-1$; sarà
$F(-1^(+))=lim_( x rarr (-1)^(+))int_2^x f(t)dt =-int_x^2f(t)dt$ che diverge a $+oo$.
SEGUE
se faccio il limite per x-->-1 e confronto con g(t)= (T+1)^a.... prendo a=1......il limite viene negativo....cioè viene -e^(-1)
che significa???????????
2)se ad esempio ho una funzione integrale F(X) i cui estremi sono
- estremo sup: x
- estremo inf: 0
succede sempre e solo che
F(x)>0 per x>0 , F(x)<0 per x<0 e che F(x)=0 per x=0
oppure può anche capitare che la funzione ad esempio sia in parte negativa anche per x>0 ????[/quote][/quote]
si....scrivevo male la "e"
qualsuno può rispondere a queste domande???????????
lunedi' ho l'esame di analisi1.....e non sò fare un bel niente di funzioni integrali!!
*Per $x rarr -1^(+) $ devi valutare se l'integrlae improprio $int_2^(-1)f(t)dt $ converge o diverge : la funzione integranda è, nell'intorno destro di $-1$, asintotica a \( \frac{e^{-t}}{(-1)(t+1)}\) e quindi ha un infinto di ordine $1$ e quindi l'integrale diverge e la funzione integrale avrà in $x=-1$ un asintoto verticale ; se si fosse avuto un infinito di ordine $< 1 $ allora si avrebbe avuta convergenza dell'integrale improprio.
*se $F(x) = int_0^x f(t)dt $ , certamente $F(0)=0$. consideriamo ora cosa succede per $x > 0 $ ad esempio .Quale sia il segno di $F(x)$ dipende dal segno e dall'andamento di $f(t)$ : certo se $f(t) $ è sempre $>0 $ allora lo sarà anche $F(x)$ ; ma se $f(t)$ fosse positiva fino a $x=3 $ e poi diventasse negativa , allora devi considerare che $F(x) $ indica la "somma algebrica " delle aree da $0$ fino a quel punto $x =5$ adesempio.
$F(5) $ potrà ancora essere positiva se l'area compresa tra 0 e 3 fosse maggiore di quella compresa tra 3 e 5
(in valore assoluto) ; $F(5)$ potrà invece essere negativa se prevarrà l'area "negativa , quella compresa tra 3 e 5 "; potrà anche essere $F(5)=0$ se le due aree si bilanciassero perfettamente.
*se $F(x) = int_0^x f(t)dt $ , certamente $F(0)=0$. consideriamo ora cosa succede per $x > 0 $ ad esempio .Quale sia il segno di $F(x)$ dipende dal segno e dall'andamento di $f(t)$ : certo se $f(t) $ è sempre $>0 $ allora lo sarà anche $F(x)$ ; ma se $f(t)$ fosse positiva fino a $x=3 $ e poi diventasse negativa , allora devi considerare che $F(x) $ indica la "somma algebrica " delle aree da $0$ fino a quel punto $x =5$ adesempio.
$F(5) $ potrà ancora essere positiva se l'area compresa tra 0 e 3 fosse maggiore di quella compresa tra 3 e 5
(in valore assoluto) ; $F(5)$ potrà invece essere negativa se prevarrà l'area "negativa , quella compresa tra 3 e 5 "; potrà anche essere $F(5)=0$ se le due aree si bilanciassero perfettamente.
Miracolo è riuscito l'upload del grafico della funzione integrale $F(x)=int_0^x (e^(-t)(t-1))/sqrt(t^2+t+2)$
Eccolo
Eccolo
"Camillo":
*se $F(x) = int_0^x f(t)dt $ , certamente $F(0)=0$. consideriamo ora cosa succede per $x > 0 $ ad esempio .Quale sia il segno di $F(x)$ dipende dal segno e dall'andamento di $f(t)$ : certo se $f(t) $ è sempre $>0 $ allora lo sarà anche $F(x)$ ; ma se $f(t)$ fosse positiva fino a $x=3 $ e poi diventasse negativa , allora devi considerare che $F(x) $ indica la "somma algebrica " delle aree da $0$ fino a quel punto $x =5$ adesempio.
$F(5) $ potrà ancora essere positiva se l'area compresa tra 0 e 3 fosse maggiore di quella compresa tra 3 e 5
(in valore assoluto) ; $F(5)$ potrà invece essere negativa se prevarrà l'area "negativa , quella compresa tra 3 e 5 "; potrà anche essere $F(5)=0$ se le due aree si bilanciassero perfettamente.
umh....non ho capito prorpio tutto quello che mi hai detto!
lo sò che sono una rompiscatole....ma non è che potresti farmi capire meglio sto concetto della positività o negatività di una funzione integranda con questa funzione:
l'integrale è quello di prima di cui vi ho chiesto come si faceva il grafico:
[e^(-t) * (t-1)]
-----------------
sqrt(t^2+t+2) (<---radice quadrata)
definito nell'intervallo "x" (estremo sup) e "0" (estremo inf)
ti prego.....ho l'esame lunedi' e ho paura di non superarlo
"Camillo":
Miracolo è riuscito l'upload del grafico della funzione integrale $F(x)=int_0^x (e^(-t)(t-1))/sqrt(t^2+t+2)$
Eccolo
miiiiiii
ma a me il derive ha fatto un grafico diverso!!!!
mentre da te dopo lo 0 la funzione è negativa....nel mio grafico dopo lo 0 la funzione rimane positiva!!!
uffaaaaaaaaaaa
come diamine faccciooooooo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
devo provare a fare molti altri grafici.......uffaaaa
io scrivo cosi' nel derive la funzione f(t) : [e^(-t)(t-1)]/[√(t^2+t+2)] (con la e= e+ctrl)
giusto?
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