Studio della funzione integrale - I... VI

[Camillo]

Le nozioni e gli esempi proposti in questo thread sono presenti anche in questi appunti pubblicati sul sito.

***

Tempo fa, un utente del Forum (non ricordo più chi) aveva chiesto un aiuto per studiare questo tipo di funzioni.
Questo post vuole rispondere a quella domanda.
Ho diviso il testo in vari punti e in post diversi :

A)Definizione di funzione integrale e richiamo di proprietà degli integrali definiti.
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .[ Rilassando al massimo le condizioni cui deve soddisfare la funzione integranda, si può arrivare a dire che l'insieme delle discontinuità della funzione integranda è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue].
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è continua e derivabile (derivabile solo nei punti in cui $f $ è continua) ed ha come derivata la funzione integranda.

Ovviamente $F''(x) = f'(x)$

E' utile ricordare che :
$int_x^a f(t)dt = - int_a^x f(t)dt $
$int_a^a f(t)dt=0 $
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a
Nel caso che un estremo dell'integrale non sia semplicemente $ x $ ma una funzione di $x$ , diciamo $g(x)$, sia cioè $ F(x) = int_a^(g(x)) f(t)dt $ allora applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene che :

$F'(x) = f[g(x)]*g'(x) $

Un esempio servirà a chiarire meglio
Es. Sia $F(x) = int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ ; pongo $y =sqrt(x); G(y)=int_0^y e^(t^2)dt$ da cui $F(x)=G(sqrt(x)) $ e quindi $G'(y)=e^(y^2)$ e infine $F'(x)=G'(sqrt(x))*1/(2*sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.

Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di $x$, diciamo $ g_1(x),g_2(x)$ , sia cioè :$F(x)= int_(g_1(x))^(g_2(x)) f(t)dt $ si ha analogamente che $F'(x)=f[g_2(x)]*g'_2(x)-f[g_1(x)]*g'_1(x)$.

SEGUE

Edit : apportate modifiche in linea con suggerimenti di gugo

[gugo82]

Se la [tex]$f(x)$[/tex] è limitata (e lo è, perchè [tex]$t^2+\sin^2 t\geq t^2$[/tex] dunque [tex]0\leq f(x)\leq \int_1^{+\infty} \frac{2}{t^2}\ \text{d} t=2[/tex]), allora è evidente che [tex]$\lim_{x\to +\infty} \tfrac{1}{x} f(x)=0$[/tex].

[fireball1]

E' una mia impressione o i post iniziali di questo topic, ora che abbiamo questo nuovo forum, sono incomprensibili?

[Seneca1]

No, non è una tua impressione...

[Studente Anonimo]

C'è sicuramente qualche simbolo di dollaro in più o in meno nel post che confonde MathJax. Se possibile usate il pulsante "segnala il messaggio", così qualche moderatore può correggere direttamente il post, oppure segnalatelo via PM all'autore. Grazie.

[fireball1]

Ci sarebbero da sistemare anche le varie formule di cui si vede il codice LaTeX "riquadrato", che compaiono in vari post di questo topic.

[whitelocust-votailprof]

ciao a tutti,
ho un problema con il grafico di un integrale definito in un intervallo:
$ F(0,x)=int_(0)^(x) ((t-[t])(t+[t])-(t)^+)dt $ $ [-2,2] $

io ho studiato e trovato il grafico della funzione integranda nei vari intervalli, dunque:

$ t^2 - 4 $ tra $ -2<=t<-1 $ la cui primitiva dovrebbe essere $t^3/3-4t$
$ t^2 - 1 $ tra $ -1<=t<0 $ la cui primitiva dovrebbe essere $t^3/3-t$
$ t^2 - t $ tra $ 0<=t<1 $ la cui primitiva dovrebbe essere $t^3/3-t^2/2$
$ t^2 - t - 1$ tra $ 1<=t<2 $ la cui primitiva dovrebbe essere $t^3/3-t^2/2-t$
$ -2$ per $ t=2 $ la cui primitiva è $ -2t $

il mio problema è che non riesco a disegnare il grafico dell'integrale, non riesco a capire come integrare l'integranda tra i vari intervalli..

qualcuno di voi può mica darmi qualche dritta o spiegarmi passo per passo?

grazie mille

[amedeo.taormina]

ciao a tutti sono nuovo del forum ed ho già una prima domanda che riguarda lo studio di funzioni integrali o meglio un esercizio che ho problemi a risolvere.
ho seguito i procedmenti e in pratica l'ho risolto vorrei solo capire se ho fatto bene quindi vi chiedo di postare una vostra soluzione o di farmi notare gli errori
questo è l'esercizio
$ int_(0)^(x) e^{-|t| } / sqrt(1+t) $
il C.E. $ [-1;+oo [ $
ho controllato la sommabbilità a -1 e risulta che il limite è $ 1/e $ sommabile per $ α=1/2 $
poi ho controllato la sommabilità a $ +oo $ risulta che il limite è 0 ed è sommabile per $ α>1 $
$ F′(x)=e^{-|x| } /sqrt(1+x) $ sempre $ > 0 $
$ F"((x) $ $ = $ $ -1 / (e^{|x| } sqrt(1+x)) $ $ -1 / (e^{|x| } 2sqrt((1+x)^(3) )) $ sempre $ < 0 $

[uldi]

Buongiorno, vi propongo un esercizio (che dovrebbe essere abbastanza semplice) di cui però non ho le soluzioni, né un qualche confronto possibile visto che sono argomenti che a lezione abbiamo trattato poco o nulla (quindi ne approfitto anche per qualche domanda )

Dunque, devo trovare i punti di massimo e di minimo (relativi ed assoluti) della funzione $F(x) = \int_x^(x+1)e^(-t^2)dt$
Allora: prima di tutto riscrivo $F(x)$ come $F(x) = \int_0^(x+1)e^(-t^2)dt - \int_0^xe^(-t^2)dt$. A questo punto so che $f(t)$ è continua in $RR$, dunque, per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, vale che $F '(x) = f(x)$ $AA x in RR$, dunque $F '(x) = f(x+1) - f(x) = e^(-(x+1)^2) - e^(-x^2)$. Vedo quindi che la derivata si annulla in $x=1/2$ e che è positiva per $x<1/2$, dunque $F(x)$ ha un punto di massimo per $x=1/2$.

Fin qui è giusto? A me pare plausibile, anche confrontando con un grafico di $f(t)$.

Mi chiedo però: come mi comporto all'infinito? Intuitivamente mi verrebbe da dire che l'integrale sia nullo ($f(t)$ è un infinitesimo abbastanza forte per $t$$rarr$$oo$) e dunque $F(x)$ limitata, con massimo $F(1/2)$, ed estremo inferiore (posso parlare di minimo in questo caso?) $0$.

Come lo dico però in modo "formale"? Ho fatto degli svarioni indicibili? Grazie per le eventuali risposte

[Tagliafico]

"gugo82":
I problemi sorgono quando la discontinuità in $c$ è di seconda specie oppure quando uno dei due limiti destro o sinistro della $f$ in $c$ non esiste (ma anche quando non esistono entrambi non è una bella situazione! ).

come si potrebbe quindi trovare una funzione $f$ discontinua (di seconda specie) non integrabile il cui valore assoluto $|f|$ è integrabile?

so che esiste di sicuro una funzione del genere, e suppongo non possa essere una funzione con discontinuità di prima specie, perché basta eliminare quella discontinuità per risolvere la situazione. per cui pensavo potesse essere una funzione discontinua di seconda specie, però non trovo un esempio.

mi pare che una cosa del tipo $f(x)={(1 larr x in Q),(-1 larr x in R-Q):}$

ma non sono certa possa andare

[dissonance]

[xdom="dissonance"]Per favore, cercate di evitare di scrivere qui. Questo topic è segnalato come "importante" e resta sempre in alto nella lista. Se lo riempite di interventi secondari questi ne renderanno difficile la consultazione.[/xdom]Se volete porre domande alla comunità, è meglio aprire nuovi topic nell'area normale che appendere delle risposte qui. Grazie.

[magliocurioso]

Mi scuso anticipatamente se il mio intervento non sarà molto opportuno però secondo me potrebbe essere utile per tutti gli utenti di questo forum trasformare i migliori interventi di questo topic in una dispensa come è recentemente avvenuto nel caso di quest'altro topic:

algebra-lineare-for-dummies-t45434.html

In tal modo si potrebbe poi linkare tale dispensa invitandola a consultare prima pubblicare nuovi messaggi e/o aprire nuovi topic perché magari semplicemente leggendo e meditando su di essa si troverebbe la risposta a numerosi dubbi, molti dei quali abbastanza banali.

[batmath]

Molto molto interessante e molto ben fatta questa presentazione sulla funzione integrale. E' proprio una cosa che manca nei testi comuni di Analisi e che invece viene spesso data agli esami.
Per graficare una funzione integrale bisogna andare per punti. Un esempio lo si può vedere (creato con Mathematica) in questo notebook: http://www.batmath.it/interattive/mathe ... Integr.cdf
Anche agli esami di stato di maturità scientifica è stato dato qualche volta e in proposito ho raccolto alcuni esercizi in questo fascicoletto: http://www.batmath.it/esame/funz_integr ... gr_scr.pdf

Sarebbe utile trasformare questo post in una dispensetta...

Luciano Battaia

[simone2903]

"Camillo":Confesso che per trovare $q $ e quindi calcolare il limite ho usato Derive
Se qualcuno vuol cimentarsi a calcolarlo a " manina " ...

Ciao. Volevo soltanto completare un esercizio lasciato a metà da Camillo. Si tratttava di mostrare che la funzione integrale $F(x)=\int_(0)^(x) arcsin(t|t| 1/(1+t^2))dt$ non ha asintoto obliquo e in particolare che $lim_(x->infty)(\int_(0)^(x) arcsin(t|t|/(1+t^2))dt-(pi)/2x)=-infty$.
Essendo $00, exists M>0:forallx>M, |arcsin(1-1/(1+x^2))-pi/2+sqrt(2)/sqrt(1+x^2)|infty)(\int_(M)^(x) arcsin(1-1/(1+t^2))dt-(pi)/2x) $$ \approx A+lim_(x->infty)(\int_(M)^(x) (pi/2-sqrt(2)/sqrt(1+t^2))dt-pi/2x)$ $=A+lim_(x->infty)((pi)/2x-(pi)/2M-sqrt(2) ln(x+sqrt(1+x^2))+sqrt(2) ln(M+sqrt(1+M^2))-pi/2x)=-infty$. Naturalmente se non fosse stato possibile valutare esattamente l'integrale, avremmo comunque potuto stimarlo come $int_(M)^(x) dt/sqrt(1+t^2)approx int_(M)^(x) dt/t=lnx-lnM$ ottenendo ugualmente il risultato cercato. Il tutto si poteva fare ovviamente anche in modo un pò meno preciso ma contemporaneamente meno pedante evitando di passare per $M$ e usando direttamente il confronto asintotico.

[gugo82]

Beh, hai:
\[
\begin{split}
F(x) - \frac{\pi}{2}\ x &= F(x) - \int_0^x \frac{\pi}{2}\ \text{d} t\\
&= \int_0^x \left( \arcsin \frac{t^2}{1+t^2} -\frac{\pi}{2} \right)\ \text{d} t &\quad \text{(è } x>0 \text{ e } 0\leq t\leq x\text{)}\\
&= -\int_0^x \arccos \frac{t^2}{1+t^2}\ \text{d} t\\
&\stackrel{\tau = \arccos \frac{t^2}{1+t^2}}{=} - \int_{\pi/2}^{\arccos \frac{x^2}{1+x^2}} \tau\ \left( - \frac{\sin \tau}{2 \sqrt{\cos \tau \ (1-\cos \tau)^3}}\right)\ \text{d} \tau \\
&=- \frac{1}{2}\ \int_{\arccos \frac{x^2}{1+x^2}}^{\pi/2} \frac{\tau\ \sin \tau}{\sqrt{\cos \tau}\ (1-\cos \tau)^{3/2}}\ \text{d} \tau
\end{split}
\]
sicché, dato che \(\lim_{x\to +\infty} \arccos \frac{x^2}{1+x^2}=0\), tutto si riconduce allo studio dell'integrale improprio:
\[
\int_0^{\pi/2} \frac{\tau\ \sin \tau}{\sqrt{\cos \tau}\ (1-\cos \tau)^{3/2}}\ \text{d} \tau\; ;
\]
ma tale integrale è divergente, poiché l'integrando è infinito in \(0\) d'ordine \(1\); pertanto il limite \(\lim_{x\to \infty} F(x) - \frac{\pi}{2}\ x\) non può essere finito.

[Elena41]

Ciao,
ho letto il post e l'ho trovato molto interessante. Grazie! Mi sono cimentata poi a fare un esercizio e volevo chiedervi conferma circa la mia soluzione. Vi pregherei di segnalarmi tutti gli eventuali errori. Grazie molte!

L'esercizio è questo: Data la funzione integrale \(\displaystyle \int_0^x ln(3+sin|t|)\) dt :

1) Dimostrare che è definita su tutto \(\displaystyle \Re \): io ho calcolato il dominio della funzione integranda e ho visto che è tutto \(\displaystyle \Re \) e inoltre ho osservato che non ha punti di discontinuità. Occorre mostrare altro?

2) Dire dov'è derivabile e calcolare la derivata prima: dovrebbe essere derivabile in \(\displaystyle \Re \) perchè lo è la funzione integranda. E' corretto?

3) Studiare dove F è crescente/decrescente e dire se ci sono max/min: a me è venuta sempre crescente. NOn ci sono dunque punti di massimo e minimo

4) Dire se F è pari o dispari: a me è venuta dispari per \(\displaystyle x>0 \) e pari per \(\displaystyle x<0 \). Quindi F su \(\displaystyle \Re \) non risulta nè pari nè dispari.

5) Dire se F è periodica: no

6) Dire se esistono finiti o infiniti: \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty} F(x) \). Secondo me questi limiti sono divergenti. E' giusto?

7) \(\displaystyle G(x) = F(x) -qx \) è una funzione limitata. Dimostralo e determina q . Affinchè sia limitata deve esistere \(\displaystyle M> \) tale che \(\displaystyle -M-qx < \int_0^x ln(3+sin|t|) dt < M+qx \). Risolvendo trovo \(\displaystyle ln2
Qualcuno mi può aiutare a capire se ho risolto bene l'esercizio o se sbaglio da qualche parte?
Grazie molte!

[gugo82]

"Elena4":Mi sono cimentata poi a fare un esercizio e volevo chiedervi conferma circa la mia soluzione. Vi pregherei di segnalarmi tutti gli eventuali errori. Grazie molte!

L'esercizio è questo: Data la funzione integrale \(\displaystyle \int_0^x ln(3+sin|t|)\) dt :

1) Dimostrare che è definita su tutto \(\displaystyle \Re \): io ho calcolato il dominio della funzione integranda e ho visto che è tutto \(\displaystyle \Re \) e inoltre ho osservato che non ha punti di discontinuità. Occorre mostrare altro?

Bene così.
Infatti l'integrando è definito ovunque ed è ovunque continuo; pertanto esso è integrabile in ogni intervallo del tipo \([0,x]\) o \([x,0]\) e perciò \(F\) è definita in tutto \(\mathbb{R}\).

"Elena4":2) Dire dov'è derivabile e calcolare la derivata prima: dovrebbe essere derivabile in \(\displaystyle \Re \) perchè lo è la funzione integranda. E' corretto?

Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, la \(F\) è derivabile lì dove l'integrando è continuo; dato che l'integrando è continuo in tutto \(\mathbb{R}\), la tua funzione integrale è derivabile in tutto \(\mathbb{R}\).
Inoltre, puoi anche essere più precisa e dire che \(F\) è di classe \(C^\infty (\mathbb{R})\), poiché la sua derivata prima \(F^\prime (x):=\ln (3+\sin |x|)\) è indefinitamente derivabile in tutto \(\mathbb{R}\).

"Elena4":3) Studiare dove F è crescente/decrescente e dire se ci sono max/min: a me è venuta sempre crescente. NOn ci sono dunque punti di massimo e minimo

Dato che \(\sin |x|\geq -1\) si ha \(F^\prime (x)=\ln (3+\sin |x|)\geq \ln 2 > 0\) cosicché la tua \(F\) è strettamente crescente e non ha estremi relativi.

"Elena4":4) Dire se F è pari o dispari: a me è venuta dispari per \(\displaystyle x>0 \) e pari per \(\displaystyle x<0 \). Quindi F su \(\displaystyle \Re \) non risulta nè pari nè dispari.

L'integrando è una funzione pari ed il punto iniziale di \(F\) è \(0\): pertanto la funzione \(F\) è dispari.
Infatti, se \(x>0\) si ha:
\[
F(-x)=-\int_{-x}^0 \ln (3+\sin |t|)\ \text{d} t \stackrel{\tau =-t}{=} \int_x^0 \ln (3+\sin |\tau|)\ \text{d} \tau=-F(x)
\]
mentre, se \(x<0\) è:
\[
F(-x)=\int_0^{-x} \ln (3+\sin |t|)\ \text{d} t \stackrel{\tau =-t}{=} -\int_0^x \ln (3+\sin |\tau|)\ \text{d} \tau =-F(x)
\]
quindi \(F(-x)=-F(x)\) in ogni caso, ed \(F\) è dispari.

"Elena4":5) Dire se F è periodica: no

Certo che no, perché \(F\) è strettamente crescente quindi non può assumere più d'una volta ogni valore nella sua immagine.

"Elena4":6) Dire se esistono finiti o infiniti: \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty} F(x) \). Secondo me questi limiti sono divergenti. E' giusto?

Dato che:
\[
\liminf_{x\to \pm \infty} \ln (3+\sin |x|) = \ln 2>0
\]
l'integrando non è impropriamente integrabile né in \(+\infty\) né in \(-\infty\); quindi si ha necessariamente:
\[
\lim_{x\to \pm \infty } F(x)=\pm \infty\; .
\]

"Elena4":7) \(\displaystyle G(x) = F(x) -qx \) è una funzione limitata. Dimostralo e determina q . Affinchè sia limitata deve esistere \(\displaystyle M> \) tale che \(\displaystyle -M-qx < \int_0^x ln(3+sin|t|) dt < M+qx \). Risolvendo trovo \(\displaystyle ln2
Dato che \(\ln 2 \leq f(x)\leq \ln 4\), si ha \((\ln 2)\ x\leq F(x)\leq (\ln 4)\ x\) ma ciò non ti consente di concludere, in generale, che \(F(x)-qx\) è limitata per ogni \(q\in [\ln 2,\ln 4]\)...
Che passaggi hai fatto?

[Elena41]

Ciao,
innanzitutto, grazie molte per la correzione puntuale! Mi è stata di grande aiuto..
Quello che avevo tentato di fare io per dimostrare che \(\displaystyle G(x) = F(x) -qx \) era limitata è dire che affichè \(\displaystyle G(x) \) sia limitata deve esistere \(\displaystyle M>0 \) tale che \(\displaystyle |\int_{0}^{x}ln(3+sin|t|) dt -qx |
Poi avevo scritto: \(\displaystyle -M <\int_{0}^{x}ln(3+sin|t|) dt -qx < M \) da cui \(\displaystyle -M +qx <\int_{0}^{x}ln(3+sin|t|) dt -qx < M + qx \). Dividendo tutti membri per x e facendo \(\displaystyle lim_{x \rightarrow \infty} \) trovo \(\displaystyle q< lim_{x \rightarrow \infty} ln(3 + sin|t|) < q\) da cui però effettivamente non posso dedurre nulla. L'altra volta avevo sbagliato un segno e avevo scritto \(\displaystyle -q< lim_{x \rightarrow \infty} ln(3 + sin|t|) < q\) e così mi veniva il risultato che ti avevo scritto.
A questo punto, direi, che il testo del problema è sbagliato e la funzione \(\displaystyle G(x) \) non è limitata. Tu che ne pensi?

Grazie ancora di tutto!

[magliocurioso]

Chiedo scusa se mi intrometto nuovamente ma ritengo che sia utile porre dentro questa discussione la seguente domanda:

La funzione $Gamma$ di Eulero è una funzione integrale?

[gugo82]

"magliocurioso":La funzione $Gamma$ di Eulero è una funzione integrale?

Non proprio: è piuttosto un integrale dipendente da un parametro.

[magliocurioso]

Chiedo scusa se continuo a postare qui ma ho trovato un problema particolarmente interessante.

Mi sono posto la seguente domanda: è possibile determinare una primitiva della funzione $\Gamma$ di Eulero? Mi sto chiedendo se esiste una qualche tecnica, eventualmente anche terribilmente complicata, per determinare una funzione $\Psi$ tale che
\[ \Psi'(x) = \Gamma(x) \] o se vogliamo \[ \Psi'(x) = \int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt \] Ingenuissimamente potrei pensare di scrivere \[ \Psi(x) = \int {\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt}\,dx \] ma sfido chiunque a calcolare un simile integrale... Forse ha più senso studiare la seguente funzione integrale \[ \Psi(x) = \int_0^x{\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt}\,dx \] ma più che una funzione integrale sembra un integrale doppio e faccio davvero fatica ad applicare lo schema di studio proposto in questa discussione. Avete qualche suggerimento da darmi?