Studio della funzione integrale - I... VI
Le nozioni e gli esempi proposti in questo thread sono presenti anche in questi appunti pubblicati sul sito.
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Tempo fa, un utente del Forum (non ricordo più chi) aveva chiesto un aiuto per studiare questo tipo di funzioni.
Questo post vuole rispondere a quella domanda.
Ho diviso il testo in vari punti e in post diversi :
A)Definizione di funzione integrale e richiamo di proprietà degli integrali definiti.
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .[ Rilassando al massimo le condizioni cui deve soddisfare la funzione integranda, si può arrivare a dire che l'insieme delle discontinuità della funzione integranda è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue].
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è continua e derivabile (derivabile solo nei punti in cui $f $ è continua) ed ha come derivata la funzione integranda.
Ovviamente $F''(x) = f'(x)$
E' utile ricordare che :
$int_x^a f(t)dt = - int_a^x f(t)dt $
$int_a^a f(t)dt=0 $
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a
Nel caso che un estremo dell'integrale non sia semplicemente $ x $ ma una funzione di $x$ , diciamo $g(x)$, sia cioè $ F(x) = int_a^(g(x)) f(t)dt $ allora applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene che :
$F'(x) = f[g(x)]*g'(x) $
Un esempio servirà a chiarire meglio
Es. Sia $F(x) = int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ ; pongo $y =sqrt(x); G(y)=int_0^y e^(t^2)dt$ da cui $F(x)=G(sqrt(x)) $ e quindi $G'(y)=e^(y^2)$ e infine $F'(x)=G'(sqrt(x))*1/(2*sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.
Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di $x$, diciamo $ g_1(x),g_2(x)$ , sia cioè :$F(x)= int_(g_1(x))^(g_2(x)) f(t)dt $ si ha analogamente che $F'(x)=f[g_2(x)]*g'_2(x)-f[g_1(x)]*g'_1(x)$.
SEGUE
Edit : apportate modifiche in linea con suggerimenti di gugo
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Tempo fa, un utente del Forum (non ricordo più chi) aveva chiesto un aiuto per studiare questo tipo di funzioni.
Questo post vuole rispondere a quella domanda.
Ho diviso il testo in vari punti e in post diversi :
A)Definizione di funzione integrale e richiamo di proprietà degli integrali definiti.
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .[ Rilassando al massimo le condizioni cui deve soddisfare la funzione integranda, si può arrivare a dire che l'insieme delle discontinuità della funzione integranda è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue].
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è continua e derivabile (derivabile solo nei punti in cui $f $ è continua) ed ha come derivata la funzione integranda.
Ovviamente $F''(x) = f'(x)$
E' utile ricordare che :
$int_x^a f(t)dt = - int_a^x f(t)dt $
$int_a^a f(t)dt=0 $
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a
Nel caso che un estremo dell'integrale non sia semplicemente $ x $ ma una funzione di $x$ , diciamo $g(x)$, sia cioè $ F(x) = int_a^(g(x)) f(t)dt $ allora applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene che :
$F'(x) = f[g(x)]*g'(x) $
Un esempio servirà a chiarire meglio
Es. Sia $F(x) = int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ ; pongo $y =sqrt(x); G(y)=int_0^y e^(t^2)dt$ da cui $F(x)=G(sqrt(x)) $ e quindi $G'(y)=e^(y^2)$ e infine $F'(x)=G'(sqrt(x))*1/(2*sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.
Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di $x$, diciamo $ g_1(x),g_2(x)$ , sia cioè :$F(x)= int_(g_1(x))^(g_2(x)) f(t)dt $ si ha analogamente che $F'(x)=f[g_2(x)]*g'_2(x)-f[g_1(x)]*g'_1(x)$.
SEGUE
Edit : apportate modifiche in linea con suggerimenti di gugo
Risposte
Allora, generalmente la convergenza di un integrale si dimostra confrontandolo con altri di cui si sa già se convergono o meno; ad esempio si sa che $\int_1^\infty1/xdx$ diverge, mentre $\int_1^\infty1/x^2dx$ converge.
In generale, sia $f(x)$ la funzione di cui si vuol studiare il comportamento dell'integrale, se $f(x)$ è un infinitesimo per $x$ che tende a $x_0$, come in questo caso, la si confronta con l'infinitesimo campione $1/(x-x_0)^\alpha$ e si determina per quale $\alpha in RR$ il $\lim_{x \to x_0}f(x)/(1/(x-x_0)^\alpha)$ è finito e diverso da zero. Se $\alpha < 1$ allora l'integrale converge, se $\alpha >= 1$ diverge. $\alpha$ si chiama ordine d'infinitesimo di $f(x)$ per $x rightarrow x_0$.
Adesso, considerando l'integrale da te postato:
$\int_0^1arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha)dx$
Io farei il $\lim_{x \to 0}arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha)$ (per quanto riguarda l'estremo $1$ non dà problemi).
Dallo sviluppo di Taylor di $arcsen(x)$ sappiamo che in zero si comporta come $x$, dunque il limite diventa:
$\lim_{x \to 0}x^2/((x^2+1)x^\alpha)$ che per $\alpha = 2$ tende a uno, dunque l'integrale converge.
Per $2 < \alpha <= 3$ diverge perchè avrebbe ordine d'infinitesimo $<= 1$.
Per $\alpha > 3$ converge perchè avrebbe ordine d'infinitesimo $> 1$.
Per $\alpha < 2$ tende a zero, dunque converge senza dare problemi.
Spero sia chiaro..
In generale, sia $f(x)$ la funzione di cui si vuol studiare il comportamento dell'integrale, se $f(x)$ è un infinitesimo per $x$ che tende a $x_0$, come in questo caso, la si confronta con l'infinitesimo campione $1/(x-x_0)^\alpha$ e si determina per quale $\alpha in RR$ il $\lim_{x \to x_0}f(x)/(1/(x-x_0)^\alpha)$ è finito e diverso da zero. Se $\alpha < 1$ allora l'integrale converge, se $\alpha >= 1$ diverge. $\alpha$ si chiama ordine d'infinitesimo di $f(x)$ per $x rightarrow x_0$.
Adesso, considerando l'integrale da te postato:
$\int_0^1arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha)dx$
Io farei il $\lim_{x \to 0}arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha)$ (per quanto riguarda l'estremo $1$ non dà problemi).
Dallo sviluppo di Taylor di $arcsen(x)$ sappiamo che in zero si comporta come $x$, dunque il limite diventa:
$\lim_{x \to 0}x^2/((x^2+1)x^\alpha)$ che per $\alpha = 2$ tende a uno, dunque l'integrale converge.
Per $2 < \alpha <= 3$ diverge perchè avrebbe ordine d'infinitesimo $<= 1$.
Per $\alpha > 3$ converge perchè avrebbe ordine d'infinitesimo $> 1$.
Per $\alpha < 2$ tende a zero, dunque converge senza dare problemi.
Spero sia chiaro..
Tutto chiaro, però non ho capito solo una cosa
tu hai detto:
e poi:
ma in questo caso $\alpha = 2>=1$ e quindi non dovrebbe divergere? (mi sa che mi sono perso un passaggio xD)
tu hai detto:
"EnderWiggins":
Se $\alpha < 1$ allora l'integrale converge, se $\alpha >= 1$ diverge. $\alpha$ si chiama ordine d'infinitesimo di $f(x)$ per $x rightarrow x_0$.
e poi:
"EnderWiggins":
Adesso, considerando l'integrale da te postato:
$\int_0^1arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha)dx$
Io farei il $\lim_{x \to 0}arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha)$ (per quanto riguarda l'estremo $1$ non dà problemi).
Dallo sviluppo di Taylor di $arcsen(x)$ sappiamo che in zero si comporta come $x$, dunque il limite diventa:
$\lim_{x \to 0}x^2/((x^2+1)x^\alpha)$ che per $\alpha = 2$ tende a uno, dunque l'integrale converge.
ma in questo caso $\alpha = 2>=1$ e quindi non dovrebbe divergere? (mi sa che mi sono perso un passaggio xD)
Scusa, c'è stato un problema di nomi..il primo $\alpha$ era un'incognita che rappresentava l'ordine d'infinitesimo, quello che invece compare nel tuo integrale è un parametro..
Il tuo integrale cambiava comportamento al variare in $RR$ di $\alpha$ parametro, l'ordine di infinitesimo allora puoi chiamarlo $\beta$ o con un'altra lettera..effettivamente chiamarlo allo stesso modo del tuo parametro non è stata una grande idea da parte mia, scusa..sono due cose diverse comunque, per questo negli ultimi passaggi dico:
Indendo per $\alpha$ che varia tra 2 e 3, la funzione avrebbe ordine d'infinitesimo $\beta <= 1$
Il tuo integrale cambiava comportamento al variare in $RR$ di $\alpha$ parametro, l'ordine di infinitesimo allora puoi chiamarlo $\beta$ o con un'altra lettera..effettivamente chiamarlo allo stesso modo del tuo parametro non è stata una grande idea da parte mia, scusa..sono due cose diverse comunque, per questo negli ultimi passaggi dico:
Per 2<α≤3 diverge perchè avrebbe ordine d'infinitesimo ≤1.
Per α>3 converge perchè avrebbe ordine d'infinitesimo >1.
Indendo per $\alpha$ che varia tra 2 e 3, la funzione avrebbe ordine d'infinitesimo $\beta <= 1$
Perdona, devo fare un mea culpa. ho commesso una svista imperdonabile alla quale ora cerco di rimediare.
Innanzitutto: una funzione $f(x)$ si dice infinitesimo per $x rightarrow x_0$ se $\lim_{x \to x_0}f(x) = 0$, si dice invece infinito se $\lim_{x \to x_0}f(x) = +-\infty$.
Un integrale $\int_a^bf(x)dx$, con $a, b in RR$ è integrabile se $f(x)$ è limitata e continua (o con un'infinità numerabile di discontinuità) su $[a,b]$
Se uno dei due estremi è $+-\infty$ o un punto di discontinuità l'integrale si dice improprio, e allora si studia il suo comportamento o convergenza.
Generalmente si studia come ti dicevo con il confronto asintotico; ne esistono due tipi:
1) se $f(x)$ è un infinitesimo per $x$ che tende a un estremo ($+-\infty$) si ricorre all'ordine d'infinitesimo di cui parlammo e che hai postato in questo stesso forum;
2) se $f(x)$ è invece un infinito per $x$ che tende a un estremo (generalmente un punto di dicontinuità di $f(x)$), si ricorre all'ordine d'infinito, molto simile.
Ora ti spiego: nella pratica si fa la stessa cosa, sia $x_0$ un estremo, sia $f(x)$ un infinito per $x rightarrow x_0$ (nel caso degli infinitesimi vale quanto già detto) e voglio studiare il comportamento di $\int_(x_0)^bf(x)dx$.
Considero il $\lim_{x \to x_0}f(x)/(1/(x-x_0)^\beta)$ e faccio variare $\beta$ come dicevi tu fino a trovare un valore finito, il criterio ora dice per gli infiniti che se $0 < \beta < 1$ l'integrale converge, se $\beta >= 1$ diverge.
Questo perchè nel tuo esercizio mi sono confuso!
$\lim_{x \to 0}arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha) = \lim_{x \to 0}x^2/((x^2+1)x^\alpha)$ che per $\alpha <= 2$ è finito già di suo (dunque $f(x)$ è limitata su $[0,1]$ e quindi integrabile), per $\alpha > 2$ schizza invece a $+\infty$ dunque è un infinito!
Mi correggo qui:
Sia $\alpha > 2$, considero $\lim_{x \to 0}(arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha))/(1/x^\beta)$. Poichè $\alpha > 2$ posso riscriverlo come $\lim_{x \to 0}(1/((x^2+1)x^(\alpha-2)))/(1/x^\beta)$ con $\alpha - 2 > 0$.
Ora si vede che basta scegliere $\beta = \alpha-2$ affinchè il limite tenda a $1$ e dunque converga.
Quindi se $2 < \alpha < 3 => 0 < \beta < 1 =>$ convergente, se invece $\alpha >= 3 => \beta >= 1 =>$ divergente.
Spero questa volta di non essere stato nè confusionario nè di aver commesso altre sviste..e spero di non aver fatto troppi danni confondendoti le idee..
Innanzitutto: una funzione $f(x)$ si dice infinitesimo per $x rightarrow x_0$ se $\lim_{x \to x_0}f(x) = 0$, si dice invece infinito se $\lim_{x \to x_0}f(x) = +-\infty$.
Un integrale $\int_a^bf(x)dx$, con $a, b in RR$ è integrabile se $f(x)$ è limitata e continua (o con un'infinità numerabile di discontinuità) su $[a,b]$
Se uno dei due estremi è $+-\infty$ o un punto di discontinuità l'integrale si dice improprio, e allora si studia il suo comportamento o convergenza.
Generalmente si studia come ti dicevo con il confronto asintotico; ne esistono due tipi:
1) se $f(x)$ è un infinitesimo per $x$ che tende a un estremo ($+-\infty$) si ricorre all'ordine d'infinitesimo di cui parlammo e che hai postato in questo stesso forum;
2) se $f(x)$ è invece un infinito per $x$ che tende a un estremo (generalmente un punto di dicontinuità di $f(x)$), si ricorre all'ordine d'infinito, molto simile.
Ora ti spiego: nella pratica si fa la stessa cosa, sia $x_0$ un estremo, sia $f(x)$ un infinito per $x rightarrow x_0$ (nel caso degli infinitesimi vale quanto già detto) e voglio studiare il comportamento di $\int_(x_0)^bf(x)dx$.
Considero il $\lim_{x \to x_0}f(x)/(1/(x-x_0)^\beta)$ e faccio variare $\beta$ come dicevi tu fino a trovare un valore finito, il criterio ora dice per gli infiniti che se $0 < \beta < 1$ l'integrale converge, se $\beta >= 1$ diverge.
Questo perchè nel tuo esercizio mi sono confuso!
$\lim_{x \to 0}arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha) = \lim_{x \to 0}x^2/((x^2+1)x^\alpha)$ che per $\alpha <= 2$ è finito già di suo (dunque $f(x)$ è limitata su $[0,1]$ e quindi integrabile), per $\alpha > 2$ schizza invece a $+\infty$ dunque è un infinito!
Mi correggo qui:
Sia $\alpha > 2$, considero $\lim_{x \to 0}(arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha))/(1/x^\beta)$. Poichè $\alpha > 2$ posso riscriverlo come $\lim_{x \to 0}(1/((x^2+1)x^(\alpha-2)))/(1/x^\beta)$ con $\alpha - 2 > 0$.
Ora si vede che basta scegliere $\beta = \alpha-2$ affinchè il limite tenda a $1$ e dunque converga.
Quindi se $2 < \alpha < 3 => 0 < \beta < 1 =>$ convergente, se invece $\alpha >= 3 => \beta >= 1 =>$ divergente.
Spero questa volta di non essere stato nè confusionario nè di aver commesso altre sviste..e spero di non aver fatto troppi danni confondendoti le idee..
Scusa forse mi sto sbagliando io ma secondo me la funzione
$arcsen (x^2/((x^2+1)x^(\alpha)))$ per $x->0$ l'argomento della funzione non tende a $0$ e quindi non puoi usare lo sviluppo in serie di Taylor; in quanto quello vale solo nel caso in cui l'argometo della funzione tende a $0$.E per $\alpha >2$ l'argometo di $arcsen$ non tende a $0$.O Sbaglio?
$arcsen (x^2/((x^2+1)x^(\alpha)))$ per $x->0$ l'argomento della funzione non tende a $0$ e quindi non puoi usare lo sviluppo in serie di Taylor; in quanto quello vale solo nel caso in cui l'argometo della funzione tende a $0$.E per $\alpha >2$ l'argometo di $arcsen$ non tende a $0$.O Sbaglio?
No, hai perfettamente ragione, svista mia..e sinceramente in questo momento non saprei nemmeno più come sbrogliarla 
pensavo di aver capito come calcolare la convergenza di un integrale xD ora però sono un po' confuso...potremmo ricominciare da zero? facciamo un esempio banalissimo spiegando passo passo così capiamo tutti?
grzz
grzz
Scusate se vi interrompo, ma chiaramente quell'integrando non è definito in un intorno destro di [tex]0[/tex] se [tex]\alpha >2[/tex]*; quindi l'integrale ha senso solo se [tex]\alpha \leq 2[/tex].
Se all'inizio vi dimenticate di stabilire l'insieme di definizione dell'integrando, è inevitabile che proseguendo vengano fuori cose assurde...
P.S.: Andrebbe considerata anche la possibilità di uno sbaglio nel trascrivere il testo dell'esercizio: l'integrando potrebbe essere [tex]$\frac{1}{x^\alpha} \arcsin \left( \frac{x^2}{x^2+1}\right)$[/tex] o addirittura [tex]$\frac{\arcsin x^2}{x^\alpha (x^2+1)}$[/tex]?
__________
* Infatti se [tex]\alpha >2[/tex] la funzione [tex]$\frac{x^2}{x^\alpha (x^2+1)}=\frac{1}{x^2+1}\cdot \frac{1}{x^{\alpha -2}}$[/tex] diverge in [tex]0[/tex], quindi (definizione di limite) esiste un intorno destro [tex]]0,\delta[[/tex] di [tex]0[/tex] in cui [tex]$\frac{x^2}{x^\alpha (x^2+1)} >1$[/tex]; da ciò segue che se [tex]\alpha >2[/tex] la funzione composta [tex]$\arcsin \left( \frac{x^2}{x^\alpha (x^2+1)}\right)$[/tex] non è definita in [tex]]0,\delta[[/tex].
Se all'inizio vi dimenticate di stabilire l'insieme di definizione dell'integrando, è inevitabile che proseguendo vengano fuori cose assurde...
P.S.: Andrebbe considerata anche la possibilità di uno sbaglio nel trascrivere il testo dell'esercizio: l'integrando potrebbe essere [tex]$\frac{1}{x^\alpha} \arcsin \left( \frac{x^2}{x^2+1}\right)$[/tex] o addirittura [tex]$\frac{\arcsin x^2}{x^\alpha (x^2+1)}$[/tex]?
__________
* Infatti se [tex]\alpha >2[/tex] la funzione [tex]$\frac{x^2}{x^\alpha (x^2+1)}=\frac{1}{x^2+1}\cdot \frac{1}{x^{\alpha -2}}$[/tex] diverge in [tex]0[/tex], quindi (definizione di limite) esiste un intorno destro [tex]]0,\delta[[/tex] di [tex]0[/tex] in cui [tex]$\frac{x^2}{x^\alpha (x^2+1)} >1$[/tex]; da ciò segue che se [tex]\alpha >2[/tex] la funzione composta [tex]$\arcsin \left( \frac{x^2}{x^\alpha (x^2+1)}\right)$[/tex] non è definita in [tex]]0,\delta[[/tex].
salve vorrei chiedervi una cosa a proposito del dominio delle funzioni integrali. se io ho questa funzione integrale:
\[ \int_0^x \frac{2t^2 + 3t}{\sqrt{t^2+3t+2}}\ d t \]
quando vado a calcolare il dominio della funzione integranda trovo che essa è definita per le x strettamente minori di -2 e strettamente maggiori di 1. fino a qua nessun problema. tuttavia quando vado a calcolare l'intervallo in cui devo far variare la x nascono i primi problemi perchè non capisco il motivo per cui la x non può variare nell' intervallo:
$ [-oo ; -2 ] $
ho visto che avete dato come regoletta che se l'estremo inferiore di integrazione fa parte di uno degli intervalli dove è definita la f(t) allora bisogna prendere quell'intervallo (non ricordo le parole esatte ma l'idea è quella), tuttavia questa regola non so come applicarla se ad esempio la f(t) è definita il un intervallo chiuso e limitato e l'estremo di integrazione appartiene all'intervallo chiuso e limitato.
altra domanda:
trovo che il dominio della f(x) è da -1 a più infinito. per capire il comportament nell'intorno destro di -1 come procedo? devo fare il limite della funzione integrale? e se si come si dovrebbe procedere?
vi ringrazio anticipatamente per la disponibilità, ma purtroppo non ho mai fatto questo tipo di funzione e non so procedere.
\[ \int_0^x \frac{2t^2 + 3t}{\sqrt{t^2+3t+2}}\ d t \]
quando vado a calcolare il dominio della funzione integranda trovo che essa è definita per le x strettamente minori di -2 e strettamente maggiori di 1. fino a qua nessun problema. tuttavia quando vado a calcolare l'intervallo in cui devo far variare la x nascono i primi problemi perchè non capisco il motivo per cui la x non può variare nell' intervallo:
$ [-oo ; -2 ] $
ho visto che avete dato come regoletta che se l'estremo inferiore di integrazione fa parte di uno degli intervalli dove è definita la f(t) allora bisogna prendere quell'intervallo (non ricordo le parole esatte ma l'idea è quella), tuttavia questa regola non so come applicarla se ad esempio la f(t) è definita il un intervallo chiuso e limitato e l'estremo di integrazione appartiene all'intervallo chiuso e limitato.
altra domanda:
trovo che il dominio della f(x) è da -1 a più infinito. per capire il comportament nell'intorno destro di -1 come procedo? devo fare il limite della funzione integrale? e se si come si dovrebbe procedere?
vi ringrazio anticipatamente per la disponibilità, ma purtroppo non ho mai fatto questo tipo di funzione e non so procedere.
Io ho: $F(x)=int_1^x e^(-t^2)dt$
Devo calcolare $F'(0)$
Vale 1 o -1?
Devo calcolare $F'(0)$
Vale 1 o -1?
Usa il teorema fondamentale del calcolo integrale.
"gugo82":
Usa il teorema fondamentale del calcolo integrale.
E' il teorema che ho utilizzato; ma x=0, in cui calcolo il valore cercato, è < dell'estremo inferiore dell'integrale, pari ad 1; mi viene il dubbio, insomma, di dover cambiare segno all'integrale.
Il teorema ti assicura che la derivata di [tex]\int_1^x e^{-t^2}\ \text{d} t[/tex] è [tex]$e^{-x^2}$[/tex] dove l'integrando è continuo... Quindi non c'è nessun problema di segno.
"gugo82":
Il teorema ti assicura che la derivata di [tex]\int_1^x e^{-t^2}\ \text{d} t[/tex] è [tex]$e^{-x^2}$[/tex] dove l'integrando è continuo... Quindi non c'è nessun problema di segno.
Grazie.
Ho bisogno di trovare il dominio della funzione:
$F(x)=\int_{x}^{1-2x} cos(t)/(t+t^2) dt$
Chi mi dà una mano? Grazie
$F(x)=\int_{x}^{1-2x} cos(t)/(t+t^2) dt$
Chi mi dà una mano? Grazie
la funzione integranda tende all'infinito, in valore assoluto, per t che tende a 0 e per t che tende -1. Quindi questi sono i due valori che dobbiamo eliminare dal dominio.Ho quindi tre intervalli a cui pensare: da -infinito a -1, da -1 a 0, o da 0 a +infinito.
Ciò che mi lascia perplessa sono gli estremi di integrazione, entrambi dipendenti da x. Se penso a cosa rappresentano nel piano vedo due rette che si intersecano per x=1/3. C'entra qualcosa questo valore o no? E quindi a quale intervallo limito il dominio. Oppure prendo gli estremi di integrazione che dipendono da x e impongo che siano diversi da 0 e -1?!
grazie se vorrai darmi qualche dritta
Ciò che mi lascia perplessa sono gli estremi di integrazione, entrambi dipendenti da x. Se penso a cosa rappresentano nel piano vedo due rette che si intersecano per x=1/3. C'entra qualcosa questo valore o no? E quindi a quale intervallo limito il dominio. Oppure prendo gli estremi di integrazione che dipendono da x e impongo che siano diversi da 0 e -1?!
grazie se vorrai darmi qualche dritta
In effetti lo studio è un po' rompiscatole.
Innanzitutto, sai che se \(a
\[F(x):=\begin{cases} \int_x^{1-2x} \frac{\cos t}{t(t+1)}\ \text{d} t &\text{, per gli } x\leq \tfrac{1}{3} \text{ per i quali l'integrale è finito} \\ -\int_{1-2x}^x \frac{\cos t}{t(t+1)}\ \text{d} t &\text{, per gli } x\geq \tfrac{1}{3} \text{ per i quali l'integrale è finito}\end{cases} \; .\]
Ora si tratta di stabilire quali sono i punti in cui l'integrale è finito.
L'integrando è un infinito d'ordine [tex]$\alpha =1$[/tex] in [tex]$0$[/tex] ed [tex]$-1$[/tex] (che sono gli unici punti di discontinuità), ergo esso non è sommabile in alcun intervallo che abbia almeno uno tra [tex]$0$[/tex] ed [tex]$-1$[/tex] come punto di accumulazione; ne consegue che l'integrale che definisce [tex]$F(x)$[/tex] è finito se e solo se [tex]$x$[/tex] soddisfa uno tra i seguenti sistemi:
\(\begin{cases} x\leq \frac{1}{3} \\ -1
si vede che il primo ed il terzo non hanno soluzioni, mentre il secondo ed il quarto hanno soluzioni:
[tex]$\begin{cases} x\leq \frac{1}{3} \\ x>0\end{cases}$[/tex] oppure [tex]$\begin{cases} x\geq \frac{1}{3} \\ x<\frac{1}{2}\end{cases}$[/tex].
Quindi:
\[ F(x):=\begin{cases} \int_x^{1-2x} \frac{\cos t}{t(t+1)}\ \text{d} t &\text{, per } 0
dato che per \(0
[tex]$\lim_{x\to 0^+}F(x)=+\infty$[/tex] e [tex]$\lim_{x\to (\tfrac{1}{2})^-} F(x)=-\infty$[/tex].
Usando il TFCI si può calcolare facilmente la derivata di [tex]$F(x)$[/tex]:
[tex]$F^\prime (x)=-\frac{\cos (1-2x)}{(1-2x)(1-x)} -\frac{\cos x}{x(x+1)}$[/tex]
per [tex]$x\neq \tfrac{1}{3}$[/tex] e, dato che sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Darboux, [tex]$F(x)$[/tex] è derivabile pure in [tex]$\tfrac{1}{3}$[/tex] e:
[tex]$F^\prime (\tfrac{1}{3}) =\lim_{x\to \tfrac{1}{3}} F^\prime (x)$[/tex];
conseguentemente [tex]$F(x)$[/tex] è di classe [tex]$C^1$[/tex] in [tex]$]0,\tfrac{1}{2}[$[/tex]; inoltre poiché \(00\), si ha certamente [tex]$F^\prime(x)<0$[/tex] in [tex]$]0,\tfrac{1}{2}[$[/tex], ergo [tex]$F(x)$[/tex] è strettamente decrescente.
Queste informazioni sono già sufficienti a tracciare un grafico di massima.
Innanzitutto, sai che se \(a
\[F(x):=\begin{cases} \int_x^{1-2x} \frac{\cos t}{t(t+1)}\ \text{d} t &\text{, per gli } x\leq \tfrac{1}{3} \text{ per i quali l'integrale è finito} \\ -\int_{1-2x}^x \frac{\cos t}{t(t+1)}\ \text{d} t &\text{, per gli } x\geq \tfrac{1}{3} \text{ per i quali l'integrale è finito}\end{cases} \; .\]
Ora si tratta di stabilire quali sono i punti in cui l'integrale è finito.
L'integrando è un infinito d'ordine [tex]$\alpha =1$[/tex] in [tex]$0$[/tex] ed [tex]$-1$[/tex] (che sono gli unici punti di discontinuità), ergo esso non è sommabile in alcun intervallo che abbia almeno uno tra [tex]$0$[/tex] ed [tex]$-1$[/tex] come punto di accumulazione; ne consegue che l'integrale che definisce [tex]$F(x)$[/tex] è finito se e solo se [tex]$x$[/tex] soddisfa uno tra i seguenti sistemi:
\(\begin{cases} x\leq \frac{1}{3} \\ -1
si vede che il primo ed il terzo non hanno soluzioni, mentre il secondo ed il quarto hanno soluzioni:
[tex]$\begin{cases} x\leq \frac{1}{3} \\ x>0\end{cases}$[/tex] oppure [tex]$\begin{cases} x\geq \frac{1}{3} \\ x<\frac{1}{2}\end{cases}$[/tex].
Quindi:
\[ F(x):=\begin{cases} \int_x^{1-2x} \frac{\cos t}{t(t+1)}\ \text{d} t &\text{, per } 0
dato che per \(0
[tex]$\lim_{x\to 0^+}F(x)=+\infty$[/tex] e [tex]$\lim_{x\to (\tfrac{1}{2})^-} F(x)=-\infty$[/tex].
Usando il TFCI si può calcolare facilmente la derivata di [tex]$F(x)$[/tex]:
[tex]$F^\prime (x)=-\frac{\cos (1-2x)}{(1-2x)(1-x)} -\frac{\cos x}{x(x+1)}$[/tex]
per [tex]$x\neq \tfrac{1}{3}$[/tex] e, dato che sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Darboux, [tex]$F(x)$[/tex] è derivabile pure in [tex]$\tfrac{1}{3}$[/tex] e:
[tex]$F^\prime (\tfrac{1}{3}) =\lim_{x\to \tfrac{1}{3}} F^\prime (x)$[/tex];
conseguentemente [tex]$F(x)$[/tex] è di classe [tex]$C^1$[/tex] in [tex]$]0,\tfrac{1}{2}[$[/tex]; inoltre poiché \(0
Queste informazioni sono già sufficienti a tracciare un grafico di massima.
ti ringrazio tantissimo, mi hai dato oltre la dritta che chiedevo. Mi resta solo il dubbio sui due limiti di F(x), poi il resto mi sembra chiaro. Mi cimenterò su altre e se posso postare delle soluzioni lo farò sicuramente, l'argomento non è dei più banali....direi. Grazie mille
Ho un altro problema: determinare il limite di x tende a + infinito di $1/x(f(x))$ dove $f(x)$ è la seguente:
$f(x)=\int_{1}^{x}2/(t^2+sen^2(t))dt$
Se calcolo il limite dell'integrale, ottengo un integrale improprio maggiorabile con un integrale che converge a 2 quindi anche il mio integrale di partenza converge. Posso concludere che il limite richiesto va a 0?
$f(x)=\int_{1}^{x}2/(t^2+sen^2(t))dt$
Se calcolo il limite dell'integrale, ottengo un integrale improprio maggiorabile con un integrale che converge a 2 quindi anche il mio integrale di partenza converge. Posso concludere che il limite richiesto va a 0?
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