Studio della funzione integrale - I... VI
Le nozioni e gli esempi proposti in questo thread sono presenti anche in questi appunti pubblicati sul sito.
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Tempo fa, un utente del Forum (non ricordo più chi) aveva chiesto un aiuto per studiare questo tipo di funzioni.
Questo post vuole rispondere a quella domanda.
Ho diviso il testo in vari punti e in post diversi :
A)Definizione di funzione integrale e richiamo di proprietà degli integrali definiti.
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .[ Rilassando al massimo le condizioni cui deve soddisfare la funzione integranda, si può arrivare a dire che l'insieme delle discontinuità della funzione integranda è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue].
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è continua e derivabile (derivabile solo nei punti in cui $f $ è continua) ed ha come derivata la funzione integranda.
Ovviamente $F''(x) = f'(x)$
E' utile ricordare che :
$int_x^a f(t)dt = - int_a^x f(t)dt $
$int_a^a f(t)dt=0 $
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a
Nel caso che un estremo dell'integrale non sia semplicemente $ x $ ma una funzione di $x$ , diciamo $g(x)$, sia cioè $ F(x) = int_a^(g(x)) f(t)dt $ allora applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene che :
$F'(x) = f[g(x)]*g'(x) $
Un esempio servirà a chiarire meglio
Es. Sia $F(x) = int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ ; pongo $y =sqrt(x); G(y)=int_0^y e^(t^2)dt$ da cui $F(x)=G(sqrt(x)) $ e quindi $G'(y)=e^(y^2)$ e infine $F'(x)=G'(sqrt(x))*1/(2*sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.
Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di $x$, diciamo $ g_1(x),g_2(x)$ , sia cioè :$F(x)= int_(g_1(x))^(g_2(x)) f(t)dt $ si ha analogamente che $F'(x)=f[g_2(x)]*g'_2(x)-f[g_1(x)]*g'_1(x)$.
SEGUE
Edit : apportate modifiche in linea con suggerimenti di gugo
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Tempo fa, un utente del Forum (non ricordo più chi) aveva chiesto un aiuto per studiare questo tipo di funzioni.
Questo post vuole rispondere a quella domanda.
Ho diviso il testo in vari punti e in post diversi :
A)Definizione di funzione integrale e richiamo di proprietà degli integrali definiti.
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .[ Rilassando al massimo le condizioni cui deve soddisfare la funzione integranda, si può arrivare a dire che l'insieme delle discontinuità della funzione integranda è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue].
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è continua e derivabile (derivabile solo nei punti in cui $f $ è continua) ed ha come derivata la funzione integranda.
Ovviamente $F''(x) = f'(x)$
E' utile ricordare che :
$int_x^a f(t)dt = - int_a^x f(t)dt $
$int_a^a f(t)dt=0 $
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a
Nel caso che un estremo dell'integrale non sia semplicemente $ x $ ma una funzione di $x$ , diciamo $g(x)$, sia cioè $ F(x) = int_a^(g(x)) f(t)dt $ allora applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene che :
$F'(x) = f[g(x)]*g'(x) $
Un esempio servirà a chiarire meglio
Es. Sia $F(x) = int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ ; pongo $y =sqrt(x); G(y)=int_0^y e^(t^2)dt$ da cui $F(x)=G(sqrt(x)) $ e quindi $G'(y)=e^(y^2)$ e infine $F'(x)=G'(sqrt(x))*1/(2*sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.
Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di $x$, diciamo $ g_1(x),g_2(x)$ , sia cioè :$F(x)= int_(g_1(x))^(g_2(x)) f(t)dt $ si ha analogamente che $F'(x)=f[g_2(x)]*g'_2(x)-f[g_1(x)]*g'_1(x)$.
SEGUE
Edit : apportate modifiche in linea con suggerimenti di gugo
Risposte
Per ciascun valore di $x$ gli estremi sono fissati e quindi l'integrale ti darà un valore né più né meno di quando hai una "normale" funzione integrale (sempre nei limiti del suo dominio ...).
IMHO questa è l'interpretazione che do io ...
Cordialmente, Alex
IMHO questa è l'interpretazione che do io ...
Cordialmente, Alex
Grazie Alex della tua risposta, mi sembra un ottimo modo di pensare
Vorrei fare questo esempio semplice... come estremi di integrazione due funzioni semplici, come funzione integranda una funzione semplice... in modo addirittura da poter risolvere l'integrale
$I(x)=int_(lnx)^(x+5) t dt =$
$= 1/2 |t^2|_(lnx)^(x+5)=$
$=1/2[(x+5)^2-ln^2x]$
ora è chiaro... anche se gli estremi di integrazione sono funzioni e non numeri alla fine... si ha sempre e solo una funzione di x come risultato... ok ci sono.. scusate il disturbo dovevo "visualizzare" con un esempio per capire bene, grazie!
Vorrei fare questo esempio semplice... come estremi di integrazione due funzioni semplici, come funzione integranda una funzione semplice... in modo addirittura da poter risolvere l'integrale
$I(x)=int_(lnx)^(x+5) t dt =$
$= 1/2 |t^2|_(lnx)^(x+5)=$
$=1/2[(x+5)^2-ln^2x]$
ora è chiaro... anche se gli estremi di integrazione sono funzioni e non numeri alla fine... si ha sempre e solo una funzione di x come risultato... ok ci sono.. scusate il disturbo dovevo "visualizzare" con un esempio per capire bene, grazie!
Ciao a tutti. Mi stavo chiedendo se esistesse un modo per scrivere una funzione integrale come una funzione "classica" e viceversa.
Tipo per esempio la funzione integrale $F(x)=\int _(0) ^(x)t^2 dt$ a mio parere ha un comportamento uguale alla funzione"classica" $f(x)=x^3/3$
Che dite?
Tipo per esempio la funzione integrale $F(x)=\int _(0) ^(x)t^2 dt$ a mio parere ha un comportamento uguale alla funzione"classica" $f(x)=x^3/3$
Che dite?
No niente ho capito. Quello che ho fatto io è semplicemente calcolare l integrale definito tra 0 e x però non sempre è possibile o conveniente farlo
Scrivo qui perchè mi sembrava il posto più adatto. Ci sono siti internet o programmi che disegnano funzioni integrali? Grazie mille.
Di solito uso Mathematica.
Non so se wolframalpha online riesce a fare cose simili.
Non so se wolframalpha online riesce a fare cose simili.
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