Studio della funzione integrale - I... VI
Le nozioni e gli esempi proposti in questo thread sono presenti anche in questi appunti pubblicati sul sito.
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Tempo fa, un utente del Forum (non ricordo più chi) aveva chiesto un aiuto per studiare questo tipo di funzioni.
Questo post vuole rispondere a quella domanda.
Ho diviso il testo in vari punti e in post diversi :
A)Definizione di funzione integrale e richiamo di proprietà degli integrali definiti.
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .[ Rilassando al massimo le condizioni cui deve soddisfare la funzione integranda, si può arrivare a dire che l'insieme delle discontinuità della funzione integranda è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue].
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è continua e derivabile (derivabile solo nei punti in cui $f $ è continua) ed ha come derivata la funzione integranda.
Ovviamente $F''(x) = f'(x)$
E' utile ricordare che :
$int_x^a f(t)dt = - int_a^x f(t)dt $
$int_a^a f(t)dt=0 $
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a
Nel caso che un estremo dell'integrale non sia semplicemente $ x $ ma una funzione di $x$ , diciamo $g(x)$, sia cioè $ F(x) = int_a^(g(x)) f(t)dt $ allora applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene che :
$F'(x) = f[g(x)]*g'(x) $
Un esempio servirà a chiarire meglio
Es. Sia $F(x) = int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ ; pongo $y =sqrt(x); G(y)=int_0^y e^(t^2)dt$ da cui $F(x)=G(sqrt(x)) $ e quindi $G'(y)=e^(y^2)$ e infine $F'(x)=G'(sqrt(x))*1/(2*sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.
Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di $x$, diciamo $ g_1(x),g_2(x)$ , sia cioè :$F(x)= int_(g_1(x))^(g_2(x)) f(t)dt $ si ha analogamente che $F'(x)=f[g_2(x)]*g'_2(x)-f[g_1(x)]*g'_1(x)$.
SEGUE
Edit : apportate modifiche in linea con suggerimenti di gugo
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Tempo fa, un utente del Forum (non ricordo più chi) aveva chiesto un aiuto per studiare questo tipo di funzioni.
Questo post vuole rispondere a quella domanda.
Ho diviso il testo in vari punti e in post diversi :
A)Definizione di funzione integrale e richiamo di proprietà degli integrali definiti.
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .[ Rilassando al massimo le condizioni cui deve soddisfare la funzione integranda, si può arrivare a dire che l'insieme delle discontinuità della funzione integranda è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue].
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è continua e derivabile (derivabile solo nei punti in cui $f $ è continua) ed ha come derivata la funzione integranda.
Ovviamente $F''(x) = f'(x)$
E' utile ricordare che :
$int_x^a f(t)dt = - int_a^x f(t)dt $
$int_a^a f(t)dt=0 $
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a
Nel caso che un estremo dell'integrale non sia semplicemente $ x $ ma una funzione di $x$ , diciamo $g(x)$, sia cioè $ F(x) = int_a^(g(x)) f(t)dt $ allora applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene che :
$F'(x) = f[g(x)]*g'(x) $
Un esempio servirà a chiarire meglio
Es. Sia $F(x) = int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ ; pongo $y =sqrt(x); G(y)=int_0^y e^(t^2)dt$ da cui $F(x)=G(sqrt(x)) $ e quindi $G'(y)=e^(y^2)$ e infine $F'(x)=G'(sqrt(x))*1/(2*sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.
Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di $x$, diciamo $ g_1(x),g_2(x)$ , sia cioè :$F(x)= int_(g_1(x))^(g_2(x)) f(t)dt $ si ha analogamente che $F'(x)=f[g_2(x)]*g'_2(x)-f[g_1(x)]*g'_1(x)$.
SEGUE
Edit : apportate modifiche in linea con suggerimenti di gugo
Risposte
"diavoletto89":
Ciao,intanto complimenti.Grazie a questo topic ho risolto diversi dubbi.
Ora volevo chiedervi,devo trovare il dominio di questa funzione
$\int_0^(x^2)e^t/sqrt(1-t)dt$
non riesco a capire cosa cambia col fatto che ho $x^2$ come estremo sup
Poi per studiarne la derivabilità è sufficiente fare il dominio della derivata prima o devo fare altro??
Poi un ultima cosa,in questa funzione mi viene chiesto di verificare se è limitata e di calcolare eventuali estremi e/o asintoti
$\int_1^(x)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt$
ho studiato il dominio che è [1;2[
Essendo $\int_1^(2)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt=+oo$ allora superiormente non è limitata.
Per vedere se è limitata inferiormente posso fare il $\lim_{x \to \1}\int_1^(x)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt$ ?
Sempre se è giusto quel che ho scritto,il valore trovato se è finito è l'ordinata dell'estremo?L'estremo sarebbe (1,0)?
Grazie anticipatamente a chi risponderà!
Ecco i miei commenti :
A) $F(x) = int_0^(x^2) e^t*dt/sqrt(1-t) $
a) funzione integranda $f(t)$ - Dominio :$1-t > 0 $ e quindi $t<1$;
$lim_(t to 1^(-)) f(t)=+oo$ ; $f(0) = 1$ ; $ lim_(t to -oo) f(t) = 0^(+) $; $f(t) >0 $ sempre nel dominio.
b) $F(x) $-funzione integrale
Dominio : $1-x^2 > 0 $ da cui $ -1
$F(0) = 0 $ ; $ F(x) > 0 $ per $0
A causa della presenza di $x^2 $si ha che $ F'(x)=(2*x*e^(x^2))/sqrt(1-x^2) $[invece che $F'(x)=(e^(x))/sqrt(1-x)$].
$F(x)$ ha un minimo in $x=0 $ ed è decrescente per $ -1
B) $ F(x) = int_1^x (e^t*dt)/(sqrt(1-t)*ln(3-t))$.
a) $f(t)$ -dominio : $t<1$ ; inoltre $lim_(t to-oo)f(t)=0^(+)$ ;$lim_(t to 1^(-) )f(t)=+oo$; $ f(t) > 0 $ sempre nel dominio.
Poichè $int_1^x f(t)dt = - int_x^1 f(t)dt $ si deduce che $F(x)<0 $ sempre eccetto che $F(1) = 0 $.
$F'(x)= e^x/(sqrt(1-x)*ln(3-x)) > 0 $ sempre , quindi $F(x)$ sempre crescente ; inoltre $lim_(x to 1^(-1)) F'(x) =+oo$
e quindi in $x=1 $ la curva parte con tangente verticale.
Verifichiamo ora $ lim_(x to -oo) F(x) =-lim_(x to -oo) int_x^1 e^t*dt/(sqrt(1-t)*ln(3-t)) $ .Nell' intorno di $-oo $ la funzione integranda è infinitesima di ordine maggiore di qualunque potenza positiva di $x $ e quindi l'integrale esiste finito .
Pertanto per $x to -oo , F(x) $ ha asintoto orizzontale di valore $alpha <0$ . Per conoscere il valore esatto di $alpha $ andrebbe calcolato l'integrale.
Massimo assoluto di $F(x)$ in $x=1$ e di valore $0$.
Conclusione :
Dominio di $F(x) : (-oo, 1]$ ; $F(x) $ è limitata in quanto si ha : $ alpha< F(x) <=0 $.
Edit : corretto comportamento della prima funzione $F(x) $ in $ +-1 $ indicata in A).
"paggisan":
[quote="paggisan"]grazie mille Camillo....come al solito sei troooppo chiaro e preciso nelle tue spiegazioni(il post per la cronaca l'ho letto molto tempo fà)!
io però ho ancora problemi..... guarda questa funzione integrale:
$int_0^x arcsin[t|t|/(t^2+1)]$
non riesco a determinare campo di esistenza(io penso sia da -oo a +oo ) e limiti.... una mano me la riesci a dare ancora una volta?
Camillo oltre a rispondere alla domanda qui sopra... può dirmi qualche altro cosuccia a prorposito di questi 2 integrali che tu stesso mi hai suggerito di fare
a) $F(x )= x int_0^x e^(-y^2)dy - int_1^x ye^(-y^2)dy $
Soluzione : $F''(x) = e^(-x^2) ; lim_(x to +oo) F(x) = +oo$
Grafico di $F''(x)$
la derivata prima mi viene a sua volta un integrale....come faccio dunque a fare lo studio del segno se è ancora una volta un integrale
??b) $F(x) = int_0^x(1-e^(-t^2))dt/(t^2+1)$
Grafico di $F(x)$
l dominio mi è venuto: tutto R-(0)...ma come può essere e come mi devo comportare se uno degli estremi dell'integrale è prorpio lo 0????
devo verificare se per x->0 è sommabile??? e se mi venisse non sommabile che vorrebbe dire???
grazie anticipatamente per le risposte[/quote]
Risposte
a) la derivata prima è $F'(x) = int_0^x e^(-y^2)dy$ ; poichè la funzione integranda è sempre positiva avremo che
$F'(x) > 0 $ per $x >0 $ , mentre $F'(x) <0 $ per $x<0 $ e ovviamente $F'(0)=0$.
b) Perchè escludi il punto $0 $ dal dominio ?
"Camillo":
b) Perchè escludi il punto $(0) $ dal dominio ?
leggi un pò sopra .... avevo sbagliato funzione....la funzione dove si dovrebbe escudere lo 0 è questa:
$int_0^x t^3/sqrt[e^(t^2) - 1]$
che mi dà anche problemi nello studio della derivata seconda.....
"paggisan":
[quote="paggisan"]
b) $F(x) = int_0^x(1-e^(-t^2))dt/(t^2+1)$
Grafico di $F(x)$
altra domanda...fresca fresca.....
ho studiato la funzione da te proposta e che vedi sopra
ma trovo problemi nello studio della derivata seconda che mi è venuta cosi'
$F''(x)= [2x(x^2e^(-x^2)+2e^(-x^2)-1)]/(x^2+1)^2$
pongo il numeratore >0 (senza il " 2x" ) e ottengo: $e^(-x^2)(x^2+2)>1-> e^(-x^2)>1/(x^2+2)$
un ragazzo mi ha detto di studiare i due membri della disequazione separatamente....e fare i grafici delle due funzioni che trovi qui --> http://paggisan.altervista.org/Grafico02.jpg (fai copia e incolla perchè il link non funziona)
ma poi???? non sò come fare..... sò che i due punti di intersezione corrisponderanno ai miei flessi...ma poi???come determino concavità e convessità?
ps:è giusta la derivata vero? non è che ho sbagliato anche quella??[/quote]
La derivata seconda è corretta .Attenzione a non trascurare il fattore $2x$ perchè cambia segno. Comunque se ci mettiamo in $ x > 0 $ possiamo non considerralo ulteriormente.
La soluzione grafica della disequazione va bene : tu hai plottato le 2 curve , $ e^(-x^2) $ e $ 1/(x^2+2) $ e vedi dal grafico che si incontrano in un punto di ascissa $ alpha $ ignota ma vicina a $1 $ . Allora per $x=alpha $ avrai un flesso, perfetto.
Adesso il segno di $F''(x) $ , limitiamoci sempre a $x > 0 $ ; dove sarà $F''(x) > 0 $ , chiaramente dove la curva relativa a $e^(-x^2) $ sta sopra la curva relativa a $ 1/(x^2+2) $ e quindi per $ 0
Grazie mille camillo...
un'ultima cosa
non sono bravissimo con le funzioni integrali,ma di $\int_1^(x)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt$ ho scritto quel dominio xkè ne ero sicuro,infatti mi sn accorto solo ora che nel post ho scritto male la funzione che invece era $\int_1^(x)e^t/(sqrt(t-1)log(3-t))dt$
Cmq hai chiarito ugualmente i miei dubbi anche con quell'altra funzione.
Grazie!
un'ultima cosa
non sono bravissimo con le funzioni integrali,ma di $\int_1^(x)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt$ ho scritto quel dominio xkè ne ero sicuro,infatti mi sn accorto solo ora che nel post ho scritto male la funzione che invece era $\int_1^(x)e^t/(sqrt(t-1)log(3-t))dt$
Cmq hai chiarito ugualmente i miei dubbi anche con quell'altra funzione.
Grazie!
Certamente per la "nuova " funzione il dominio è $[1,2)$ .
"paggisan":
[quote="Camillo"]
b) Perchè escludi il punto $(0) $ dal dominio ?
leggi un pò sopra .... avevo sbagliato funzione....la funzione dove si dovrebbe escudere lo 0 è questa:
$int_0^x t^3/sqrt[e^(t^2) - 1]$
che mi dà anche problemi nello studio della derivata seconda.....[/quote]
Chiaramente la funzione integranda non è definita in $t=0 $ .
Per verificare se $F(0) $ è invece definita in $x=0 $ considero la funzione integranda nell'intorno di $x=0 $ .
Dato che $e^(t^2)-1 $ è asintotico a : $ 1+t^2-1=t^2 $ , allora la funzione integranda è asintotica , sempre nell'intorno di $x=0 $ a : $ t^3/t =t^2$ che $ rarr 0 $ ; quindi $F(x) $ è definita in $x=0 $ .
Asintoti obliqui - $ F(x) = arcsin((t*|t|)/(t^2+1)) $ .
Dato che $F(x) $ tende a $+oo$ per $x to +-oo$ possono esserci asintoti obliqui di equazione : $y = mx+q $.
Vanno quindi determinati, se esistono finiti $m $ e anche $q $ ( da notare che $m $ deve essere anche $ne 0$).
$m=lim_(x to +oo ) (F(x))/x =lim_(x to +oo) (int_0^xf(t)dt)/x =[oo/oo]$ , forma indeterminata .Usando la regola di De l'Hopital si ottiene :
$m=lim_(x to +oo)(F'(x))/1 = lim_(x to+oo)arcsin(x^2/(x^2+1)) = pi/2$.
Va però verificato che anche $q $ esiste finito :
$q = lim_( x to +oo)F(x)-(pi/2)x $ , però diverge a $oo $ .
Quindi non si ha asintoto obliquo: per simmetria non esiste neanche per $ x to -oo $.
Dato che $F(x) $ tende a $+oo$ per $x to +-oo$ possono esserci asintoti obliqui di equazione : $y = mx+q $.
Vanno quindi determinati, se esistono finiti $m $ e anche $q $ ( da notare che $m $ deve essere anche $ne 0$).
$m=lim_(x to +oo ) (F(x))/x =lim_(x to +oo) (int_0^xf(t)dt)/x =[oo/oo]$ , forma indeterminata .Usando la regola di De l'Hopital si ottiene :
$m=lim_(x to +oo)(F'(x))/1 = lim_(x to+oo)arcsin(x^2/(x^2+1)) = pi/2$.
Va però verificato che anche $q $ esiste finito :
$q = lim_( x to +oo)F(x)-(pi/2)x $ , però diverge a $oo $ .
Quindi non si ha asintoto obliquo: per simmetria non esiste neanche per $ x to -oo $.
"Camillo":
Asintoti obliqui - $ F(x) = arcsin((t*|t|)/(t^2+1)) $ .
Dato che $F(x) $ tende a $+oo$ per $x to +-oo$ possono esserci asintoti obliqui di equazione : $y = mx+q $.
Vanno quindi determinati, se esistono finiti $m $ e anche $q $ ( da notare che $m $ deve essere anche $ne 0$).
$m=lim_(x to +oo ) (F(x))/x =lim_(x to +oo) (int_0^xf(t)dt)/x =[oo/oo]$ , forma indeterminata .Usando la regola di De l'Hopital si ottiene :
$m=lim_(x to +oo)(F'(x))/1 = lim_(x to+oo)arcsin(x^2/(x^2+1)) = pi/2$.
Va però verificato che anche $q $ esiste finito :
$q = lim_( x to +oo)F(x)-(pi/2)x $ , però diverge a $oo $ .
Quindi non si ha asintoto obliquo: per simmetria non esiste neanche per $ x to -oo $.
su come trovare "m" ci sono....un pò meno sul perchè diverge il limite quando voglio trovare "q"..... se puoi mi spieghi il motivo preciso??
grazie per l'eventuale risposta
ps:sulle domande che ti ho fatto prima...tutto ok!
Confesso che per trovare $q $ e quindi calcolare il limite ho usato Derive 
Se qualcuno vuol cimentarsi a calcolarlo a " manina " ...
Se qualcuno vuol cimentarsi a calcolarlo a " manina " ...
Ciao camillo,volevo chiederti ancora una cosa
$F(x)=int_0^(x^2)e^t/sqrt(1-t)dt$
tu mi hai detto che
$lim_(x to 1^(-))F(x) = +oo$
quello che non capisco è come fai a capire che viene $+oo$?
io ho studiato $F(x)$ col confronto asintotico con $x to 1^(-)$ confrontando con $1/(1-x)^alpha$
quindi viene $lim_(x to 1^-) e^(x^2)/sqrt((1-x)(1+x))(1-x)^alpha$
prendo $alpha=1/2$ e il limite viene $e/2$ che è $>0$ e per $alpha<1$ dovrebbe essere convergente e quindi dovrebbe venire un valore numerico che sarebbe un massimo
dove sbaglio???
la stessa cosa mi succede per $x to -1^+$
$F(x)=int_0^(x^2)e^t/sqrt(1-t)dt$
tu mi hai detto che
$lim_(x to 1^(-))F(x) = +oo$
quello che non capisco è come fai a capire che viene $+oo$?
io ho studiato $F(x)$ col confronto asintotico con $x to 1^(-)$ confrontando con $1/(1-x)^alpha$
quindi viene $lim_(x to 1^-) e^(x^2)/sqrt((1-x)(1+x))(1-x)^alpha$
prendo $alpha=1/2$ e il limite viene $e/2$ che è $>0$ e per $alpha<1$ dovrebbe essere convergente e quindi dovrebbe venire un valore numerico che sarebbe un massimo
dove sbaglio???
la stessa cosa mi succede per $x to -1^+$
Non sbagli, piuttosto una svista da parte mia.... 
La funzione integranda nell'intorno sinistro di $ 1 $ è asintotica a $e/(sqrt(2)*(1-x)^(1/2)) $ e quindi essendo $1/2 < 1 $ l'integrale converge ( a un valore circa pari a $4.06$) ; lo stesso ovviamente nell'intorno destro di $-1 $ .
Correggo il testo
La funzione integranda nell'intorno sinistro di $ 1 $ è asintotica a $e/(sqrt(2)*(1-x)^(1/2)) $ e quindi essendo $1/2 < 1 $ l'integrale converge ( a un valore circa pari a $4.06$) ; lo stesso ovviamente nell'intorno destro di $-1 $ .
Correggo il testo
Salve, sono nuovo. Innanzitutto, bellissimo forum!
Vorrei proporvi una funzione integrale da esame di Ingegneria Elettronica del Politecnico di Bari:
$\int_{pi/4}^{pi/x} ln(tant) dt$
Lo studio della funzione integranda f(t) è semplice, ma non riesco a calcolare i limiti della funzione Integrale e quindi il grafico!
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie mille!
Vorrei proporvi una funzione integrale da esame di Ingegneria Elettronica del Politecnico di Bari:
$\int_{pi/4}^{pi/x} ln(tant) dt$
Lo studio della funzione integranda f(t) è semplice, ma non riesco a calcolare i limiti della funzione Integrale e quindi il grafico!
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie mille!
Salve a tutti, anche io sono nuovo, e sto cercando un'informazione:
non riesco bene a capire quale sia il dominio di questa funzione integrale:
$\int_0^x arctg \sqrt(|1+lnt|) " d"t$
per me è $x>0$, ma non ne sono così sicuro...
Grazie mille per l'aiuto!!
non riesco bene a capire quale sia il dominio di questa funzione integrale:
$\int_0^x arctg \sqrt(|1+lnt|) " d"t$
per me è $x>0$, ma non ne sono così sicuro...
Grazie mille per l'aiuto!!
L'integrando è certamente definito in \( ] 0,+\infty [\) però, calcolando il limite \( \lim_{x\to 0^+} \arctan \sqrt{|1+\ln x|}\), ti puoi convincere che esso si può prolungare con continuità su $0$: pertanto la funzione integrale è definita in $[0,+oo[$.
Grazie mille!!!
Il mio dubbio era se la funzione esisteva anche per gli x negativi, ma così hai risolto il mio problema!!
Grazie ancora!!
Il mio dubbio era se la funzione esisteva anche per gli x negativi, ma così hai risolto il mio problema!!
Grazie ancora!!
"FainaGimmi":
Il mio dubbio era se la funzione esisteva anche per gli x negativi [...]
La funzione integrale non può essere definita per $x<0$ perchè l'integrando non è definito per $x<0$.
"FainaGimmi":
Grazie mille!!!
Prego.
vorrei sapere un'altra cosa:
Preso un qualsiasi integrale definito, qual è il modo di calcolarne la convergenza?
Cioè, mi spiego meglio: ho un esercizio che mi chiede:
Provare la convergenza, e calcolare il valore del seguente integrale
+∞
⌠ - 3/2 3/2
⌡ x ·LN(1 + x ) dx
0
per calcolarne il valore, non ci sono ploblemi, ma che vuol dire provare la convegenza? come si fa?
Grazie!!
Preso un qualsiasi integrale definito, qual è il modo di calcolarne la convergenza?
Cioè, mi spiego meglio: ho un esercizio che mi chiede:
Provare la convergenza, e calcolare il valore del seguente integrale
+∞
⌠ - 3/2 3/2
⌡ x ·LN(1 + x ) dx
0
per calcolarne il valore, non ci sono ploblemi, ma che vuol dire provare la convegenza? come si fa?
Grazie!!
Provare la convergenza significa dimostrare che il valore dell'integrale (a prescindere da se saprai poi calcolarlo o meno) è un valore reale e non più o meno infinito.
Si usa generalmente la determinazione dell'ordine di infinito o infinitesimo, nel tuo caso confrontando la tua funzione integranda con la funzione $g(x) = 1/(x^\alpha)$.
Sai come?
Si usa generalmente la determinazione dell'ordine di infinito o infinitesimo, nel tuo caso confrontando la tua funzione integranda con la funzione $g(x) = 1/(x^\alpha)$.
Sai come?
quoto la richiesta di fainagimmi, se potreste spiegare meglio come si dimostra la convergenza di un integrale ve ne sarei grato...
ad esempio come provo la convergenza di questo integrale:
$\int_{0}^{1} arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha) dx$
se faceste tutti i passaggi ve ne sarei grato..
grazie mille e complimenti a camillo per il topic davvero molto interessante
ad esempio come provo la convergenza di questo integrale:
$\int_{0}^{1} arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha) dx$
se faceste tutti i passaggi ve ne sarei grato..
grazie mille e complimenti a camillo per il topic davvero molto interessante
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