Trova il luogo...

[Sk_Anonymous]

Nella circonferenza di diametro AB e centro O è inscritta la corda BC. Tale corda si prolunga di CD=BC e sia P il punto
d'intersezione tra AC e OD [vedi figura].
Determinare il luogo descritto da P quando C si muove sulla circonferenza data.
Si preferisce la soluzione puramente geometrica

[donald_zeka]

Considerando il triangolo $ABD$, $AC$ e $DO$ sono due mediane, il luogo cercato è dunque il luogo del baricentro di tutti quei triangoli.

[donald_zeka]

Per la proprietà del baricentro dunque, tutti i segmenti $AC$ saranno divisi in due parti $AP$ e $PC$ con $AP=2PC$. Probabilmente il luogo cercato è una circonferenza, infatti se consideriamo un altro punto $C_1 $sulla circonferenza e il segmento $C_1C$, considerando ancora il punto $P_1$su $AC_1$ tale che $AP_1=2P_1C_1$ e il segmento $P_1P$, per Talete $P_1P$ e $C_1C$ saranno paralleli, iterando all'infinito questo procedimento costruiamo infiniti segmenti $P_nP_(n-1)$ paralleli a infiniti segmenti $C_nC_(n-1)$, ma la somma degli infiniti segmenti $C_nC_(n-1)$ è la circonferenza $AOB$, la somma degli infiniti segmenti $P_nP_(n-1)$ non può che essere una circonferenza di diametro $d=(2/3)AB$

[donald_zeka]

@ciromario Mi dici se la mia soluzione è corretta?

[stormy1]

sarà corretta
lui risponde solo quando ti può dire che è sbagliata
è capitato anche a me una volta(la risposta era giusta)

[giammaria2]

@ Vulplasir. Hai senz'altro centrato il punto principale della dimostrazione, che è dimostrare che $AP=2/3AC$. A questo punto una persona che ha già studiato quella parte della matematica conclude dicendo "quindi il luogo cercato è la circonferenza corrispondente a quella data in un'omotetia di centro $A$ e rapporto $2/3$". E evidente che chi non ha mai sentito parlare di omotetie non può fare questo ragionamento; ho qualche difficoltà a seguire il tuo, che è comunque notevole al tuo livello di conoscenze.
Ti do un altro ragionamento in sostituzione dell'omotetia.
Preso su $AB$ il punto $E$ tale che $AE=2/3AB$, i triangoli $AEP,ABC$ sono simili perché hanno l'angolo $B hatAC$ in comune ed i lati adiacenti in proporzione. Si ha quindi $AhatPE=AhatCB=90°$ ed il luogo dei punti $P$ è quello dei punti che vedono $AE$ sotto un angolo retto, cioè la circonferenza di diametro $AE$.