Equazioni e Disequazioni irrazionali

[Bad90]

Ho cominciato oggi a studiare le equazioni irrazionali, mi chiedevo:

Nell'equazione

$ sqrt(6x-5)=-x $

irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:

$ x^2-6x+5=0 $

Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:

Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $

Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $

Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $


Grazie mille!

[giannirecanati]

Probabilmente l'errore è questo, la disequazione \(\displaystyle x^2-1 \ge 0 \) non è verificata \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \) ma per \(\displaystyle x\le -1 \) o \(\displaystyle x\ge 1 \).

[Bad90]

"giannirecanati":Probabilmente l'errore è questo, la disequazione \(\displaystyle x^2-1 \ge 0 \) non è verificata \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \) ma per \(\displaystyle x\le -1 \) o \(\displaystyle x\ge 1 \).

Hai ragione, ho rifatto il grafico ed i risultati tornano

$ S=x=-1 ^^ 1<=x<=4 $

Grazie mille!

[chiaraotta1]

"Bad90":

Quindi se non si intersecano tutte e tre le soluzioni contemporaneamente, non si hanno soluzioni?

Eh sì, proprio così!!!!!!!!!!

[Bad90]

"Bad90":

Quindi se non si intersecano tutte e tre le soluzioni contemporaneamente, non si hanno soluzioni?

"chiaraotta":Eh sì, proprio così!!!!!!!!!!

Allora è tutto chiaro
Grazie mille!

[Bad90]

Alla domanda:

Il grafico della funzione $ y=ax^2+bx+c $ è una parabola per ogni valore di $ a $

Posso rispondere che è una cosa più che ovvia, quindi vera!?

[Bad90]

Se ho:

$ -x^2-1<0 $

Diventerà

$ x^2+1>0=>x^2> -1 $

Non e' impossibile, giusto? E' sempre vera perchè $ x^2 $ è sempre $ >0 $ , ma il mio dubbio e' che se ho al primo membro un quadrato, come faccio ad avere al secondo membro un valore negativo?

Grazie mille!

[chiaraotta1]

La traduzione a parole della disequazione $x^2> -1$ è questa: Ci sono dei numeri, ed eventualmente quali sono, il cui quadrato è maggiore di $-1$?
La risposta è che ogni numero ha questa proprietà, perché il quadrato di qualsiasi numero è maggiore o uguale a $0$, e $0$ è maggiore di $-1$ che è negativo.
Quindi tutti i numeri soddisfano quella disuguaglianza.

[chiaraotta1]

"Bad90":
....
Il grafico della funzione $ y=ax^2+bx+c $ è una parabola per ogni valore di $ a $
....

Sì, una parabola con asse pallelo all'asse $y$, purché sia $a!=0$.

[Bad90]

"chiaraotta":La traduzione a parole della disequazione $x^2> -1$ è questa: Ci sono dei numeri, ed eventualmente quali sono, il cui quadrato è maggiore di $-1$?
La risposta è che ogni numero ha questa proprietà, perché il quadrato di qualsiasi numero è maggiore o uguale a $0$, e $0$ è maggiore di $-1$ che è negativo.
Quindi tutti i numeri soddisfano quella disuguaglianza.

Quindi si potrà dire che $ AA x in RR $

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]
....
Il grafico della funzione $ y=ax^2+bx+c $ è una parabola per ogni valore di $ a $
....

Sì, una parabola con asse pallelo all'asse $y$, purché sia $a!=0$.[/quote]
Perfetto, ti ringrazio!

[chiaraotta1]

"Bad90":
.....
Quindi si potrà dire che $ AA x in RR $

Sì, ma al di là dei simboli cerca di renderti conto di cosa vuol dire ...

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]
.....
Quindi si potrà dire che $ AA x in RR $

Sì, ma al di là dei simboli cerca di renderti conto di cosa vuol dire ...[/quote]
Infatti, proprio per questo sto risolvendo questi quesiti di fine capitolo,
Non mi deve sfuggire nulla!

Grazie mille!

[Bad90]

Alla domanda:

La disequazione $ ax^2+bx+c>0 $ è impossibile se $ Delta<0 $

Io rispondo che è falso, perchè se $ a>0 $ con $ Delta<0 $ si ha una disequazione sempre verificata per ogni valore di $ x $ !

[Bad90]

Alla domanda:

La disequazione $ f(x)/g(x)<0 $ equivale al sistema $ { ( f(x)<0 ),( g(x)>0 ):} $

Io rispondo che è vero, si devono avere numeratore e denominatore discordi, con denominatore strettamente $ >0 $
Ho risposto in questo modo perchè ricordavo il concetto così come lo avevo studiato, ma mi chiedo il significato di questo come potrebbe essere spiegato?

Grazie mille!

[chiaraotta1]

"Bad90":
....
La disequazione $ f(x)/g(x)<0 $ equivale al sistema $ { ( f(x)<0 ),( g(x)>0 ):} $
....

No, a
$ { ( f(x)<0 ),( g(x)>0 ):} uu { ( f(x)>0 ),( g(x)<0 ):} $

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]
....
La disequazione $ f(x)/g(x)<0 $ equivale al sistema $ { ( f(x)<0 ),( g(x)>0 ):} $
....

No, a
$ { ( f(x)<0 ),( g(x)>0 ):} uu { ( f(x)>0 ),( g(x)<0 ):} $[/quote]
Sto cercando invano sul mio testo dove viene esposto il concetto, ma non sto trovando nulla
Non dice niente più di quello che ho detto io nel messaggio precedente!

Mi proponi un esercizio semplice così lo risolvo subito?
Ti ringrazio!

[Bad90]

Non sto riuscendo a risolvere la seguente disequazione:

$ x((2x)/sqrt(2)-1)-3/sqrt(3)+sqrt(6)x<0 $

Ho cercato piu' volte a risolverla, ma niente da fare, mi sto impallando con quei radicali.

Help.

[chiaraotta1]

"Bad90":
....
$ x(2x/sqrt(2)-1)-3/sqrt(3)+sqrt(6)x<0 $
....

$x(2x/sqrt(2)-1)-3/sqrt(3)+sqrt(6)x<0 -> x(sqrt(2)x-1)-sqrt(3)+sqrt(6)x<0 ->$
$sqrt(2)x^2-x-sqrt(3)+sqrt(6)x<0->sqrt(2)x^2+(sqrt(6)-1)-sqrt(3)<0$

Studiando l'equazione associata si trova che
$Delta = (sqrt(6)-1)^2-4*sqrt(2)*(-sqrt(3))=6-2sqrt(6)+1+4sqrt(6)=6+2sqrt(6)+1=$
$(sqrt(6)+1)^2$
$x_(1, 2)=(-(sqrt(6)-1)+-(sqrt(6)+1))/(2*sqrt(2))$
$x_1=(-sqrt(6)+1-sqrt(6)-1)/(2*sqrt(2))=(-2sqrt(6))/(2*sqrt(2))=-sqrt(3)$
$x_2=(-sqrt(6)+1+sqrt(6)+1)/(2*sqrt(2))=2/(2*sqrt(2))=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2$.

Per cui
$-sqrt(3)

Cita

Segnala

[Bad90]

Mi stavo impallando quì:

$ ((2x)/sqrt(2)-1) $

non stavo ricordando che potevo fare questo:

$ ((2x)/sqrt(2)-1)=>((2x-sqrt(2))/sqrt(2))=>((2x-sqrt(2))/sqrt(2))*(sqrt(2))/sqrt(2) $

$ ((2sqrt(2)x-2)/2) $

$ 2((sqrt(2)x-1)/2)=>(sqrt(2)x-1) $

Ti ringrazio!

[Bad90]

Ma come hai fatto ad ottenere questo?

$ (sqrt(6)-1) $

la $ x $ dove è andata a finire?

Fin quì sono riuscito a seguirti:

$ x(sqrt(2)x-1)-sqrt(3)+sqrt(6)x<0 -> sqrt(2)x^2-x-sqrt(3)+sqrt(6)x<0 $

ma quì mi sono perso:

$ sqrt(2)x^2+(sqrt(6)-1)-sqrt(3)<0 $

Grazie mille!