Equazioni e Disequazioni irrazionali

[Bad90]

Ho cominciato oggi a studiare le equazioni irrazionali, mi chiedevo:

Nell'equazione

$ sqrt(6x-5)=-x $

irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:

$ x^2-6x+5=0 $

Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:

Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $

Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $

Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $


Grazie mille!

[giannirecanati]

Bè hai che la somma delle radici \(\displaystyle x_1+x_2=3+\sqrt 3 \), e che il prodotto \(\displaystyle x_1\cdot x_2=3\sqrt 3 \), quindi viene facile trovarle.

[Bad90]

Ok, alla fine ho ricordato, ti ringrazio!

Ho fatto così:

$ ((3-x)(x-sqrt(3)))/((2x^2-3x+1))>0 $

Prendo il numeratore

$ (3-x)(x-sqrt(3))>0 $

$ (3-x)>0^^(x-sqrt(3))>0 $

$ -x> -3^^x>sqrt(3) $

$ x<3^^x>sqrt(3) $

Solo che ho un cambio di segno in $ x<3 $ , non penso che cambia niente? Vero?

Adesso sto trovando un po' di problemi nel risultato. Continuo a fare delle prove.........
Grazie mille.

Ho trovato che per la prima disequazione $ S=1/23/2;x<-3 $

Per la seconda disequazione ho che $ S=x>3;1
Adesso sto impallando il risultato finale.
Help!

[giammaria2]

Al risultato della seconda disequazione devi aggiungere $x!=0$ perché all'inizio hai semplificato per $x$, supposto diverso da zero; in questo caso non cambia nulla perché cade in una zona che non ci interesserà ma in altri casi può non essere così. Per continuare, ricorda che è un sistema e quindi vuoi che siano entrambe verificate; questo succede solo per
$3/23$.

Un consiglio: quando scrivi una soluzione parziale, metti sempre i risultati in ordine dal più piccolo al più grande: non è obbligatorio ma è più ordinato e rende più facile proseguire, Ad esempio, il risultato della prima disequazione sarebbe stato scritto così: $S=x< -3; 1/23/2$.

[Bad90]

"giammaria":Al risultato della seconda disequazione devi aggiungere $x!=0$ perché all'inizio hai semplificato per $x$, supposto diverso da zero; in questo caso non cambia nulla perché cade in una zona che non ci interesserà ma in altri casi può non essere così. Per continuare, ricorda che è un sistema e quindi vuoi che siano entrambe verificate; questo succede solo per
$3/23$.

Ma il testo mi dice che $1/2
Sinceramente, ciò che mi sta facendo confondere le idee è quel $x<3$, perchè anche se faccio la linea continua verso destra, sarà verificato verso sinistra, giusto?
Quando faccio la verifica dei segni di tutta la seconda disequazione, vado in palla
Nell'intersezione finale, poi creo confusione!

[Bad90]

Sto cercando di risolvere la seguente equazione, ma non ci sto riuscendo :

$ 3sqrt(7x+2)-2sqrt(3x-5)=5sqrt(x+2) $

Scrivo i passaggi più importanti:

$ (3sqrt(7x+2)-2sqrt(3x-5))^2=(5sqrt(x+2))^2 $

$ 9(7x+2)-12sqrt((7x+2)(3x-5))+4(3x-5)=25(x+2) $

Va bene fin quì?

$ (50x-52)^2=(12sqrt(21x^2-29x-10))^2 $

Se continuo da quì non avrò il risultato giusto, dove avrò sbagliato?

Grazie mille!

[Bad90]

Ho risolto la seguente equazione e sembra che il risultato torna, ma è meglio chiedere conferma a voi....

$ sqrt(x+1)+1-(2x)/(sqrt(x+1))=0 $

Ho imposto subito le condizioni $ C.E.=sqrt(x+1) != 0=>x != -1 $

Poi ho continuato in questo modo:

$ (x+1+sqrt(x+1)-2x)/(sqrt(x+1))=0 $

$ (x+1+sqrt(x+1)-2x)=0 $

$ (sqrt(x+1))^2=(x-1)^2 $

$ x+1=x^2-2x+1$

$ -x^2+3x=0$

$ x^2-3x=0$

$ x(x-3)=0$

$ x=0^^x=3$

Ma perchè il testo mi dice solo $ x=3$


Grazie mille!

[Bad90]

Ho risolto la seguente equazione:

$ (1)/(sqrt(x-1))-sqrt(x)=sqrt(x-1) $

$ C.E.=x != 1 $

Ho fatto il minimo comune multiplo e non so se i calcoli sono corretti..

$ (1-x^2+x-x^2+2x-1)/(sqrt(x-1))=0 $

$ 1-x^2+x-x^2+2x-1=0 $

$ -2x^2+3x=0 $

$ 2x^2-3x=0 $

$ x(2x-3)=0 $

$ x=0^^x=3/2 $

Ma il risultato corretto è $ x=4/3 $

[giammaria2]

- Per la disequazione: ho preso per buoni i tuoi risultati parziali, ma bisognerebbe controllarli; il problema sembra nascere dalla seconda disequazione.

- Per l'esercizio delle ore 15,13: i calcoli sono giusti ma, trattandosi di un'equazione irrazionale, devi fare o la verifica finale o il controllo che i due membri (prima dell'elevazione) abbiano lo stesso segno.

- Per l'esercizio delle 15,28: stessa osservazione, che rende non accettabile $x=0$.

- Per quello delle 15,44 c'è la stessa osservazione, più un errore: dando denominatore comune ottieni
$(1-sqrt(x(x-1))-(x-1))/(sqrt(x-1))=0$

[Bad90]

"giammaria":- Per la disequazione: ho preso per buoni i tuoi risultati parziali, ma bisognerebbe controllarli; il problema sembra nascere dalla seconda disequazione.

A quale ti riferisci?
A questa?

$ ((3-x)(x-sqrt(3)))/((2x^2-3x+1))>0 $

La prossima volta cerco di numerare gli esercizi!

Allora rifaccio tutti i passaggi:

$ { ( (6x^2-7x+2)/(2x^2+3x-9)>0 ),((x(3-x)(x-sqrt(3)))/(x(2x^2-3x+1))>0 ):} $

$ { ( (6x^2-7x+2)/(2x^2+3x-9)>0 ),(((3-x)(x-sqrt(3)))/(2x^2-3x+1)>0 ):} $

Dalla prima ottengo:

$ (6x^2-7x+2)/(2x^2+3x-9)>0 $

$ N>=0=>x<1/2^^x>2/3 $ e $ D>0=>x<3^^x>3/2 $

$ S= x<-3,1/23/2$

Dalla seconda ottengo:

$ ((3-x)(x-sqrt(3)))/(2x^2-3x+1)>0 $

Nel numeratore $ ((3-x)(x-sqrt(3))>0 $ faccio questo:

$ 3-x>0=>-x> -3=>x<3^^x-sqrt(3)>0=>x>sqrt(3)>0$

Verificando ottengo che: $ N>=0=>x>3^^x
Per il denominatore verificando avrò: $ D>0=>x<1/2^^x>1 $

$ S=x<1/2,13 $

Adesso faccio l'intersezione della prima e la seconda:

Ho zone comuni per $ 3/23 $

Il risultato del testo è:

$ 1/2
E da due giorni che ci lavoro su questa, ma nulla da fare

[Bad90]

"giammaria":
- Per l'esercizio delle ore 15,13: i calcoli sono giusti ma, trattandosi di un'equazione irrazionale, devi fare o la verifica finale o il controllo che i due membri (prima dell'elevazione) abbiano lo stesso segno.

Quale è quello delle 15,13?
Ti riferisci a quella delle 16,13 Cioè questa?

$ 3sqrt(7x+2)-2sqrt(3x-5)=5sqrt(x+2) $

Scrivo i passaggi più importanti:

$ (3sqrt(7x+2)-2sqrt(3x-5))^2=(5sqrt(x+2))^2 $

Se continuo, avrò:

$ 2500x^2-5200x+2704=3024x^2-4176x-1440 $

$ -524x^2-1024x+4144=0 $

Semplifico dividendo per $ 4 $

$ 131x^2+256x-1036=0 $

$ Delta/4=16384+135716=152100 =>390^2$

$ x_1=262/131=2 $

$ x_2=-518/131=-3,954 $

Il testo mi da che $ S=2 $ e allora essendo una equazione irrazionale, cosa vuol dire? Significa che l'unica soluzione può essere un numero intero, cioè $ 2 $
Quindi significa che non potrebbe mai essere giusto un numero con la virgola? Cioè questo? $ x_2=-518/131=-3,954 $

Grazie mille!

[Bad90]

"giammaria":
- Per l'esercizio delle 15,28: stessa osservazione, che rende non accettabile $x=0$.

Perchè non è accettabile $x=0$

Grazie mille!

[Bad90]

"giammaria":
- Per quello delle 15,44 c'è la stessa osservazione, più un errore: dando denominatore comune ottieni
$(1-sqrt(x(x-1))-(x-1))/(sqrt(x-1))=0$

Adesso rivedo il tutto!


Ti ringrazio anticipatamente, sono riuscito a risolverla
Ecco quì....

$ (1-sqrt(x(x-1))-(x-1))/(sqrt(x-1))=0 $

$ 2-x=sqrt(x(x-1)) $

$ (2-x)^2=(sqrt(x(x-1)))^2 $

$ 4-3x=0 $

$ -x=-4/3 $

$ x=4/3 $

Ti ringrazioooooooo

[giammaria2]

"Bad90": Nel numeratore $ ((3-x)(x-sqrt(3))>0 $ faccio questo:

$ 3-x>0=>-x> -3=>x<3^^x-sqrt(3)>0=>x>sqrt(3)>0$

Verificando ottengo che: $ N>0=>x>3^^x
Suppongo che con l'ultima riga tu intendessi dire $ N>=0=>x3$ (quello che hai scritto significa che vuoi i numeri che sono contemporaneamente maggiori di $3$ e minori di $sqrt3$: non ce ne sono). Anche con questa correzione, l'errore è qui: $N>0$ ha come soluzione $sqrt3 Il modo più rapido per risolvere la $N>0$ è questo: se fosse un'equazione con la legge di annullamento del prodotto vedo subito che le soluzioni sarebbero $x_1=sqrt3, x_2=3$. Il coefficiente di $x^2$ ha il segno meno e voglio $N>0$, quindi vanno bene i valori interni. Un altro metodo, un po' più lungo, è fare il grafico dei segni e ricordare che vuoi il +.

[Bad90]

"giammaria":La soluzione che indichi era giusta nella precedente versione, in cui avevi cambiato il segno del numeratore e il verso della disequazione

Ma ti riferisci a questa?

$ ((3-x)(x-sqrt(3)))/(2x^2-3x+1)>0 $

Devo fare così?

$- ((3-x)(x-sqrt(3)))/(2x^2-3x+1)<0 $

Ho rivisto il tutto e ti devo ringraziare , effettivamente, come ho fatto precedentemente cambiando il segno alla seconda disequazione, ho zone in cui sono verificate le due disequazioni, che sono comuni, avrò quindi che $ 1/2
Grazie mille!

[giammaria2]

"Bad90": Quale è quello delle 15,13?
Ti riferisci a quella delle 16,13 Cioè questa?

$ 3sqrt(7x+2)-2 sqrt(3x-5) =5sqrt(x+2) $

(OMISSIS)
Il testo mi da che $ S=2 $ e allora essendo una equazione irrazionale, cosa vuol dire? Significa che l'unica soluzione può essere un numero intero, cioè $ 2 $
Quindi significa che non potrebbe mai essere giusto un numero con la virgola? Cioè questo? $ x_2=-518/131=-3,954 $

L'ora che leggo sul mio computer è 15,13; se non ricordo male, l'ora ufficiale di questo sito è sfasata di un'ora rispetto a quella reale. La prossima volta metti il numero dell'esercizio; ci capiremo meglio.
Quanto al resto, la soluzione può tranquillamente avere la virgola ma deve sopportare la verifica. Nell'equazione c'era $sqrt(3x-5)$ ed ha senso solo se $3x-5>=0=>x>=5/3$: la tua $x_2$ gli è minore.

REGOLA IMPORTANTE: nelle equazioni irrazionali bisogna SEMPRE fare la verifica oppure scrivere le disequazioni necessarie. Anche negli altri esercizi spesso hai trovato soluzioni che il libro non riporta perché la loro verifica non va bene.

[Bad90]

"giammaria":La prossima volta metti il numero dell'esercizio; ci capiremo meglio.

Infatti, la prossima volta non mancherò ad essere più preciso

"giammaria":Quanto al resto, la soluzione può tranquillamente avere la virgola ma deve sopportare la verifica. Nell'equazione c'era $sqrt(3x-5)$ ed ha senso solo se $3x-5>=0=>x>=5/3$: la tua $x_2$ gli è minore.

Ok, ti ringrazio per la spiegazione Ovviamente la verifica deve essere fatta anche per le altre radici, giusto? Deve supportare tutte le radici in cui compare l'incognita?! $ 7x+2>=0 ^^x+2>=0 $

"giammaria":REGOLA IMPORTANTE: nelle equazioni irrazionali bisogna SEMPRE fare la verifica oppure scrivere le disequazioni necessarie. Anche negli altri esercizi spesso hai trovato soluzioni che il libro non riporta perché la loro verifica non va bene.

Non sapevo questo , non so come ringraziarti

[giammaria2]

Sì, tutti i radicandi devono essere non-negativi ed inoltre i membri che elevi a quadrato devono avere lo stesso segno (metodo con le disequazioni). Se le soluzioni dell'equazione sono facili, la cosa più comoda è sostituirle nell'equazione iniziale e fare i calcoli (metodo della verifica).

[Bad90]

Ti ringrazio.