Equazioni e Disequazioni irrazionali
Ho cominciato oggi a studiare le equazioni irrazionali, mi chiedevo:
Nell'equazione
$ sqrt(6x-5)=-x $
irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:
$ x^2-6x+5=0 $
Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:
Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $
Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $
Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
Grazie mille!
Nell'equazione
$ sqrt(6x-5)=-x $
irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:
$ x^2-6x+5=0 $
Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:
Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $
Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $
Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
Grazie mille!
Risposte
"Bad90":
....
$ 3x-sqrt(9-x)=13 $
....
$ S=5 $
$3x-sqrt(9-x)=13 ->{(9-x>=0),(3x-sqrt(9-x)=13):}->{(x<=9),(3x-13=sqrt(9-x)):}->{(x<=9),(3x-13>=0),((3x-13)^2=(sqrt(9-x))^2):}->$
${(x<=9),(x>=13/3),(9x^2-78x+169=9-x):}->{(13/3<=x<=9),(9x^2-77x+160=0):}->{(13/3<=x<=9),(x = 32/9 vv x = 5):}->x=5$.
Hai utilizzato il metodo risolutivo delle disequazioni ed hai ottenuto lo stesso risultato! 
Adesso voglio fare anche io in questo modo, ma ti ringrazio per avermi fatto vedere questo metodo, fin dove sono arrivato a studiare, il mio testo utilizza i metodi che ho postato io!
Sarà per rendere le cose inizialmente più facili.... Ti ringrazio! 
Adesso voglio fare anche io in questo modo, ma ti ringrazio per avermi fatto vedere questo metodo, fin dove sono arrivato a studiare, il mio testo utilizza i metodi che ho postato io!
Sarà per rendere le cose inizialmente più facili.... Ti ringrazio!
Ogni tanto mi viene la paura di perdere alcuni concetti....
Mentre risolvevo questa:
$ root(3)(5x-x^2)=2 $
Sono arrivato a questa:
$ x^2-5x+8=0 $
Adesso mi chiedo:
Essendo una equazione che porterà ad un valore sempre positivo, penso si possa dire strettamente positivo, quindi $ >0 $ ,
ma ho il $ Delta<0 $ .
Ma nelle equazioni, tipo questa che darà un risultato sempre $ >0 $ e delta $ <0 $ , si dice impossibile, perchè?
Se fosse una disequazione, sarebbe lo stesso impossibile?
Penso che se fosse esposta in questo modo $ x^2-5x+8>=0 $ basta dire che è vera, mentre $ x^2-5x+8<0 $ ovviamente falsa!
Ma cosa è in una equazione che mi fa dire che è impossibile? Il solo fatto che il $ Delta<0 $
Io saprei rispondere solo così, il $ Delta<0 $ non da possibilità in $ R $ !
Perfetto, ma il risultato è sempre positivo $ AA x in R $
ed in $ R $ si trattano sempre numeri positivi, quindi se l'equazione mi porterà a numeri sempre positivi, perchè si dice impossibile?
Grazie mille!
Mentre risolvevo questa:
$ root(3)(5x-x^2)=2 $
Sono arrivato a questa:
$ x^2-5x+8=0 $
Adesso mi chiedo:
Essendo una equazione che porterà ad un valore sempre positivo, penso si possa dire strettamente positivo, quindi $ >0 $ ,
ma ho il $ Delta<0 $ . Ma nelle equazioni, tipo questa che darà un risultato sempre $ >0 $ e delta $ <0 $ , si dice impossibile, perchè?
Se fosse una disequazione, sarebbe lo stesso impossibile?
Penso che se fosse esposta in questo modo $ x^2-5x+8>=0 $ basta dire che è vera, mentre $ x^2-5x+8<0 $ ovviamente falsa!
Ma cosa è in una equazione che mi fa dire che è impossibile? Il solo fatto che il $ Delta<0 $
Io saprei rispondere solo così, il $ Delta<0 $ non da possibilità in $ R $ !
Perfetto, ma il risultato è sempre positivo $ AA x in R $
ed in $ R $ si trattano sempre numeri positivi, quindi se l'equazione mi porterà a numeri sempre positivi, perchè si dice impossibile?Grazie mille!
Per la seguente:
$ root(3)(27x^3+2)-3x=0 $
Sono arrivato a dire che è impossibile mediante le solite procedure risolutive:
$ root(3)(27x^3+2)=3x $
$ (root(3)(27x^3+2))^3=(3x)^3 $
$ 27x^3+2=27x^3 $
$ 2=0 $
Ovviamente impossibile!
Ma dite che a colpo d'occhio, si sarebbe potuto rispondere senza fare calcoli?
Intendo una persona del mio livello, avrebbe potuto rispondere a colpo d'occhio?
Perchè so benissimo che voi avete un occhio allenatissimo che vorrei avere anche io e per questo ci sto lavorando,
$ root(3)(27x^3+2)-3x=0 $
Sono arrivato a dire che è impossibile mediante le solite procedure risolutive:
$ root(3)(27x^3+2)=3x $
$ (root(3)(27x^3+2))^3=(3x)^3 $
$ 27x^3+2=27x^3 $
$ 2=0 $
Ovviamente impossibile!
Ma dite che a colpo d'occhio, si sarebbe potuto rispondere senza fare calcoli?
Intendo una persona del mio livello, avrebbe potuto rispondere a colpo d'occhio?
Perchè so benissimo che voi avete un occhio allenatissimo che vorrei avere anche io e per questo ci sto lavorando,
Per la $ root(3)(5x-x^2)=2 $: è impossibile perché $Delta<0$ e nelle equazioni di secondo grado non ci possono essere altre cause di impossibilità (a meno che sia $a=0$, ma allora non è di secondo grado). La disequazione di cui parli è effettivamente sempre vera.
Parli poi di risultati (o valori, o soluzioni) sempre positivi ma non c'è nessun motivo per questo. E' evidente che hai in mente qualcosa di sbagliato ma per correggerlo mi è necessario capire cosa stai pensando; riesci a spiegarmelo?
Infine c'è questa affermazione: "in $ R $ si trattano sempre numeri positivi". Falso: i numeri reali possono essere sia positivi che negativi.
Per l'ultima equazione: i calcoli sono necessari. Anche una persona esperta li farebbe, magari a mente; in alternativa, estrarrebbe a mente la radice, notando che è maggiore del secondo membro.
Parli poi di risultati (o valori, o soluzioni) sempre positivi ma non c'è nessun motivo per questo. E' evidente che hai in mente qualcosa di sbagliato ma per correggerlo mi è necessario capire cosa stai pensando; riesci a spiegarmelo?
Infine c'è questa affermazione: "in $ R $ si trattano sempre numeri positivi". Falso: i numeri reali possono essere sia positivi che negativi.
Per l'ultima equazione: i calcoli sono necessari. Anche una persona esperta li farebbe, magari a mente; in alternativa, estrarrebbe a mente la radice, notando che è maggiore del secondo membro.
"giammaria":
Per la $ root(3)(5x-x^2)=2 $: è impossibile perché $Delta<0$ e nelle equazioni di secondo grado non ci possono essere altre cause di impossibilità (a meno che sia $a=0$, ma allora non è di secondo grado). La disequazione di cui parli è effettivamente sempre vera.
Questo punto è chiarissimo, adesso sono più sicuro del concetto!
"giammaria":
Infine c'è questa affermazione: "in $ R $ si trattano sempre numeri positivi". Falso: i numeri reali possono essere sia positivi che negativi.
Per questo punto ho creato confusione perchè ho pensato erroneamente ma comunque ho pensato che se $ sqrt(-4) $ è impossibile in $ R $ mentre in $ R $ è possibile solo $ sqrt(4)=2 $ allora mi è venuto un piccolo Tsunami in testa
"giammaria":
Per l'ultima equazione: i calcoli sono necessari. Anche una persona esperta li farebbe, magari a mente; in alternativa, estrarrebbe a mente la radice, notando che è maggiore del secondo membro.
Per questo punto voglio dire che sto cercando di aumentare la mia capacità di calcolo a mente, se fossi come un PC, mi tornerebbe più facile, smonto questo e monto quello ed arrivo a calcolare di più, ma con la testa non funziona così
Sto facendo degli esercizi di verifica, del tipo:
Individua l'errore che è stato commesso nel risolvere la seguente equazione e correggilo.
L'equazione del testo è risolta in questo modo:
$ sqrt(6x^2-2x)=-2 $
$ 6x^2-2x=4 $
$ 6x^2-2x-4=0 $
$ S=>x=-2/3;x=1 $
Bene io ho fatto la verifica anche delle $ x=-2/3;x=1 $ ma a me sembra tutto corretto, mi chiedevo se è tutto corretto
Penso che lo scopo dell'esercizio è farmi venire il dubbio
Individua l'errore che è stato commesso nel risolvere la seguente equazione e correggilo.
L'equazione del testo è risolta in questo modo:
$ sqrt(6x^2-2x)=-2 $
$ 6x^2-2x=4 $
$ 6x^2-2x-4=0 $
$ S=>x=-2/3;x=1 $
Bene io ho fatto la verifica anche delle $ x=-2/3;x=1 $ ma a me sembra tutto corretto, mi chiedevo se è tutto corretto
Penso che lo scopo dell'esercizio è farmi venire il dubbio
"Bad90":
Sto facendo degli esercizi di verifica, del tipo:
Individua l'errore che è stato commesso nel risolvere la seguente equazione e correggilo.
L'equazione del testo è risolta in questo modo:
$ sqrt(6x^2-2x)=-2 $
......
Sull'equazione $ sqrt(6x^2-2x)=-2 $ si devono imporre due condizioni:
1) Il radicando $>=0$, perché altrimenti la radice quadrata non è definita;
2) Primo e secondo membro con lo stesso segno: se non fosse così non potrebbero essere uguali e l'elevamento al quadrato non produrrebbe un'equazione equivalente a quella data e perciò sarebbe sbagliato.
E' questa seconda condizione che non può essere posta, perché il primo membro, dove è definito, è $>=0$, mentre il secondo è $<0$.
Mi sono trovato con questa equazione:
$ sqrt(x^2-5x)=sqrt(-4x^2+10x) $
Io ho pensato che è impossibile, ma perchè il testo mi dice che è $ S=0 $
Grazie mille!
$ sqrt(x^2-5x)=sqrt(-4x^2+10x) $
Io ho pensato che è impossibile, ma perchè il testo mi dice che è $ S=0 $
Grazie mille!
"chiaraotta":
Sull'equazione $ sqrt(6x^2-2x)=-2 $ si devono imporre due condizioni:
1) Il radicando $>=0$, perché altrimenti la radice quadrata non è definita;
2) Primo e secondo membro con lo stesso segno: se non fosse così non potrebbero essere uguali e l'elevamento al quadrato non produrrebbe un'equazione equivalente a quella data e perciò sarebbe sbagliato.
E' questa seconda condizione che non può essere posta, perché il primo membro, dove è definito, è $>=0$, mentre il secondo è $<0$.
Ecco perchè, bisogna pensare prima di procedere a risolverla
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ponendo le $ C.E. $ la risolvi a colpo d'occhio!
Grazie mille!
Ho risolto la seguente:
$ sqrt(2+x) -sqrt(1-x) =sqrt(3) $
Sono arrivato alla soluzione, mediante le condizioni di esistenza, spero sia la via corretta....
Arrivati a questo punto:
$ sqrt(2+x) -sqrt(1-x) =0 $
Ho impostato in questo modo:
$ (sqrt(2+x)) (sqrt(1-x))=0 $
$ 2+x>=0=>x=2 $
$ 1-x>=0=>-x=-1=>x=1 $
Dite che ho fatto bene?
Grazie mille.
$ sqrt(2+x) -sqrt(1-x) =sqrt(3) $
Sono arrivato alla soluzione, mediante le condizioni di esistenza, spero sia la via corretta....
Arrivati a questo punto:
$ sqrt(2+x) -sqrt(1-x) =0 $
Ho impostato in questo modo:
$ (sqrt(2+x)) (sqrt(1-x))=0 $
$ 2+x>=0=>x=2 $
$ 1-x>=0=>-x=-1=>x=1 $
Dite che ho fatto bene?
Grazie mille.
Mi spiace ma non è corretto le condizioni sono queste e sono imposte dal fatto che le quantità sotto le radici ad indici pari devono assolutamente essere nonnegative (le condizioni per il secondo membro non occorrono visto che \(\displaystyle \sqrt 3>0 \)), quindi:
\(\displaystyle \begin{cases} 2+x\ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases}
\)
risolvi il sistema ed hai trovato le C.E..
\(\displaystyle \begin{cases} 2+x\ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases}
\)
risolvi il sistema ed hai trovato le C.E..
"giannirecanati":
Mi spiace ma non è corretto le condizioni sono queste e sono imposte dal fatto che le quantità sotto le radici ad indici pari devono assolutamente essere nonnegative (le condizioni per il secondo membro non occorrono visto che \(\displaystyle \sqrt 3>0 \)), quindi:
\(\displaystyle \begin{cases} 2+x\ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases}
\)
risolvi il sistema ed hai trovato le C.E..
Ok, allora sara':
$ 2+x>=0=>x>=-2 $
e per la seconda
$ 1-x>=0=>-x>=-1=>x<=1 $
Va bene cosi'?
Ti ringrazio.
Esatto! Adesso devi intersecare le soluzioni ottenute, ottenendo così le condizioni di esistenza.
Ora puoi risolvere l'equazione, trovi delle soluzioni e vedi se rispettano le C.E. ed hai finito.
Ora puoi risolvere l'equazione, trovi delle soluzioni e vedi se rispettano le C.E. ed hai finito.
Intendi fare il grafico dei segni?
Scusami ma non sto riuscendo a seguirti, sono equazioni irrazionali in cui il mio testo non mi fa vedere questi step.
Poi sto trovando difficolta a risolvere questo:
$ 2*(sqrt(3) )*(sqrt(1-x)) $
Ti ringrazio.
Scusami ma non sto riuscendo a seguirti, sono equazioni irrazionali in cui il mio testo non mi fa vedere questi step.
Poi sto trovando difficolta a risolvere questo:
$ 2*(sqrt(3) )*(sqrt(1-x)) $
Ti ringrazio.
Sai risolvere un sistema di disequazioni?
La soluzione del sistema è l'intersezione delle due disequazioni ottenute. Vale a dire che:
\(\displaystyle \begin{cases} {x}\ge-{2} \\ {x}\le{1} \end{cases} \) ha come soluzione \(\displaystyle -2 \le x \le 1 \).
Ora risolvi l'equazione irrazionale e vedi se i valori della \(\displaystyle x \) ottenuti sono contenuti nell'intervallo \(\displaystyle [-2,1] \).
La soluzione del sistema è l'intersezione delle due disequazioni ottenute. Vale a dire che:
\(\displaystyle \begin{cases} {x}\ge-{2} \\ {x}\le{1} \end{cases} \) ha come soluzione \(\displaystyle -2 \le x \le 1 \).
Ora risolvi l'equazione irrazionale e vedi se i valori della \(\displaystyle x \) ottenuti sono contenuti nell'intervallo \(\displaystyle [-2,1] \).
Adesso ho capito!
Ma come devo fare qui'?
$ 2*(sqrt(3)) *(sqrt(1-x)) $
Grazie mille.
Ma come devo fare qui'?
$ 2*(sqrt(3)) *(sqrt(1-x)) $
Grazie mille.
Come sei giunto ad:
Immagino che tu abbia fatto questo: \(\displaystyle \sqrt{{{2}+{x}}}=\sqrt{3}+\sqrt{{{1}-{x}}}\) da cui
\(\displaystyle 2+x=3+1-x+2\sqrt{3}\sqrt{{{1}-{x}}} \) adesso per la proprietà dei radicali si ha che: \(\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \) quindi \(\displaystyle 2+x=3+1-x+2\sqrt{3(1-x)} \).
Ti isoli il radicale e poi elevi di nuovo al quadrato e risolvi l'equazione che sarà di secondo grado.
"Bad90":
$ 2*(sqrt(3)) *(sqrt(1-x)) $
Immagino che tu abbia fatto questo: \(\displaystyle \sqrt{{{2}+{x}}}=\sqrt{3}+\sqrt{{{1}-{x}}}\) da cui
\(\displaystyle 2+x=3+1-x+2\sqrt{3}\sqrt{{{1}-{x}}} \) adesso per la proprietà dei radicali si ha che: \(\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \) quindi \(\displaystyle 2+x=3+1-x+2\sqrt{3(1-x)} \).
Ti isoli il radicale e poi elevi di nuovo al quadrato e risolvi l'equazione che sarà di secondo grado.
"giannirecanati":
Come sei giunto ad:
[quote="Bad90"] $ 2*(sqrt(3)) *(sqrt(1-x)) $
Immagino che tu abbia fatto questo: \(\displaystyle \sqrt{{{2}+{x}}}=\sqrt{3}+\sqrt{{{1}-{x}}}\) da cui
\(\displaystyle 2+x=3+1-x+2\sqrt{3}\sqrt{{{1}-{x}}} \) adesso per la proprietà dei radicali si ha che: \(\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \) quindi \(\displaystyle 2+x=3+1-x+2\sqrt{3(1-x)} \).
Ti isoli il radicale e poi elevi di nuovo al quadrato e risolvi l'equazione che sarà di secondo grado.[/quote]
Ecco, era quello il problema
, ti ringrazio! La proprietà dei radicali, la ricordavo perfettamente, solo che negli esercizi fatti qualche mese fà, mi è sempre capitato un radicando simile e quindi io utilizzavo lo stesso calcolo fatto da te, es:
$ sqrt(3) *sqrt(3) =>sqrt(3*3) $
Ma avendo visto questo:
$ 2*(sqrt(3)) *(sqrt(1-x)) $
Con radicandi che non sono gli stessi, allora pensavo non si potesse fare!
Ma a quanto ho capito si può fare tranquillamente!
Grazie mille!
"giannirecanati":
Sai risolvere un sistema di disequazioni?
La soluzione del sistema è l'intersezione delle due disequazioni ottenute. Vale a dire che:
\(\displaystyle \begin{cases} {x}\ge-{2} \\ {x}\le{1} \end{cases} \) ha come soluzione \(\displaystyle -2 \le x \le 1 \).
Ora risolvi l'equazione irrazionale e vedi se i valori della \(\displaystyle x \) ottenuti sono contenuti nell'intervallo \(\displaystyle [-2,1] \).
Perfetto! Grazie mille!
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