Equazioni e Disequazioni irrazionali
Ho cominciato oggi a studiare le equazioni irrazionali, mi chiedevo:
Nell'equazione
$ sqrt(6x-5)=-x $
irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:
$ x^2-6x+5=0 $
Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:
Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $
Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $
Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
Grazie mille!
Nell'equazione
$ sqrt(6x-5)=-x $
irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:
$ x^2-6x+5=0 $
Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:
Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $
Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $
Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
Grazie mille!
Risposte
"giannirecanati":
Ciao Bad, quello che dici:[quote="Bad90"]Non è lecito elevare al quadrato primo e secondo membro, perchè un quadrato, non potrà mai essere maggiore di un numero negativo!
il motivo per cui non è lecito è che il quadrato e le potenze pari "ammazzano" il segno. Se ci pensi \(\displaystyle 3>-9 \), però se elevi al quadrato entrambi i membri otterresti \(\displaystyle 9>81 \) che è sbagliato. Quindi si può elevare al quadrato con sicurezza solo quando entrambe le quantità sono nonnegative.[/quote]
Scusami, ho sbagliato a dare una conclusione!
Ti ringrazio per avermi corretto e messo in chiaro il concetto!
Grazie mille!
Mi è capitato un altro caso simile, ma questa volta sono riuscito a darmi una risposta immediata....
$ sqrt(3-2x)+3>0 $
Diventerà
$ sqrt(3-2x)> -3 $
Non potendo elevare al quadrato il secondo membro perchè avente segno negativo, la soluzione sarà:
$ 3-2x>=0 =>-2x>=-3=>-x>=-3/2=>x<=3/2$
$ sqrt(3-2x)+3>0 $
Diventerà
$ sqrt(3-2x)> -3 $
Non potendo elevare al quadrato il secondo membro perchè avente segno negativo, la soluzione sarà:
$ 3-2x>=0 =>-2x>=-3=>-x>=-3/2=>x<=3/2$
"Bad90":
...
$ sqrt(3-2x)+3>0 $
....
Puoi anche ragionare così....
A primo membro c'è la somma di una radice quadrata con un numero positivo.
Ma la radice quadrata assume soltanto valori positivi o nulli, purché sia definita.
Quindi a primo membro c'è un numero che, purché la radice sia definita, è certamente positivo.
Allora le soluzioni sono quei numeri che rendono definita la radice, cioè quelli per cui il radicando è $>=0$:
$3-2x>=0->x<=3/2$.
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]
...
$ sqrt(3-2x)+3>0 $
....
Puoi anche ragionare così....
A primo membro c'è la somma di una radice quadrata con un numero positivo.
Ma la radice quadrata assume soltanto valori positivi o nulli, purché sia definita.
Quindi a primo membro c'è un numero che, purché la radice sia definita, è certamente positivo.
Allora le soluzioni sono quei numeri che rendono definita la radice, cioè quelli per cui il radicando è $>=0$:
$3-2x>=0->x<=3/2$.[/quote]
Ok!
Ti ringrazio!
Ho risolto la seguente:
$ 0>=sqrt(2-3x) $
Che penso possa essere scritta anche così:
$ sqrt(2-3x)<=0 $
Qui' che condizioni devo imporre?
Istintivamente mi è venuto in mente di risolverla così:
$ 2-3x>=0 => -3x>=-2=>-x>=-2/3=>x<=2/3$
Il testo mi dice che il risultato è $ x=2/3 $ , ma vorrei capire meglio il ragionamento che porta alla soluzione
Ho pensato chela radice quadra porterà ad un valore che potrà essere o positivo o uguale a zero, bene, essendo la disequazione posta $ <=0 $ , non di certo potrà essere $ <0 $ quindi potrà essere solo $ =0 $ .
Dite che ho pensato correttamente?
Grazie mille!
$ 0>=sqrt(2-3x) $
Che penso possa essere scritta anche così:
$ sqrt(2-3x)<=0 $
Qui' che condizioni devo imporre?
Istintivamente mi è venuto in mente di risolverla così:
$ 2-3x>=0 => -3x>=-2=>-x>=-2/3=>x<=2/3$
Il testo mi dice che il risultato è $ x=2/3 $ , ma vorrei capire meglio il ragionamento che porta alla soluzione
Ho pensato chela radice quadra porterà ad un valore che potrà essere o positivo o uguale a zero, bene, essendo la disequazione posta $ <=0 $ , non di certo potrà essere $ <0 $ quindi potrà essere solo $ =0 $ .
Dite che ho pensato correttamente?
Grazie mille!
"Bad90":
....
$ 0>=sqrt(2-3x) $
....
la radice quadra porterà ad un valore che potrà essere o positivo o uguale a zero, bene, essendo la disequazione posta $ <=0 $ , non di certo potrà essere $ <0 $ quindi potrà essere solo $ =0 $ .
...
Perciò la disequazione è equivalente a $sqrt(2-3x)=0->2-3x=0->x=2/3$.
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]
....
$ 0>=sqrt(2-3x) $
....
la radice quadra porterà ad un valore che potrà essere o positivo o uguale a zero, bene, essendo la disequazione posta $ <=0 $ , non di certo potrà essere $ <0 $ quindi potrà essere solo $ =0 $ .
...
Perciò la disequazione è equivalente a $sqrt(2-3x)=0->2-3x=0->x=2/3$.[/quote]
Ho risolto la seguente disequazione in questo modo, ma non sto riuscendo ad ottenere il risultato giusto:
$ sqrt(x-3)>5-x $
ho impostato il sistema, "correggetemi se sbaglio":
$ { ( x-3>(5-x)^2 ),( x-3>=0 ),( 5-x>=0 ):} $
$ { ( x^2-11x+28<0 ),( x>=3 ),( x<=5 ):} $
$ { ( 4=3 ),( x<=5 ):} =>S=4
Adesso mi chiedo dove avrò fatto errori, perchè il testo mi da il seguente risultato $ x>4 $
Ma se ho settori comuni che sono in $44 $
Vi ringrazio!
$ sqrt(x-3)>5-x $
ho impostato il sistema, "correggetemi se sbaglio":
$ { ( x-3>(5-x)^2 ),( x-3>=0 ),( 5-x>=0 ):} $
$ { ( x^2-11x+28<0 ),( x>=3 ),( x<=5 ):} $
$ { ( 4
Adesso mi chiedo dove avrò fatto errori, perchè il testo mi da il seguente risultato $ x>4 $
Ma se ho settori comuni che sono in $4
Vi ringrazio!
Sto trovando problemi anche con questa:
$ sqrt(x)>x-2 $
Ho impostato il seguente sistema:
$ { ( x>(x-2)^2 ),( x>=0 ),( x-2>=0 ):} $
$ { ( x^2-5x+4<0 ),( x>=0 ),( x>=2 ):} $
$ { ( 1=0 ),( x>=2 ):}=>S=2
Perchè il testo mi dice che $ S=0
Dove sto sbagliando?
Grazie mille!
$ sqrt(x)>x-2 $
Ho impostato il seguente sistema:
$ { ( x>(x-2)^2 ),( x>=0 ),( x-2>=0 ):} $
$ { ( x^2-5x+4<0 ),( x>=0 ),( x>=2 ):} $
$ { ( 1
Perchè il testo mi dice che $ S=0
Dove sto sbagliando?
Grazie mille!
Ancora un esercizio in cui non sono riuscito a venirne a capo:
$ sqrt(2x+1)>x-3 $
Imposto il sistema:
$ { ( 2x+1>(x-3)^2 ),( 2x+1>=0 ),( x-3>=0 ):} $
$ { ( x^2-8x+8<0),( x>=-1/2 ),( x>=3 ):} $
$ { ( 4-2sqrt(2)=-1/2 ),( x>=3 ):}=>S=3
Perchè il testo mi dice che deve essere $ S=-1/2
Grazie mille!
$ sqrt(2x+1)>x-3 $
Imposto il sistema:
$ { ( 2x+1>(x-3)^2 ),( 2x+1>=0 ),( x-3>=0 ):} $
$ { ( x^2-8x+8<0),( x>=-1/2 ),( x>=3 ):} $
$ { ( 4-2sqrt(2)
Perchè il testo mi dice che deve essere $ S=-1/2
Grazie mille!
"Bad90":
...
$ sqrt(x-3)>5-x $
La disequazione
$sqrt(x-3)>5-x$
è del tipo
$sqrt(A(x))>B(x)$,
che abbiamo già discusso, con $B(x)=5-x$ e $A(x)=x-3$.
Quindi è equivalente a
${(5-x<0),(x-3>=0):} uu {(5-x>=0),(x-3>(5-x)^2):}$.
${(5-x<0),(x-3>=0):}->{(x>5),(x>=3):}->x>5$,
${(5-x>=0),(x-3>(5-x)^2):}->{(x<=5),(x-3>25-10x+x^2):}->{(x<=5),(x^2-11x+28<0):}->{(x<=5),(4
L'unione delle soluzioni dà $x>4$.
"Bad90":
....
$ sqrt(x)>x-2 $
.....
Anche questa disequazione
$ sqrt(x)>x-2 $
è del tipo
$sqrt(A(x))>B(x)$.
Quindi è equivalente a
${(x-2<0),(x>=0):} uu {(x-2>=0),(x>(x-2)^2):}$.
${(x-2<0),(x>=0):}->{(x<2),(x>=0):}->0<=x<2$,
${(x-2>=0),(x>(x-2)^2):}->{(x>=2),(x>x^2-4x+4):}->{(x>=2),(x^2-5x+4<0):}->{(x>=2),(1
L'unione delle soluzioni dà $0<=x<4$.
"Bad90":
.....
$ sqrt(2x+1)>x-3 $
.....
Anche questa disequazione
$sqrt(2x+1)>x-3$
è del tipo
$sqrt(A(x))>B(x)$.
Quindi è equivalente a
${(x-3<0),(2x+1>=0):} uu {(x-3>=0),(2x+1>(x-3)^2):}$.
${(x-3<0),(2x+1>=0):}->{(x<3),(x>= -1/2):}->-1/2<=x<3$,
${(x-3>=0),(2x+1>(x-3)^2):}->{(x>=3),(2x+1>x^2-6x+9):}->{(x>=3),(x^2-8x+8<0):}->$
${(x>=3),(4-2sqrt(2)
L'unione delle soluzioni dà $-1/2<=x<4+2sqrt(2)$.
Mi devi perdonare, ma graficamente non mi è chiara l'unione, questo spiega l'errore nello stesso tipo di esercizi!
Si, qualche giorno fa mi hai detto questo:
$ { ( B(x)>=0 ),( A(x)>=(B(x))^2 ):} uu { ( A(x)>=0 ),( B(x)<0 ):} $
Ci sono due casi che si possono presentare e quindi vanno prese le soluzioni di ambedue, ovviamente se ci sono.
1° caso
Se $B(x)<0$, il secondo membro è sicuramente minore del primo, che è $>=0$, purché sia definito ($A(x)>=0$).
Quindi
${(A(x)>=0),(B(x)<0):}$.
2° caso
Se $B(x)>=0$, poiché anche $sqrt(A(x))>=0$, la diseguaglianza si mantiene elevandola al quadrato ($(sqrt(A(x)))^2>=(B(x))^2->A(x)>=(B(x))^2$).
La condizione di esistenza della radice ($A(x)>=0$) è superflua, poiché si è già posto $A(x)>=(B(x))^2>=0$.
Quindi
${(B(x)>=0),(A(x)>=(B(x))^2):}$.
In conclusione le soluzioni si trovano risolvendo i due sistemi e facendo l'unione delle soluzioni
${(B(x)>=0),(A(x)>=(B(x))^2):} uu {(A(x)>=0),(B(x)<0):}$.
Ma non sto riuscendo a verificarlo graficamente!
Come esempio elementare si possono considerare due insiemi finiti (cioè con un numero finito di elementi) $A = {1, 2, 3} $e $B = {2, 3, 4}$. In questo caso si ottiene l'unione prendendo tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi:
$ A uu B={1, 2, 3, 4} $
Mi è stato spiegato il concetto da giammaria che l'unione sigifica $ x $ "o" $ y $ (con $ x $ e $ y $ indico le possibili soluzioni), spero di essermi espresso correttamente, perfetto, ma sul grafico dei segni come faccio a rendermi conto della soluzione?
In questi casi mi trovo solo con intersezioni e non riesco a darmi una risposta su come bisogna riconoscere $ uu $
Ma poi, graficamente, come faccio a decifrare quale metodo devo usare?
Ti ringrazio anticipatamente!
Si, qualche giorno fa mi hai detto questo:
$ { ( B(x)>=0 ),( A(x)>=(B(x))^2 ):} uu { ( A(x)>=0 ),( B(x)<0 ):} $
Ci sono due casi che si possono presentare e quindi vanno prese le soluzioni di ambedue, ovviamente se ci sono.
1° caso
Se $B(x)<0$, il secondo membro è sicuramente minore del primo, che è $>=0$, purché sia definito ($A(x)>=0$).
Quindi
${(A(x)>=0),(B(x)<0):}$.
2° caso
Se $B(x)>=0$, poiché anche $sqrt(A(x))>=0$, la diseguaglianza si mantiene elevandola al quadrato ($(sqrt(A(x)))^2>=(B(x))^2->A(x)>=(B(x))^2$).
La condizione di esistenza della radice ($A(x)>=0$) è superflua, poiché si è già posto $A(x)>=(B(x))^2>=0$.
Quindi
${(B(x)>=0),(A(x)>=(B(x))^2):}$.
In conclusione le soluzioni si trovano risolvendo i due sistemi e facendo l'unione delle soluzioni
${(B(x)>=0),(A(x)>=(B(x))^2):} uu {(A(x)>=0),(B(x)<0):}$.
Ma non sto riuscendo a verificarlo graficamente!
Come esempio elementare si possono considerare due insiemi finiti (cioè con un numero finito di elementi) $A = {1, 2, 3} $e $B = {2, 3, 4}$. In questo caso si ottiene l'unione prendendo tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi:
$ A uu B={1, 2, 3, 4} $
Mi è stato spiegato il concetto da giammaria che l'unione sigifica $ x $ "o" $ y $ (con $ x $ e $ y $ indico le possibili soluzioni), spero di essermi espresso correttamente, perfetto, ma sul grafico dei segni come faccio a rendermi conto della soluzione?
In questi casi mi trovo solo con intersezioni e non riesco a darmi una risposta su come bisogna riconoscere $ uu $
Ma poi, graficamente, come faccio a decifrare quale metodo devo usare?
Ti ringrazio anticipatamente!
Ma da dove nasce questo?
$ { ( B(x)>=0 ),( A(x)>=(B(x))^2 ):} uu { ( A(x)>=0 ),( B(x)<0 ):} $
Chi è che ha studiato e a cosa ha pensato per arrivare a delle conclusioni?
Vorrei non imparare a memoria e vorrei capire a cosa bisogna pensare per dire che
$ { ( B(x)>=0 ),( A(x)>=(B(x))^2 ):} uu { ( A(x)>=0 ),( B(x)<0 ):} $
Come posso fare a darmi una risposta?
Vi ringrazio!
$ { ( B(x)>=0 ),( A(x)>=(B(x))^2 ):} uu { ( A(x)>=0 ),( B(x)<0 ):} $
Chi è che ha studiato e a cosa ha pensato per arrivare a delle conclusioni?
Vorrei non imparare a memoria e vorrei capire a cosa bisogna pensare per dire che
$ { ( B(x)>=0 ),( A(x)>=(B(x))^2 ):} uu { ( A(x)>=0 ),( B(x)<0 ):} $
Come posso fare a darmi una risposta?
Vi ringrazio!
"Bad90":
Mi devi perdonare, ma graficamente non mi è chiara l'unione, questo spiega l'errore nello stesso tipo di esercizi!
.....
Secondo me non hai chiaro il fatto che nel tipo di disequazione a cui appartengono tutte e tre le ultime (Radice pari di una funzione, maggiore di un'altra funzione), si devono studiare due casi e cioè si devono impostare due sistemi. Sono soluzioni della disequazione sia le soluzioni del primo, che quelle del secondo. Per questo si fa l'unione delle soluzioni.
Tu invece imposti delle condizioni che si riferiscono a un caso solo dei due e quindi perdi sistematicamente delle soluzioni.
Non è che trovi tutte le soluzioni, ma poi non riesci a sintetizzarle bene. E' che non le trovi tutte, perché non consideri che i casi da studiare sono due.
Per esempio per la disequazione $sqrt(x)>x-2$ tu trovi solo le soluzioni $2<=x<4$.
Invece, oltre a quelle, ci sono anche $0<=x<2$.
Una volta che ti sei persuaso di questo, devi soltanto capire com'è fatta l'unione di queste soluzioni.
Se ci ragioni un attimo ti rendi conto che sono soluzioni i numeri da $0$ (incluso) a $2$ (escluso) [le seconde], ma anche quelli da $2$ (compreso) a $4$ (escluso) [le prime].
Allora è chiaro che vanno bene tutti i numeri da $0$ (incluso) a $4$ (esluso).
Adesso cerco di farmi entrare in mente questi concetti! 
Grazie mille!
Grazie mille!
Devi capire prima e memorizzare poi che .....
Una disequazione del tipo
$sqrt(A(x))>B(x)$
è equivalente all'unione dei due sistemi:
${(B(x)>=0),(A(x)>(B(x))^2):} uu {(A(x)>=0),(B(x)<0):}$.
Il motivo per cui è questo il meccanismo che si usa per risolvere questo genere di disequazione (Radice pari di una funzione maggiore di un'altra funzione) è che ci sono due casi che si possono presentare in cui la diseguaglianza può essere ugualmente vera. Quindi vanno studiati separatamente tutti e due. Trovate le soluzioni di ambedue, ovviamente se ci sono, vanno bene sia le une sia le altre. Mettere insieme tutte le soluzioni dei due casi significa farne l'unione.
1° caso
La disuguaglianza è vera se $B(x)<0$, purché la radice sia definita ($A(x)>=0$). Questo perché in questo caso il secondo membro ($<0$) è sicuramente minore del primo, che è $>=0$.
Quindi il primo sistema è
${(A(x)>=0),(B(x)<0):}$.
2° caso
La disuguaglianza è ancora vera anche se $B(x)>=0$, ma $A(x)>(B(x))^2$.
Questo perché, in questo caso, tutti e due i membri della disuguaglianza sono $>0$ e la disuguaglianza si mantiene elevandola al quadrato ($(sqrt(A(x)))^2>(B(x))^2->A(x)>(B(x))^2$).
La condizione di esistenza della radice ($A(x)>=0$) è superflua, poiché si è già posto $A(x)>(B(x))^2>=0$.
Quindi il secondo sistema è
${(B(x)>=0),(A(x)>(B(x))^2):}$.
In conclusione le soluzioni si trovano risolvendo i due sistemi e facendo l'unione delle soluzioni:
${(B(x)>=0),(A(x)>(B(x))^2):} uu {(A(x)>=0),(B(x)<0):}$.
Una disequazione del tipo
$sqrt(A(x))>B(x)$
è equivalente all'unione dei due sistemi:
${(B(x)>=0),(A(x)>(B(x))^2):} uu {(A(x)>=0),(B(x)<0):}$.
Il motivo per cui è questo il meccanismo che si usa per risolvere questo genere di disequazione (Radice pari di una funzione maggiore di un'altra funzione) è che ci sono due casi che si possono presentare in cui la diseguaglianza può essere ugualmente vera. Quindi vanno studiati separatamente tutti e due. Trovate le soluzioni di ambedue, ovviamente se ci sono, vanno bene sia le une sia le altre. Mettere insieme tutte le soluzioni dei due casi significa farne l'unione.
1° caso
La disuguaglianza è vera se $B(x)<0$, purché la radice sia definita ($A(x)>=0$). Questo perché in questo caso il secondo membro ($<0$) è sicuramente minore del primo, che è $>=0$.
Quindi il primo sistema è
${(A(x)>=0),(B(x)<0):}$.
2° caso
La disuguaglianza è ancora vera anche se $B(x)>=0$, ma $A(x)>(B(x))^2$.
Questo perché, in questo caso, tutti e due i membri della disuguaglianza sono $>0$ e la disuguaglianza si mantiene elevandola al quadrato ($(sqrt(A(x)))^2>(B(x))^2->A(x)>(B(x))^2$).
La condizione di esistenza della radice ($A(x)>=0$) è superflua, poiché si è già posto $A(x)>(B(x))^2>=0$.
Quindi il secondo sistema è
${(B(x)>=0),(A(x)>(B(x))^2):}$.
In conclusione le soluzioni si trovano risolvendo i due sistemi e facendo l'unione delle soluzioni:
${(B(x)>=0),(A(x)>(B(x))^2):} uu {(A(x)>=0),(B(x)<0):}$.
Mi sembra di aver compreso che:
Questo metodo si usa solo quando $sqrt(A(x))>B(x)$ oppure $sqrt(A(x))>=B(x)$ ma non quando $sqrt(A(x))
Ho compreso bene?
Grazie mille per tutta la pazienza che hai, spero tu non mi manderai a quel paese, anche perchè studierò tutta la matematica!
P.S. Mi manca poco per accettare completamente questo concetto!
$sqrt(A(x))>B(x)$
è equivalente all'unione dei due sistemi:
${(B(x)>=0),(A(x)>(B(x))^2):} uu {(A(x)>=0),(B(x)<0):}$.
(Radice pari di una funzione maggiore di un'altra funzione)
Questo metodo si usa solo quando $sqrt(A(x))>B(x)$ oppure $sqrt(A(x))>=B(x)$ ma non quando $sqrt(A(x))
Ho compreso bene?
Grazie mille per tutta la pazienza che hai, spero tu non mi manderai a quel paese, anche perchè studierò tutta la matematica!
P.S. Mi manca poco per accettare completamente questo concetto!
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]...
$ sqrt(x-3)>5-x $
La disequazione
$sqrt(x-3)>5-x$
è del tipo
$sqrt(A(x))>B(x)$,
che abbiamo già discusso, con $B(x)=5-x$ e $A(x)=x-3$.
Quindi è equivalente a
${(5-x<0),(x-3>=0):} uu {(5-x>=0),(x-3>(5-x)^2):}$.
${(5-x<0),(x-3>=0):}->{(x>5),(x>=3):}->x>5$,
${(5-x>=0),(x-3>(5-x)^2):}->{(x<=5),(x-3>25-10x+x^2):}->{(x<=5),(x^2-11x+28<0):}->{(x<=5),(4
L'unione delle soluzioni dà $x>4$.[/quote]
Quindi utilizzando gli insiemi, si può pensare in questo modo?
$ A uu B=(4
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