Equazioni e Disequazioni irrazionali
Ho cominciato oggi a studiare le equazioni irrazionali, mi chiedevo:
Nell'equazione
$ sqrt(6x-5)=-x $
irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:
$ x^2-6x+5=0 $
Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:
Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $
Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $
Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
Grazie mille!
Nell'equazione
$ sqrt(6x-5)=-x $
irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:
$ x^2-6x+5=0 $
Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:
Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $
Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $
Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
Grazie mille!
Risposte
Adesso sto svolgendo gli esercizi con solo disequazioni irrazionali, ma come bisogna muoversi?
Questo è un esercizio guidato:
$ sqrt(x+2)
Il metodo mi sembra identico a quello delle equazioni irrazionali, ma vorrei capire meglio il concetto di questi esercizi:
$ { ( x+2=0 ),( x>=0 ):} $
$ { ( -x^2+x+2<0 ),( x>=-2 ),( x>=0 ):} $
$ { ( x^2-x-2>0 ),( x>=-2 ),( x>=0 ):} $
$ { (x<1 ^^ x>2 ),( x>=-2 ),( x>=0 ):} $
Adesso mi chiedo a cosa mi servono questi?
$ { ( x>=-2 ),( x>=0 ):} $
Se già mi basta la prima disequazione per determinare quando è verificata
Grazie a $ x^2-x-2>0 $ riuscirò a dire che $ x>2 $ , fin qui ok, ma cosa significa che grazie a $ { ( x>=-2 ),( x>=0 ):} $ devo considerare solo i valori che vanno verso i valori sempre positivi e quindi a destra del grafico?
Grazie mille!
Questo è un esercizio guidato:
$ sqrt(x+2)
Il metodo mi sembra identico a quello delle equazioni irrazionali, ma vorrei capire meglio il concetto di questi esercizi:
$ { ( x+2
$ { ( -x^2+x+2<0 ),( x>=-2 ),( x>=0 ):} $
$ { ( x^2-x-2>0 ),( x>=-2 ),( x>=0 ):} $
$ { (x<1 ^^ x>2 ),( x>=-2 ),( x>=0 ):} $
Adesso mi chiedo a cosa mi servono questi?
$ { ( x>=-2 ),( x>=0 ):} $
Se già mi basta la prima disequazione per determinare quando è verificata
Grazie a $ x^2-x-2>0 $ riuscirò a dire che $ x>2 $ , fin qui ok, ma cosa significa che grazie a $ { ( x>=-2 ),( x>=0 ):} $ devo considerare solo i valori che vanno verso i valori sempre positivi e quindi a destra del grafico?
Grazie mille!
Mentre studio il paragrafo delle disequazioni irrazionali, sono arrivato a questo:
La seguente disequazione:
$ sqrt(A(x))>=B(x) $
e' equivalente a l'unione dei due sistemi:
$ { ( B(x)>=0 ),( A(x)<=(B(x))^2 ):} uu { ( A(x)>=0 ),( B(x)<0 ):} $
Non sto capendo il perchè!??!?!
Se io leggo questo punto così come è esposto dal mio testo, non mi dice nulla!
Cosa significa questa unione di due sistemi?
Vi ringrazio!
La seguente disequazione:
$ sqrt(A(x))>=B(x) $
e' equivalente a l'unione dei due sistemi:
$ { ( B(x)>=0 ),( A(x)<=(B(x))^2 ):} uu { ( A(x)>=0 ),( B(x)<0 ):} $
Non sto capendo il perchè!??!?!
Se io leggo questo punto così come è esposto dal mio testo, non mi dice nulla!
Cosa significa questa unione di due sistemi?
Vi ringrazio!
"Bad90":
.....
$ sqrt(x+2)......
$ { ( x^2-x-2>0 ),( x>=-2 ),( x>=0 ):} $
.....
$ { ( x^2-x-2>0 ),( x>=-2 ),( x>=0 ):} -> { ( x<-1 vv x>2 ),( x>=-2 ),( x>=0 ):} ->x>2$
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]
.....
$ sqrt(x+2)......
$ { ( x^2-x-2>0 ),( x>=-2 ),( x>=0 ):} $
.....
$ { ( x^2-x-2>0 ),( x>=-2 ),( x>=0 ):} -> { ( x<-1 vv x>2 ),( x>=-2 ),( x>=0 ):} ->x>2$[/quote]
Scusami ho dimenticato di scrivere il $ -1 $ quì $ ( x<-1 vv x>2 ), $
Ti ringrazio!
Ma il dubbio mi rimane!
"Bad90":
...
$ sqrt(A(x))>=B(x) $
e' equivalente a l'unione dei due sistemi:
$ { ( B(x)>=0 ),( A(x)<=(B(x))^2 ):} uu { ( A(x)>=0 ),( B(x)<0 ):} $
....
No:
$ { ( B(x)>=0 ),( A(x)>=(B(x))^2 ):} uu { ( A(x)>=0 ),( B(x)<0 ):} $
Ci sono due casi che si possono presentare e quindi vanno prese le soluzioni di ambedue, ovviamente se ci sono.
1° caso
Se $B(x)<0$, il secondo membro è sicuramente minore del primo, che è $>=0$, purché sia definito ($A(x)>=0$).
Quindi
${(A(x)>=0),(B(x)<0):}$.
2° caso
Se $B(x)>=0$, poiché anche $sqrt(A(x))>=0$, la diseguaglianza si mantiene elevandola al quadrato ($(sqrt(A(x)))^2>=(B(x))^2->A(x)>=(B(x))^2$).
La condizione di esistenza della radice ($A(x)>=0$) è superflua, poiché si è già posto $A(x)>=(B(x))^2>=0$.
Quindi
${(B(x)>=0),(A(x)>=(B(x))^2):}$.
In conclusione le soluzioni si trovano risolvendo i due sistemi e facendo l'unione delle soluzioni
${(B(x)>=0),(A(x)>=(B(x))^2):} uu {(A(x)>=0),(B(x)<0):}$.
Ti ringrazio, adesso ci ragiono un pò su 
Detto in questo modo è molto più chiaro, perchè hai spiegato i casi!
Grazie mille!
Detto in questo modo è molto più chiaro, perchè hai spiegato i casi!
Grazie mille!
"Bad90":
.....
Ma il dubbio mi rimane!
Risolvere un sistema significa cercare dove più condizioni sono vere simultaneamente. Quindi devi fare l'intersezione dei risultati delle disequazioni:
${(x<-1 vv x>2), (x>=-2), (x>=0):}->x>2$.
Propongo un metodo più diretto (che qualcuno però mi redarguisca immediatamente se scorretto).
Ricordo che a scuola le equazioni irrazionali e quindi credo che valga anche per le disequazioni, le risolvevamo elevando entrambi i membri al quadrato, anche nel caso di indice pari. Arrivati alle probabili soluzioni, le si provava nella disequazione e ovviamente si scartavano quelle che non la soddisfacevano.
Chiedo però conferma della corettezza del procedimento.
Ricordo che a scuola le equazioni irrazionali e quindi credo che valga anche per le disequazioni, le risolvevamo elevando entrambi i membri al quadrato, anche nel caso di indice pari. Arrivati alle probabili soluzioni, le si provava nella disequazione e ovviamente si scartavano quelle che non la soddisfacevano.
Chiedo però conferma della corettezza del procedimento.
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]
.....
Ma il dubbio mi rimane!
Risolvere un sistema significa cercare dove più condizioni sono vere simultaneamente. Quindi devi fare l'intersezione dei risultati delle disequazioni:
${(x<-1 vv x>2), (x>=-2), (x>=0):}->x>2$.[/quote]
Ok, infatti solo dopo il $ x>2 $ ho più casi che vengono verificati!
Ti ringrazio!
"JoJo_90":
Propongo un metodo più diretto (che qualcuno però mi redarguisca immediatamente se scorretto).
Ricordo che a scuola le equazioni irrazionali e quindi credo che valga anche per le disequazioni, le risolvevamo elevando entrambi i membri al quadrato, anche nel caso di indice pari. Arrivati alle probabili soluzioni, le si provava nella disequazione e ovviamente si scartavano quelle che non la soddisfacevano.
Chiedo però conferma della corettezza del procedimento.
Ciao JoJo!
Ma dici che è lo stesso delle equazioni irrazionali?
Io in realtà questo procedimento lo adottavo per le equazioni irrazionali, però non so se va bene per tutti i tipi di equazioni irrazionali, nè tantomeno se vale anche per le disequazioni.
E' bene imparare comunque a svolgerle come stai facendo tu; la mia era più una curiosità.
Ciao.
E' bene imparare comunque a svolgerle come stai facendo tu; la mia era più una curiosità.
Ciao.
"JoJo_90":
Io in realtà questo procedimento lo adottavo per le equazioni irrazionali, però non so se va bene per tutti i tipi di equazioni irrazionali, nè tantomeno se vale anche per le disequazioni.
E' bene imparare comunque a svolgerle come stai facendo tu; la mia era più una curiosità.
Ciao.
Si, ma per me è un piacere ascoltare le tue curiosità , perchè potrebbero essere anche le mie!
Ciao Jojo, per le equazioni irrazionali il metodo funziona anche perchè il mio libro della Zanichelli non spiega le C.E. ma verifica le soluzioni proprio sostituendole alla \(\displaystyle x \). Per le disequazioni irrazionali forse no perchè ti perdi delle soluzioni, elevando al quadrato si sta infatti già supponendo che le due quantità sono già positive.
Scusate ma non sto capendo la seguente disequazione irrazionale, nonostante mi sembra banale....
$ sqrt(4x-1)> -1 $
Io la risolvo in questo modo:
$ { ( 4x-1>1 ),( 4x-1>=0 ):} $
$ { ( x>2/4),( x>=1/4):} $
$ { ( x>1/2),( x>=1/4):} $
Faccio il grafico, e mi trovo con $ x>1/2 $ che è positiva da $ 1/2 $ verso destra e $ x>=1/4 $ che è positiva da $ 1/4 $ verso destra.....
Bene, il testo mi dice che la soluzione è $ x>=1/4 $ , ma sul grafico mi risultà che i due casi che vengono verificati contemporaneamente sono da $ x>=1/2 $ verso destra!
Dove si trova l'errore?
Grazie mille!
$ sqrt(4x-1)> -1 $
Io la risolvo in questo modo:
$ { ( 4x-1>1 ),( 4x-1>=0 ):} $
$ { ( x>2/4),( x>=1/4):} $
$ { ( x>1/2),( x>=1/4):} $
Faccio il grafico, e mi trovo con $ x>1/2 $ che è positiva da $ 1/2 $ verso destra e $ x>=1/4 $ che è positiva da $ 1/4 $ verso destra.....
Bene, il testo mi dice che la soluzione è $ x>=1/4 $ , ma sul grafico mi risultà che i due casi che vengono verificati contemporaneamente sono da $ x>=1/2 $ verso destra!
Dove si trova l'errore?
Grazie mille!
Aspetta però, tu sai che \(\displaystyle \sqrt {P(x)} \) è sempre nullo o positivo siccome \(\displaystyle -1<0 \) cioè è negativo si ha che la disequazione è verificata \(\displaystyle \forall x\in \mathbb{R} \). Questa devi intersecarla poi con il fatto che la radice ha senso per \(\displaystyle x\ge \frac{1}{4} \). Facendo il grafico viene proprio \(\displaystyle x\ge \frac{1}{4} \).
Inoltre non è corretto quello che hai fatto perchè il secondo membro è minore di zero, sarebbe come dire \(\displaystyle 2>-4 \), ma non è lo stesso dire che \(\displaystyle 2^2>(-4)^2 \Rightarrow 4>16 \) che è impossibile.
Inoltre non è corretto quello che hai fatto perchè il secondo membro è minore di zero, sarebbe come dire \(\displaystyle 2>-4 \), ma non è lo stesso dire che \(\displaystyle 2^2>(-4)^2 \Rightarrow 4>16 \) che è impossibile.
"Bad90":
Scusate ma non sto capendo la seguente disequazione irrazionale, nonostante mi sembra banale....
$sqrt(4x-1)> - 1 $
Io la risolvo in questo modo:
$ { ( 4x-1>1 ),( 4x-1>=0 ):} $
L'errore sta nel fatto che hai elevato al quadrato. Il primo membro, dove è definito, è $>=0$. Il secondo invece è $<0$.
Quindi l'elevamento al quadrato non è lecito.
Invece devi accorgerti che la diseguaglianza è vera purché la radice sia definita. Cioè per $4x-1>=0->x>=1/4$.
"giannirecanati":
Aspetta però, tu sai che \(\displaystyle \sqrt {P(x)} \) è sempre nullo o positivo siccome \(\displaystyle -1<0 \) cioè è negativo si ha che la disequazione è verificata \(\displaystyle \forall x\in \mathbb{R} \). Questa devi intersecarla poi con il fatto che la radice ha senso per \(\displaystyle x\ge \frac{1}{4} \). Facendo il grafico viene proprio \(\displaystyle x\ge \frac{1}{4} \).
Inoltre non è corretto quello che hai fatto perchè il secondo membro è minore di zero, sarebbe come dire \(\displaystyle 2>-4 \), ma non è lo stesso dire che \(\displaystyle 2^2>(-4)^2 \Rightarrow 4>16 \) che è impossibile.
Perdonami ma non sto riuscendo a capire, "per colpa mia ovviamente".
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]Scusate ma non sto capendo la seguente disequazione irrazionale, nonostante mi sembra banale....
$sqrt(4x-1)> - 1 $
Io la risolvo in questo modo:
$ { ( 4x-1>1 ),( 4x-1>=0 ):} $
L'errore sta nel fatto che hai elevato al quadrato. Il primo membro, dove è definito, è $>=0$. Il secondo invece è $<0$.
Quindi l'elevamento al quadrato non è lecito.
Invece devi accorgerti che la diseguaglianza è vera purché la radice sia definita. Cioè per $4x-1>=0->x>=1/4$.[/quote]
E' vero!
Non è lecito elevare al quadrato primo e secondo membro, perchè un quadrato, non potrà mai essere maggiore di un numero negativo!
Quindi si potrà dire che è solo verificata per una condizione tipo $ 4x-1>=0->x>=1/4 $ .
Quindi basta vedere la traccia e si arriva subito alla conclusione senza neppure fare tante considerazioni!
"giannirecanati":
Ciao Jojo, per le equazioni irrazionali il metodo funziona anche perchè il mio libro della Zanichelli non spiega le C.E. ma verifica le soluzioni proprio sostituendole alla \(\displaystyle x \). Per le disequazioni irrazionali forse no perchè ti perdi delle soluzioni, elevando al quadrato si sta infatti già supponendo che le due quantità sono già positive.
Grazie mille per la risposta
!
Ciao Bad, quello che dici:
il motivo per cui non è lecito è che il quadrato e le potenze pari "ammazzano" il segno. Se ci pensi \(\displaystyle 3>-9 \), però se elevi al quadrato entrambi i membri otterresti \(\displaystyle 9>81 \) che è sbagliato. Quindi si può elevare al quadrato con sicurezza solo quando entrambe le quantità sono nonnegative.
"Bad90":
Non è lecito elevare al quadrato primo e secondo membro, perchè un quadrato, non potrà mai essere maggiore di un numero negativo!
il motivo per cui non è lecito è che il quadrato e le potenze pari "ammazzano" il segno. Se ci pensi \(\displaystyle 3>-9 \), però se elevi al quadrato entrambi i membri otterresti \(\displaystyle 9>81 \) che è sbagliato. Quindi si può elevare al quadrato con sicurezza solo quando entrambe le quantità sono nonnegative.
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