Equazioni e Disequazioni irrazionali
Ho cominciato oggi a studiare le equazioni irrazionali, mi chiedevo:
Nell'equazione
$ sqrt(6x-5)=-x $
irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:
$ x^2-6x+5=0 $
Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:
Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $
Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $
Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
Grazie mille!
Nell'equazione
$ sqrt(6x-5)=-x $
irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:
$ x^2-6x+5=0 $
Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:
Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $
Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $
Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
Grazie mille!
Risposte
giammaria » 23/06/2012, 12:07
Ti ringrazio, adesso faccio qualche altro esercizio.
Adesso mi chiedo il perchè il testo espone alcuni concetti complicandomi la vita
Ma colui che ha scritto il testo, perchè non espone i concetti come vengono esposti da te Giammaria? Spesso mi sembra che il testo mi getta in un labirinto e fortunatamente tu riesci a darmi la via di uscita!
Ti giuro che se un domani deciderai di fare un testo di matematica, pretendo che tu mi avvisi, sarò il primo ad acquistarlo, ma se percaso tu avrai già scritto qualcosa fammelo sapere
Sei una ottima guida!
Grazie mille!
Ma se mi trovo con una equazione tipo questa:
$ sqrt(4x)=sqrt(x-2) $
Non ce bisogno di imporre le $ C.E. $
Perchè il primo membro ed il secondo membro sono sempre $ >=0 $
Giusto?
Quindi si può procedere a risolverla tranquillamente! Ma allora come faccio a verificarla? Se sono per forza $ >=0 $, la verifica può essere che se $ sqrt(4x)=sqrt(x-2)=>4x=x-2=>3x=-2=>x=-2/3 $ essendo un valore negativo, dirò che è impossibile!
Ma devo impostare il seguente schema?
$ { ( sqrt(4x)=sqrt(x-2) ),( 4x>=0 ),( x-2>=0 ):} $
$ { ( 4x=x-2),( x>=0 ),( x>=2 ):} $
$ { ( 3x=-2),( x>=0 ),( x>=2 ):} $
$ { ( x=-2/3),( x>=0 ),( x>=2 ):} $
Ovviamente ho $ x=-2/3 $ che non è possibile per $ x>=0 $ e $ x>=2 $
Dite che ho fatto bene?
Grazie mille!
$ sqrt(4x)=sqrt(x-2) $
Non ce bisogno di imporre le $ C.E. $
Perchè il primo membro ed il secondo membro sono sempre $ >=0 $
Giusto?
Quindi si può procedere a risolverla tranquillamente! Ma allora come faccio a verificarla? Se sono per forza $ >=0 $, la verifica può essere che se $ sqrt(4x)=sqrt(x-2)=>4x=x-2=>3x=-2=>x=-2/3 $ essendo un valore negativo, dirò che è impossibile!
Ma devo impostare il seguente schema?
$ { ( sqrt(4x)=sqrt(x-2) ),( 4x>=0 ),( x-2>=0 ):} $
$ { ( 4x=x-2),( x>=0 ),( x>=2 ):} $
$ { ( 3x=-2),( x>=0 ),( x>=2 ):} $
$ { ( x=-2/3),( x>=0 ),( x>=2 ):} $
Ovviamente ho $ x=-2/3 $ che non è possibile per $ x>=0 $ e $ x>=2 $
Dite che ho fatto bene?
Grazie mille!
"Bad90":
....
$ sqrt(4x)=sqrt(x-2) $
.......
$ { ( sqrt(4x)=sqrt(x-2) ),( 4x>=0 ),( x-2>=0 ):} $
$ { ( 4x=x-2),( x>=0 ),( x>=2 ):} $
$ { ( 3x=-2),( x>=2 ):} $
$ { ( x=-2/3),( x>=2 ):} $
$ x=-2/3 $ non è accettabile, perché non è $>=2$, e quindi l'equazione non ha soluzioni.
Il sistema occorre. Quanto al resto, mi pare che tu stia facendo confusione fra due concetti.
Il primo è questo: una radice quadrata, SE esiste, è sempre positiva o nulla. Questo non ha nulla a che vedere con le C.E. ma è conseguenza della definizione di radice quadrata: "si dice radice quadrata di $a$ il numero positivo (o nullo) che elevato al quadrato dà $a$".
Il secondo è: una radice quadrata esiste se il radicando è positivo o nullo: questo è il campo di esistenza (o queste sono le condizioni di esistenza) e va imposto praticamente sempre, quindi anche nella tua equazione. Qualche rara volta è inutile perché conseguenza di altre formule ma non è mai sbagliato: se non sei più che sicuro del fatto tuo, ti consiglio di non trascurarlo mai.
Il primo è questo: una radice quadrata, SE esiste, è sempre positiva o nulla. Questo non ha nulla a che vedere con le C.E. ma è conseguenza della definizione di radice quadrata: "si dice radice quadrata di $a$ il numero positivo (o nullo) che elevato al quadrato dà $a$".
Il secondo è: una radice quadrata esiste se il radicando è positivo o nullo: questo è il campo di esistenza (o queste sono le condizioni di esistenza) e va imposto praticamente sempre, quindi anche nella tua equazione. Qualche rara volta è inutile perché conseguenza di altre formule ma non è mai sbagliato: se non sei più che sicuro del fatto tuo, ti consiglio di non trascurarlo mai.
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]....
$ sqrt(4x)=sqrt(x-2) $
.......
$ { ( sqrt(4x)=sqrt(x-2) ),( 4x>=0 ),( x-2>=0 ):} $
$ { ( 4x=x-2),( x>=0 ),( x>=2 ):} $
$ { ( 3x=-2),( x>=2 ):} $
$ { ( x=-2/3),( x>=2 ):} $
$ x=-2/3 $ non è accettabile, perché non è $>=2$, e quindi l'equazione non ha soluzioni.[/quote]
Grazie mille chiarotta, a quanto sembra non ho sbagliato, giusto
La cosa che avrei potuto evitare è scrivere $ x>=0 $ dallo step che hai ripreso tu, perchè basta già il fatto che $ x>=2 $
Ho compreso bene?
"giammaria":
Il sistema occorre. Quanto al resto, mi pare che tu stia facendo confusione fra due concetti.
Il primo è questo: una radice quadrata, SE esiste, è sempre positiva o nulla. Questo non ha nulla a che vedere con le C.E. ma è conseguenza della definizione di radice quadrata: "si dice radice quadrata di $a$ il numero positivo (o nullo) che elevato al quadrato dà $a$".
Il secondo è: una radice quadrata esiste se il radicando è positivo o nullo: questo è il campo di esistenza (o queste sono le condizioni di esistenza) e va imposto praticamente sempre, quindi anche nella tua equazione. Qualche rara volta è inutile perché conseguenza di altre formule ma non è mai sbagliato: se non sei più che sicuro del fatto tuo, ti consiglio di non trascurarlo mai.
Messaggio ricevuto!
Ti ringrazio!
"Bad90":
La cosa che avrei potuto evitare è scrivere $ x>=0 $ dallo step che hai ripreso tu, perchè basta già il fatto che $ x>=2 $
Ho compreso bene?
Se intersechi $x>=0$ con $x>=2$ ottieni $x>=2$.
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]
La cosa che avrei potuto evitare è scrivere $ x>=0 $ dallo step che hai ripreso tu, perchè basta già il fatto che $ x>=2 $
Ho compreso bene?
Se intersechi $x>=0$ con $x>=2$ ottieni $x>=2$.[/quote]
E si, il settore in cui hanno zone verificate e in comune è da $ x>=2 $ in poi!
Perfetto
Ti ringrazio!
Adesso provo a fare la seguente:
$ sqrt(x^2+1)-sqrt(-2x^2+4)=0 $
Comincio in questo modo:
$ sqrt(x^2+1)=sqrt(-2x^2+4) $
Imposto il sistema:
$ { ( x^2+1=-2x^2+4 ),( x^2+1>=0 ),( -2x^2+4>=0 ):} $
$ { ( x=+-1),( x>=1 ^^ x<=-1 ),(-sqrt(2)
Adesso non sto capendo....... ma la soluzione dovrebbe essere $ x=+-1 $
Perchè il testo mi da $ x=+-2 $
$ sqrt(x^2+1)-sqrt(-2x^2+4)=0 $
Comincio in questo modo:
$ sqrt(x^2+1)=sqrt(-2x^2+4) $
Imposto il sistema:
$ { ( x^2+1=-2x^2+4 ),( x^2+1>=0 ),( -2x^2+4>=0 ):} $
$ { ( x=+-1),( x>=1 ^^ x<=-1 ),(-sqrt(2)
Adesso non sto capendo....... ma la soluzione dovrebbe essere $ x=+-1 $
Perchè il testo mi da $ x=+-2 $
Scusate, ma quando mi trovo in una equazione tipo questa:
$ sqrt((x-1)/(4))-sqrt((x^2+2)/(3))=0 $
Va bene se imposto il sistema nel seguente modo?
$ { ( (x-1)/(4)=(x^2+2)/(3) ),( x-1>=0 ),( x^2+2>=0 ):} $
Per le $ C.E. $ basta considerare il numeratore? Non serve considerare anche il denominatore perchè è un termine noto, giusto?
$ sqrt((x-1)/(4))-sqrt((x^2+2)/(3))=0 $
Va bene se imposto il sistema nel seguente modo?
$ { ( (x-1)/(4)=(x^2+2)/(3) ),( x-1>=0 ),( x^2+2>=0 ):} $
Per le $ C.E. $ basta considerare il numeratore? Non serve considerare anche il denominatore perchè è un termine noto, giusto?
"Bad90":
....
$ sqrt(x^2+1)-sqrt(-2x^2+4)=0 $
......
$ { ( x^2+1=-2x^2+4 ),( x^2+1>=0 ),( -2x^2+4>=0 ):} -> { ( 3x^2=3 ),( x^2+1>=0 ),(2x^2<=4 ):} -> { ( x^2=1 ),(text(ogni ) x ),(x^2<=2 ):} -> { ( x=+-1 ),(text(ogni ) x ),(-sqrt(2)<=x<=sqrt(2) ):} -> x=+-1$
"Bad90":
...
$ sqrt((x-1)/(4))-sqrt((x^2+2)/(3))=0 $
...
$ { ( (x-1)/(4)=(x^2+2)/(3) ),( (x-1)/4>=0 ),( (x^2+2)/3>=0 ):} -> { ( 3(x-1)=4(x^2+2) ),( x-1>=0 ),( x^2+2>=0 ):} $
I denominatori di $(x-1)/4$ e $(x^2+2)/3$ sono $>0$ e quindi le frazioni sono $>=0$ se i numeratori sono $>=0$.
Ti ringrazio!
"chiaraotta":
$ sqrt(x^2+1)-sqrt(-2x^2+4)=0 $
$ { ( x^2+1=-2x^2+4 ),( x^2+1>=0 ),( -2x^2+4>=0 ):} -> { ( 3x^2=3 ),( x^2+1>=0 ),(2x^2<=4 ):} -> { ( x^2=1 ),(text(ogni ) x ),(x^2<=2 ):} -> { ( x=+-1 ),(text(ogni ) x ),(-sqrt(2)<=x<=sqrt(2) ):} -> x=+-1$
Scusami, io la penso come te, $ x=+-1 $ ma perchè il testo mi dice $ x=+-2 $
Ci sarà un errore di stampa?
Ritornando sui quei concetti di $ C.E. $ , se mi trovo in una equazione tipo questa:
$ 3sqrt(3x)-3=2sqrt(3x)+3 $
Che diventa:
$ sqrt(3x)=6 $
E' giusto impostare il sistema in questo modo?
$ { ( 3x=36 ),( 3x>=0 ):} $
Grazie mille!
$ 3sqrt(3x)-3=2sqrt(3x)+3 $
Che diventa:
$ sqrt(3x)=6 $
E' giusto impostare il sistema in questo modo?
$ { ( 3x=36 ),( 3x>=0 ):} $
Grazie mille!
Ho un esercizio con la seguente traccia:
Individua l'errore che è stato commesso nella risoluzione della seguente equazione e correggilo.
Sul testo è risolta in questo modo:
$ sqrt(x^2-x)=2x=>x^2-x=4x^2=>3x^2+x=0=>x=0,x=-1/3 $
A mio parere, è impostata male e manca la soluzione, ma chiedo a voi conferma. Io l'avrei risolta nel seguente modo:
$ { ( x^2-x=4x^2 ),( 2x>=0 ):} $
$ { ( -3x^2-x=0 ),( x>=0 ):} $
$ { ( 3x^2+x=0 ),( x>=0 ):} $
$ { ( x(3x+1)=0 ),( x>=0 ):} $
$ { ( x=0 ^^ x=-1/3 ),( x>=0 ):} $
$ S=0 $
Voi cosa ne dite?
Ho intuito bene gli errori proposti dall'esercizio?
Grazie mille!
Individua l'errore che è stato commesso nella risoluzione della seguente equazione e correggilo.
Sul testo è risolta in questo modo:
$ sqrt(x^2-x)=2x=>x^2-x=4x^2=>3x^2+x=0=>x=0,x=-1/3 $
A mio parere, è impostata male e manca la soluzione, ma chiedo a voi conferma. Io l'avrei risolta nel seguente modo:
$ { ( x^2-x=4x^2 ),( 2x>=0 ):} $
$ { ( -3x^2-x=0 ),( x>=0 ):} $
$ { ( 3x^2+x=0 ),( x>=0 ):} $
$ { ( x(3x+1)=0 ),( x>=0 ):} $
$ { ( x=0 ^^ x=-1/3 ),( x>=0 ):} $
$ S=0 $
Voi cosa ne dite?
Ho intuito bene gli errori proposti dall'esercizio?
Grazie mille!
"Bad90":
.....
$ sqrt(x^2+1)-sqrt(-2x^2+4)=0 $
.....
io la penso come te, $ x=+-1 $ ma perchè il testo mi dice $ x=+-2 $
Ci sarà un errore di stampa?
Basta provare a fare la verifica ....
Se $x=+-1$, allora $x^2=1$. Quindi, sostituendo a primo membro di $ sqrt(x^2+1)-sqrt(-2x^2+4)=0 $ si ottiene $sqrt(1+1)-sqrt(-2*1+4)=sqrt(2)-sqrt(2)=0$. Perciò $x=+-1$ sono soluzioni.
Se fosse $x=+-2$, allora $x^2=4$. Ma, nel secondo radicando, si avrebbe $-2*4+4=-4$ che è $<0$, il che non può essere.
Perciò $x=+-1$ sono soluzioni e $x=+-2$ no.
"Bad90":
....
$ 3sqrt(3x)-3=2sqrt(3x)+3 $
....
$ sqrt(3x)=6 $
......
$ { ( 3x=36 ),( 3x>=0 ):}->{ ( x=12 ),( x>=0 ):} ->x=12$
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]
.....
$ sqrt(x^2+1)-sqrt(-2x^2+4)=0 $
.....
io la penso come te, $ x=+-1 $ ma perchè il testo mi dice $ x=+-2 $
Ci sarà un errore di stampa?
Basta provare a fare la verifica ....
Se $x=+-1$, allora $x^2=1$. Quindi, sostituendo a primo membro di $ sqrt(x^2+1)-sqrt(-2x^2+4)=0 $ si ottiene $sqrt(1+1)-sqrt(-2*1+4)=sqrt(2)-sqrt(2)=0$. Perciò $x=+-1$ sono soluzioni.
Se fosse $x=+-2$, allora $x^2=4$. Ma, nel secondo radicando, si avrebbe $-2*4+4=-4$ che è $<0$, il che non può essere.
Perciò $x=+-1$ sono soluzioni e $x=+-2$ no.[/quote]
Ecco, allora è un errore del testo che mi da il risultato $ x=+-2 $
Ma perchè in queste ultime pagine ci sono tutti questi errori nei risultati?
Ti ringrazio per i chiarimenti!
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]
....
$ 3sqrt(3x)-3=2sqrt(3x)+3 $
....
$ sqrt(3x)=6 $
......
$ { ( 3x=36 ),( 3x>=0 ):}->{ ( x=12 ),( x>=0 ):} ->x=12$[/quote]
Allora ho impostato bene il sistema, ti ringrazio!
Adesso proseguo con il programma!
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