Equazioni e Disequazioni irrazionali
Ho cominciato oggi a studiare le equazioni irrazionali, mi chiedevo:
Nell'equazione
$ sqrt(6x-5)=-x $
irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:
$ x^2-6x+5=0 $
Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:
Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $
Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $
Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
Grazie mille!
Nell'equazione
$ sqrt(6x-5)=-x $
irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:
$ x^2-6x+5=0 $
Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:
Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $
Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $
Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
Grazie mille!
Risposte
"Bad90":
....
Fin quì sono riuscito a seguirti:
$ x(sqrt(2)x-1)-sqrt(3)+sqrt(6)x<0 -> sqrt(2)x^2-x-sqrt(3)+sqrt(6)x<0 $
ma quì mi sono perso:
$ sqrt(2)x^2+(sqrt(6)-1)-sqrt(3)<0 $
...
Hai ragione: ho dimenticato di ricopiare la $x$...
$sqrt(2)x^2-x-sqrt(3)+sqrt(6)x<0->sqrt(2)x^2+(sqrt(6)-1)x-sqrt(3)<0 $
Ho cercato di risolvere la seguente disequazione, ma mi sono reso conto che con il mio metodo mi vengono fuori degli step risolutivi molto lunghi. Ancora non ho molto occhio per rendermi conto se ci sono vie risolutive molto più rapide 
$ 1+((4-x)/(2x-4))+(1/(x-3))>((x+1)/(x^2-x-2)) $
Il fattore che mi rende le cose difficili è il minimo comune multiplo che io ho fatto così:
$(x^2-x-2)(x-3)(2x-4)$
mi viene fuori una disequazione di tre chilometri lunga
$ 1+((4-x)/(2x-4))+(1/(x-3))>((x+1)/(x^2-x-2)) $
Il fattore che mi rende le cose difficili è il minimo comune multiplo che io ho fatto così:
$(x^2-x-2)(x-3)(2x-4)$
mi viene fuori una disequazione di tre chilometri lunga
Scrivila così:
$1+(4-x)/(2(x-2))+1/(x-3)>(x+1)/((x+1)(x-2))$
poi, con la condizione $x!=-1$, semplifica l'ultima frazione.
$1+(4-x)/(2(x-2))+1/(x-3)>(x+1)/((x+1)(x-2))$
poi, con la condizione $x!=-1$, semplifica l'ultima frazione.
"giammaria":
Scrivila così:
$1+(4-x)/(2(x-2))+1/(x-3)>(x+1)/((x+1)(x-2))$
poi, con la condizione $x!=-1$, semplifica l'ultima frazione.
Continuo da quì:
$1+(4-x)/(2(x-2))+1/(x-3)>1/(x-2)$
Giusto?
Mi porta alla seguente disequazione:
$ (x^2-2x-1)/(2x^2-10x+12)>0 $
Ma cè qualcosa che non va, perchè la disequazione del numeratore mi porta a delle $ x=+-sqrt(2) $ e quindi non coincide con il risultato finale, mentre la disequazione del denominatore è ok!
Dove avrò sbagliato?
Grazie mille!
Alla domanda:
La disequazione $ ax^2+bx+c>0 $ è impossibile:
a)Se $ Delta<0 $
b)Se $ Delta<0, a>0 $
c)Se $ Delta<0, a<0 $
d)Se $ Delta=0, a>0 $
Io penso sia giusta la c, cioè se $ Delta<0, a<0 $.
La disequazione $ ax^2+bx+c>0 $ è impossibile:
a)Se $ Delta<0 $
b)Se $ Delta<0, a>0 $
c)Se $ Delta<0, a<0 $
d)Se $ Delta=0, a>0 $
Io penso sia giusta la c, cioè se $ Delta<0, a<0 $.
Alla domanda:
$ |x| >|a| $ è equivalente a:
a) $ x^2 >a^2 $
b) $ x>a $
c) $ x<-a $
d) $ -a
Ho pensato che il risultato della disequazione, dovrebbe essere dato dall'unione di quattro sistemi:
$ { ( x>=0 ),( x>a ):} uu { ( x<0 ),( -x>a ):} uu { ( a>=0 ),( x>a ):}uu { ( a<0 ),( x> -a ):} $
Non ho fatto calcoli, ma ho pensato alla soluzione più vicina, "a ciò che secondo me", quella corretta.
Ho pensato alla b) $ x>a $.
$ |x| >|a| $ è equivalente a:
a) $ x^2 >a^2 $
b) $ x>a $
c) $ x<-a $
d) $ -a
Ho pensato che il risultato della disequazione, dovrebbe essere dato dall'unione di quattro sistemi:
$ { ( x>=0 ),( x>a ):} uu { ( x<0 ),( -x>a ):} uu { ( a>=0 ),( x>a ):}uu { ( a<0 ),( x> -a ):} $
Non ho fatto calcoli, ma ho pensato alla soluzione più vicina, "a ciò che secondo me", quella corretta.
Ho pensato alla b) $ x>a $.
Alla domanda:
La disequazione $ (f(x))/(g(x))>0 $ è equivalente:
a)al sistema $ { ( (f(x))>0 ),( (g(x))>0):} $
b)al sistema $ { ( (f(x))<0 ),( (g(x))<0):} $
c)all'unione dei due sistemi precedenti.
d)al sistema $ { ( (f(x))>0 ),( (g(x))<0):} $
Io ho risposto che equivale al sistema $ { ( (f(x))>0 ),( (g(x))>0):} $, perchè è quella più vicina alla realtà, (sempre secodo me)
La disequazione $ (f(x))/(g(x))>0 $ è equivalente:
a)al sistema $ { ( (f(x))>0 ),( (g(x))>0):} $
b)al sistema $ { ( (f(x))<0 ),( (g(x))<0):} $
c)all'unione dei due sistemi precedenti.
d)al sistema $ { ( (f(x))>0 ),( (g(x))<0):} $
Io ho risposto che equivale al sistema $ { ( (f(x))>0 ),( (g(x))>0):} $, perchè è quella più vicina alla realtà, (sempre secodo me)
Alla domanda:
Se $ root(3)(-x+4)=root(3)(-2/3x^2) $ allora:
a) $ S= O/ $
b) $ x=0 $
c) $ S= RR $
d)nessuna delle precedenti
Io ho risposto che a) $ S= O/ $ perchè una radice non può mai avere un radicando negativo!
Spero di non aver detto una cavolata, perchè non sono sicuro in quanto si ha una radice cubica che potrebbe avere un radicando con valore negativo, ma non sono sicuro se sto dicendo bene!
Grazie mille!
Se $ root(3)(-x+4)=root(3)(-2/3x^2) $ allora:
a) $ S= O/ $
b) $ x=0 $
c) $ S= RR $
d)nessuna delle precedenti
Io ho risposto che a) $ S= O/ $ perchè una radice non può mai avere un radicando negativo!
Spero di non aver detto una cavolata, perchè non sono sicuro in quanto si ha una radice cubica che potrebbe avere un radicando con valore negativo, ma non sono sicuro se sto dicendo bene!
Grazie mille!
1) Per l'equazione: a numeratore ottengo
$2(x-2)(x-3)+(4-x)(x-3)+2(x-2)-2(x-3)= ...= x^2-3x+2$
2) Domanda successiva: giusta la c.
3) $|x|>|a|$ equivale a $x^2>a^2$: essendo tutto non-negativo si può elevare a quadrato e, viceversa, se un quadrato è maggiore di un altro la sua radice è maggiore dell'altra (intendendo radici in senso aritmetico, cioè col valore assoluto).
4) Domanda successiva: la risposta giusta è c: una frazione è positiva quando N e D sono entrambi positivi o entrambi negativi.
5) La risposta giusta è a: trattandosi di radici con indice dispari, puoi elevare al cubo e, a calcoli fatti, ottieni $2x^2-3x+12=0$ che non ha soluzioni reali.
$2(x-2)(x-3)+(4-x)(x-3)+2(x-2)-2(x-3)= ...= x^2-3x+2$
2) Domanda successiva: giusta la c.
3) $|x|>|a|$ equivale a $x^2>a^2$: essendo tutto non-negativo si può elevare a quadrato e, viceversa, se un quadrato è maggiore di un altro la sua radice è maggiore dell'altra (intendendo radici in senso aritmetico, cioè col valore assoluto).
4) Domanda successiva: la risposta giusta è c: una frazione è positiva quando N e D sono entrambi positivi o entrambi negativi.
5) La risposta giusta è a: trattandosi di radici con indice dispari, puoi elevare al cubo e, a calcoli fatti, ottieni $2x^2-3x+12=0$ che non ha soluzioni reali.
Ti ringrazio 
, adesso medito sugli errori che ho fatto e cerco di migliorare!
Grazie mille!
, adesso medito sugli errori che ho fatto e cerco di migliorare! Grazie mille!
Ho rivisto tutti i calcoli, apparte l'errore che ho commesso nel numeratore, adesso ho il denominatore che non mi da i risultati che sono sul testo:
$ (x^2-3x+2)/(2x^2-10x+12)>0 $
Dal numeratore ottengo le $ x_1=2;x_2=1 $ mentre dal denominatore ottengo $ x_1=3;x_2=2 $
Sul testo è scritto che $ S=x<-1,-13 $ , ma io non ho ottenuto nessun risultato che sia $ -1 $ , ho rifatto più volte ma niente. Può essere che ci sia un errore di stampa nel testo, 
, sto incontrando spesso errori di battitura e delle volte dimenticano persino di scriverli.
Succede, ma delle volte mi fanno tribolare, già che io faccio errori, poi si mette il testo a farmi confondere
Grazie mille!
$ (x^2-3x+2)/(2x^2-10x+12)>0 $
Dal numeratore ottengo le $ x_1=2;x_2=1 $ mentre dal denominatore ottengo $ x_1=3;x_2=2 $
Sul testo è scritto che $ S=x<-1,-1
, sto incontrando spesso errori di battitura e delle volte dimenticano persino di scriverli. Succede, ma delle volte mi fanno tribolare, già che io faccio errori, poi si mette il testo a farmi confondere
Grazie mille!
Dovrebbe tornare il risultato invece.
Da quella disequazione ottieni come soluzioni \(\displaystyle x<1 \) o \(\displaystyle x>3 \), ma poichè avevamo posto \(\displaystyle x \not = -1 \) si ha che le soluzioni sono infine \(\displaystyle S={x}\lt-{1},-{1}\lt{x}\lt{1},{x}\gt{3} \).
Da quella disequazione ottieni come soluzioni \(\displaystyle x<1 \) o \(\displaystyle x>3 \), ma poichè avevamo posto \(\displaystyle x \not = -1 \) si ha che le soluzioni sono infine \(\displaystyle S={x}\lt-{1},-{1}\lt{x}\lt{1},{x}\gt{3} \).
"giannirecanati":
Dovrebbe tornare il risultato invece.
Da quella disequazione ottieni come soluzioni \(\displaystyle x<1 \) o \(\displaystyle x>3 \), ma poichè avevamo posto \(\displaystyle x \not = -1 \) si ha che le soluzioni sono infine \(\displaystyle S={x}\lt-{1},-{1}\lt{x}\lt{1},{x}\gt{3} \).
Perdonami ma no sto riuscendo a seguirti!
Adesso rivedo il grafico....
Per $ x<1 ^^ x>3 $ ok, ma non sto capendo il fatto che dopo aver posto per $ x != -1 $ ......... si arriva alle stesse conclusioni del testo!
Sto risolvendo il seguente sistema di disequazioni:
$ { ( (-6x^2+7x-2)/(-2x^2-3x+9)>0 ),((x(3-x)(x-sqrt(3)))/(x(2x^2-3x+1))>0 ):} $
Adesso mi chiedo se per la prima disequazione, cioè:
$ (-6x^2+7x-2)/(-2x^2-3x+9)>0 $
Posso moltiplicare per $ -1 $ e se potrà diventare
$ (6x^2-7x+2)/(2x^2+3x-9)<0 $
E' possibile?
Grazie mille!
$ { ( (-6x^2+7x-2)/(-2x^2-3x+9)>0 ),((x(3-x)(x-sqrt(3)))/(x(2x^2-3x+1))>0 ):} $
Adesso mi chiedo se per la prima disequazione, cioè:
$ (-6x^2+7x-2)/(-2x^2-3x+9)>0 $
Posso moltiplicare per $ -1 $ e se potrà diventare
$ (6x^2-7x+2)/(2x^2+3x-9)<0 $
E' possibile?
Grazie mille!
Dire che \(\displaystyle x<1 \) ed \(\displaystyle x\not = -1\) è lo stesso di dire \(\displaystyle x<-1 \) e \(\displaystyle -1
Per il sistema, tu hai moltiplicato sopra e sotto per -1, quindi il segno delle disequazione rimane lo stesso e non cambia.
Per il sistema, tu hai moltiplicato sopra e sotto per -1, quindi il segno delle disequazione rimane lo stesso e non cambia.
"giannirecanati":
Per il sistema, tu hai moltiplicato sopra e sotto per -1, quindi il segno delle disequazione rimane lo stesso e non cambia.
Quindi resta così?
$ (6x^2-7x+2)/(2x^2+3x-9)>0 $
Perchè $ (-1)/-1>0 $ se moltiplico solo il denominatore sarà $ (-1)/1<0 $ o se moltiplico solo il numeratore sarà $ (1)/-1<0 $
Come si chiama questa proprietà?
Grazie mille!
Sì esatto. 
Ok, allora continuo a risolverla:
$ { ( (6x^2-7x+2)/(2x^2+3x-9)>0 ),((x(3-x)(x-sqrt(3)))/(x(2x^2-3x+1))>0 ):} $
$ { ( (6x^2-7x+2)/(2x^2+3x-9)>0 ),(((3x-3sqrt(3)-x^2+sqrt(3)x))/(2x^2-3x+1)>0 ):} $
Adesso moltiplico per $ -1 $ la seconda disequazione, per riordirla in questo modo:
$ { ( (6x^2-7x+2)/(2x^2+3x-9)>0 ),(((x^2-(sqrt(3)-3)x+3sqrt(3)))/(2x^2-3x+1)<0 ):} $
Ho fatto bene questo ultimo passaggio?
Per il numeratore di questa:
$ ((x^2-(sqrt(3)-3)x+3sqrt(3)))/(2x^2-3x+1)<0 $
Cerco di calcolare il $ Delta $
$ Delta=(sqrt(3)-3)^2-12sqrt(3) $
$ Delta=3-6sqrt(3)+9-12sqrt(3) $
Adesso come mi conviene fare per continuare a risolverlo?
Fare così ?$ Delta=12-18sqrt(3) $ Oppure?
Grazie mille!
$ { ( (6x^2-7x+2)/(2x^2+3x-9)>0 ),((x(3-x)(x-sqrt(3)))/(x(2x^2-3x+1))>0 ):} $
$ { ( (6x^2-7x+2)/(2x^2+3x-9)>0 ),(((3x-3sqrt(3)-x^2+sqrt(3)x))/(2x^2-3x+1)>0 ):} $
Adesso moltiplico per $ -1 $ la seconda disequazione, per riordirla in questo modo:
$ { ( (6x^2-7x+2)/(2x^2+3x-9)>0 ),(((x^2-(sqrt(3)-3)x+3sqrt(3)))/(2x^2-3x+1)<0 ):} $
Ho fatto bene questo ultimo passaggio?
Per il numeratore di questa:
$ ((x^2-(sqrt(3)-3)x+3sqrt(3)))/(2x^2-3x+1)<0 $
Cerco di calcolare il $ Delta $
$ Delta=(sqrt(3)-3)^2-12sqrt(3) $
$ Delta=3-6sqrt(3)+9-12sqrt(3) $
Adesso come mi conviene fare per continuare a risolverlo?
Fare così ?$ Delta=12-18sqrt(3) $ Oppure?
Grazie mille!
Hai sbagliato un passaggio:
Al numeratore della seconda disequazione invece viene: \(\displaystyle x^2-(\sqrt{3}+3)x+3\sqrt{3} \). Da cui ricavi ad occhio che le soluzioni sono \(\displaystyle x_{1,2}=3,\sqrt 3 \).
"Bad90":
Adesso moltiplico per $ -1 $ la seconda disequazione, per riordirla in questo modo:
$ { ( (6x^2-7x+2)/(2x^2+3x-9)>0 ),(((x^2-(sqrt(3)-3)x+3sqrt(3)))/(2x^2-3x+1)<0 ):} $
Al numeratore della seconda disequazione invece viene: \(\displaystyle x^2-(\sqrt{3}+3)x+3\sqrt{3} \). Da cui ricavi ad occhio che le soluzioni sono \(\displaystyle x_{1,2}=3,\sqrt 3 \).
"giannirecanati":
Hai sbagliato un passaggio:
[quote="Bad90"]Adesso moltiplico per $ -1 $ la seconda disequazione, per riordirla in questo modo:
$ { ( (6x^2-7x+2)/(2x^2+3x-9)>0 ),(((x^2-(sqrt(3)-3)x+3sqrt(3)))/(2x^2-3x+1)<0 ):} $
Al numeratore della seconda disequazione invece viene: \(\displaystyle x^2-(\sqrt{3}+3)x+3\sqrt{3} \). Da cui ricavi ad occhio che le soluzioni sono \(\displaystyle x_{1,2}=3,\sqrt 3 \).[/quote]
Accipicchia, ad occhio?
Come hai fatto?
Ti ringrazio!
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