Equazioni e Disequazioni irrazionali

[Bad90]

Ho cominciato oggi a studiare le equazioni irrazionali, mi chiedevo:

Nell'equazione

$ sqrt(6x-5)=-x $

irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:

$ x^2-6x+5=0 $

Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:

Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $

Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $

Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $


Grazie mille!

[chiaraotta1]

"Bad90":...
Quindi utilizzando gli insiemi, si può pensare in questo modo?
$ A uu B=(45) $

${45} ={x>4}$

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]...
Quindi utilizzando gli insiemi, si può pensare in questo modo?
$ A uu B=(45) $

${45} ={x>4}$[/quote]
Scusami ma in base a:
Come esempio elementare si possono considerare due insiemi finiti (cioè con un numero finito di elementi) $A = {1, 2, 3} $e $B = {2, 3, 4}$. In questo caso si ottiene l'unione prendendo tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi:

$ A uu B={1, 2, 3, 4} $

Ma in questo caso ${45} ={x>4}$ perchè non si è preso pure $ 5 $
Grazie mille!

[chiaraotta1]

"Bad90":
.....
Questo metodo si usa solo quando $sqrt(A(x))>B(x)$ oppure $sqrt(A(x))>=B(x)$ ma non quando $sqrt(A(x))
Ho compreso bene?
......

Sì .....
Se hai la disequazione
$sqrt(A(x)) il caso $B(x)<0$ non può esserci.
Se ci fosse, avresti che una radice quadrata ($sqrt(A(x))$), che può essere soltanto $>=0$, sarebbe $<$ di una grandezza $<0$ ($B(x)$). Ma questo è impossibile!!!

[chiaraotta1]

"Bad90":..... in questo caso ${45} ={x>4}$ perchè non si è preso pure $ 5 $
Grazie mille!

Scusa ma certo che si è preso anche $5$: $5$ appartiene all'insieme dei numeri $>4$!!!!

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]..... in questo caso ${45} ={x>4}$ perchè non si è preso pure $ 5 $
Grazie mille!

Scusa ma certo che si è preso anche $5$: $5$ appartiene all'insieme dei numeri $>4$!!!![/quote]
Ma questa è una cosa che non si può rappresentare graficamente?

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]..... in questo caso ${45} ={x>4}$ perchè non si è preso pure $ 5 $
Grazie mille!

Scusa ma certo che si è preso anche $5$: $5$ appartiene all'insieme dei numeri $>4$!!!![/quote]
Hai ragione, sono una testa dura

Quindi se ho ${45}$ da cinque in poi, ovviamente di questi due casi basterà dire $ x>4 $

Va bene quello che ho detto?

[chiaraotta1]

"Bad90":
.....
Quindi se ho ${45}$ da cinque in poi, ovviamente di questi due casi basterà dire $ x>4 $

Va bene quello che ho detto?

Sìììììììì ... se ai numeri fra 4 (escluso) e 5 (compreso) unisci quelli da 5 (escluso) in su ottieni tutti i numeri da 4 (escluso) in su, non ti pare?

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]
.....
Quindi se ho ${45}$ da cinque in poi, ovviamente di questi due casi basterà dire $ x>4 $

Va bene quello che ho detto?

Sìììììììì ... se ai numeri fra 4 (escluso) e 5 (compreso) unisci quelli da 5 (escluso) in su ottieni tutti i numeri da 4 (escluso) in su, non ti pare?[/quote]
Ok! Ho compreso!
Grazie mille!

[Bad90]

Ho risolto la seguente disequazione, ma non sto riuscendo a capire il suo risultato:

$ x-1-sqrt(x^2+2x+5)>2 $

ho svolto i seguenti passaggi:

$ sqrt(x^2+2x+5)
$ { ( x^2+2x+5>=0 ),( x-3>=0 ),( x^2+2x+5<(x-3)^2 ):} $

$ { ( AA x in RR ),( x>=3),( x^2+2x+5
$ { ( AA x in RR ),( x>=3),( x<1/2 ):} $

Il risultato del testo è $ S= O/ $ , io sarei daccordo nel risultato solo se avessi $( x>=3),( x<1/2 )$, ma dato che ce' anche $ AA x in RR $, come farà ad essere $ S= O/ $

Grazie mille!

[Gi81]

Tu devi chiederti: ci sono valori reali che vanno bene contemporaneamente per tutte e tre le disequazioni?
E' questo che significa "sistema di tre disequazioni"

[Bad90]

"Gi8":Tu devi chiederti: ci sono valori reali che vanno bene contemporaneamente per tutte e tre le disequazioni?
E' questo che significa "sistema di tre disequazioni"

Scusami, ma io ho impostato lo schema ed ho cercato i settori verificati contemporaneamente, e se ho un caso che è sempre verificato, un caso che è verificato per $ x>=3 $ , ed un caso verificato per $ x<1/2 $ , io avrò contemporaneamente verificato $ AA x in RR $ con linea continua che attraversa tutto il grafico, con $ x>=3 $ e anche con $ x<1/2 $.

Scusami ma non sto capendo quello che mi hai detto, sempre per colpa mia

Grazie mille!

[Gi81]

La prima disequazione è verificata per ogni $x$ reale.
La seconda è verificata per ogni $x$ maggiore o uguale a $3$.
La terza disequazione è verificata per ogni $x$ minore di $1/2$.

Domanda: ci sono $x$ che verificano contemporaneamante tutte e tre le disequazioni?

[Bad90]

"Gi8":La prima disequazione è verificata per ogni $x$ reale.
La seconda è verificata per ogni $x$ maggiore o uguale a $3$.
La terza disequazione è verificata per ogni $x$ minore di $1/2$.

Domanda: ci sono $x$ che verificano contemporaneamante tutte e tre le disequazioni?

No!


Ma i due casi che si verificano contemporaneamente, non potrebbero essere per ogni $x$ reale con ogni $x$ maggiore o uguale a $3$, oppure per ogni $x$ reale con ogni $x$ minore di $1/2$.

Non è possibile se si verificano due casi su tre?

[Bad90]

Vorrei capire meglio la seguente disequazione:

$ sqrt(2x-1/2)<=sqrt(x/2-3) $

ho risolto la disequazione in questo modo:

$ sqrt((4x-1)/2)<=sqrt((x-6)/2) $

$ { ( (4x-1)/2>=0 ),( (x-6)/2>=0 ),( (4x-1)/2<=(x-6)/2 ):} $

$ { ( 4x-1>=0 ),( x-6>=0 ),( 4x-1<=x-6):} $

$ { ( x>=1/4 ),( x>=6 ),( x<=-5/3):} $

Il testo mi dice che la $ S= O/ $ , è simile all'esercizio precedente, ma adesso mi chiedo......

In un sistema di 3 disequazioni, per avere un caso in cui è verificato un risultato, devo avere per forza tutti e 3 i casi che si verifichino contemporaneamente?
Ma se ho due casi che si verificano per un settore del grafico, non è un caso verificato?


Grazie mille!

[Bad90]

Ho risolto la seguente disequazione, ma correggetemi se ho sbagliato qualcosa, anche perchè è un altro caso di $ S= O/ $ che non mi è tanto chiaro:

$ x+1
$ root(3)(x^3+2x^2+3x)>x+1 $

ho impostato il seguente sistema:

$ { ( x^3+2x^2+3x>=0 ),( x+1>=0 ),(x^3+2x^2+3x>(x+1)^3 ):} $

Spero di aver impostato bene il sistema

Ho pensato che $ x^3+2x^2+3x>=0 $ è inutile perchè è sempre $ >=0 $ , oppure no?
Posso risolverla in questo modo?

$ x(x^2+2x+3)>=0 =>S=x>=0^^ AA x in RR $

[chiaraotta1]

"Bad90":Vorrei capire meglio la seguente disequazione:
$ sqrt(2x-1/2)<=sqrt(x/2-3) $
......
$ { ( x>=1/4 ),( x>=6 ),( x<=-5/3):} $
Il testo mi dice che la $ S= O/ $

Se le soluzioni delle disequazioni del sistema sono queste

$ { ( x>=1/4 ),( x>=6 ),( x<=-5/3):} $,

allora il grafico delle soluzioni è questo:

$|( , -5/3, , 1/4, , 6, , ),(, \|, , \|, =, \|,= , x>=1/4),( , \|, , \|, , \|, = , x>=6), (=, \|, , \|, , \|, , x<=-5/3),( , \|, , \|, , \|, , text(intersezione))|$.

Non c'è nessuna regione in cui tutte e tre le 3 disequazioni abbiano soluzioni che si sovrappongano.
Quindi $S=O/$.

[chiaraotta1]

"Bad90":
....
$ x+1 .....

C'è una radice cubica, non quadrata!
$x+1
$(x+1)^3 $x^3+3x^2+3x+1 $x^2+1<0$
$a>0,\ Delta <0, text( verso)<0->text( impossibile)$
$S=O/$.

[Bad90]

"chiaraotta":Se le soluzioni delle disequazioni del sistema sono queste

$ { ( x>=1/4 ),( x>=6 ),( x<=-5/3):} $,

allora il grafico delle soluzioni è questo:

$|( , -5/3, , 1/4, , 6, , ),(, \|, , \|, =, \|,= , x>=1/4),( , \|, , \|, , \|, = , x>=6), (=, \|, , \|, , \|, , x<=-5/3),( , \|, , \|, , \|, , text(intersezione))|$.

Non c'è nessuna regione in cui tutte e tre le 3 disequazioni abbiano soluzioni che si sovrappongano.
Quindi $S=O/$.

Allora sarà io che non ho le idee chiare....

Provo a dire ciò che ho compreso.....

Quindi se non si intersecano tutte e tre le soluzioni contemporaneamente, non si hanno soluzioni?

Grazie mille!

[Bad90]

"chiaraotta":
C'è una radice cubica, non quadrata!
$x+1
$(x+1)^3 $x^3+3x^2+3x+1 $x^2+1<0$
$a>0,\ Delta <0, text( verso)<0->text( impossibile)$
$S=O/$.

Accipicchia, ti ringrazio per avermi evidenziato l'errore!

[Bad90]

Ho risolto questa:

$ sqrt(x^2-1)<=sqrt(3x+3) $

$ { ( x^2-1>=0 ),( 3x+3>=0 ),( x^2-1<=3x+3 ):} $

$ { ( AA x in RR ),( x>=-1 ),( x^2-3x-4<=0 ):} $

$ { ( AA x in RR ),( x>=-1 ),( -1<=x<=4 ):} $

In base al grafico che ho fatto, ho ottenuto il seguente risultato $ S=-1<=x<=4 ^^x=-1 $ , ma non capisco perchè il testo mi dice che $ S=1<=x<=4 ^^x=-1 $.
Dove ho sbagliato?

Grazie mille!