Equazioni e Disequazioni irrazionali
Ho cominciato oggi a studiare le equazioni irrazionali, mi chiedevo:
Nell'equazione
$ sqrt(6x-5)=-x $
irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:
$ x^2-6x+5=0 $
Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:
Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $
Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $
Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
Grazie mille!
Nell'equazione
$ sqrt(6x-5)=-x $
irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:
$ x^2-6x+5=0 $
Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:
Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $
Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $
Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
Grazie mille!
Risposte
Perfetto, sono riuscito a risolverla 
....
Dalla traccia:
$ sqrt(2+x)+sqrt(1-x)=sqrt(3) $
arrivo a
$ 2x-2=2sqrt(3-3x) $
$ 4x^2-8x+4=12-12x $
$ 4x^2+4x-8=0 $
$ x^2+x-2=0 $
$ Delta=9 $
$ x_1=1;x_2=-2 $
Vi ringrazio!
.... Dalla traccia:
$ sqrt(2+x)+sqrt(1-x)=sqrt(3) $
arrivo a
$ 2x-2=2sqrt(3-3x) $
$ 4x^2-8x+4=12-12x $
$ 4x^2+4x-8=0 $
$ x^2+x-2=0 $
$ Delta=9 $
$ x_1=1;x_2=-2 $
Vi ringrazio!
Ho una curiosità, riguardo a questa equazione:
$ sqrt(x-3)+sqrt(x^2-3x)=0 $
Non ho avuto problemi a risolverla, sono arrivato a questa:
$ x^2-4x+3=0 $
Ho ricavato le due $ x $ che sono $ x_1=3 $ e $ x_2=1 $ , perfetto...
Ma perchè il mio testo mi da solo il risultato $ x=3 $
Ho fatto la verifica con $ 3 $ e mi porta a $ 0=0 $ , ho fatto la verifica con $ 1 $ e mi porta a $ -2=-2 $ , penso che sia giusta anche la soluzione $ x=1 $ 
Entrambi mi portano ad una uguaglianza, perchè il testo non mi dice entrambi?
Io penso siano giusti entrambi
$ sqrt(x-3)+sqrt(x^2-3x)=0 $
Non ho avuto problemi a risolverla, sono arrivato a questa:
$ x^2-4x+3=0 $
Ho ricavato le due $ x $ che sono $ x_1=3 $ e $ x_2=1 $ , perfetto...
Ma perchè il mio testo mi da solo il risultato $ x=3 $
Ho fatto la verifica con $ 3 $ e mi porta a $ 0=0 $ , ho fatto la verifica con $ 1 $ e mi porta a $ -2=-2 $ , penso che sia giusta anche la soluzione $ x=1 $
Entrambi mi portano ad una uguaglianza, perchè il testo non mi dice entrambi?
Io penso siano giusti entrambi
"Bad90":
....
$ sqrt(x-3)+sqrt(x^2-3x)=0 $
.....
Ho ricavato le due $ x $ che sono $ x_1=3 $ e $ x_2=1 $ , perfetto...
..... ho fatto la verifica con $ 1 $ e mi porta a $ -2=-2 $ , ....
Se sostituisci $1$ alla $x$ in $ sqrt(x-3)$ ti ritrovi $sqrt(1-3)=sqrt(-2)$ che non esiste ....
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]
....
$ sqrt(x-3)+sqrt(x^2-3x)=0 $
.....
Ho ricavato le due $ x $ che sono $ x_1=3 $ e $ x_2=1 $ , perfetto...
..... ho fatto la verifica con $ 1 $ e mi porta a $ -2=-2 $ , ....
Se sostituisci $1$ alla $x$ in $ sqrt(x-3)$ ti ritrovi $sqrt(1-3)=sqrt(-2)$ che non esiste ....[/quote]
Allora una volta ottenuto i risultati, vanno verificati sotto il segno di radice?
Grazie mille!
"Bad90":
....
Allora una volta ottenuto i risultati, vanno verificati sotto il segno di radice?....
Se vuoi controllare se le presunte soluzioni lo sono effettivamente, devi fare la verifica nell'equazione di partenza!!!
Oppure, un'altra strada, è quella di imporre delle condizioni da associare all'equazione. Quella più ovvia è che i radicandi siano $>=0$.
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]
....
Allora una volta ottenuto i risultati, vanno verificati sotto il segno di radice?....
Se vuoi controllare se le presunte soluzioni lo sono effettivamente, devi fare la verifica nell'equazione di partenza!!!
Oppure, un'altra strada, è quella di imporre delle condizioni da associare all'equazione. Quella più ovvia è che i radicandi siano $>=0$.[/quote]
Ok, messaggio ricevuto
Ti ringrazio!
Nel risolvere la seguente:
$ 3-sqrt(x-1)=sqrt(3x-2) $
sono arrivato al seguente punto:
$ 4x^2-40x+100=6sqrt(x-1) $
che poi è
$ (2x-10)^2=6sqrt(x-1) $
$ (2x-10)^4=36(x-1) $
Che potrebbe essere scritta anche
$ (2x-10)^2(2x-10)^2=36(x-1) $
come potrei continuare a risolverla per essere più veloce?
Io ho utilizzato il metodo risolvendola ed arrivando a
$ 16x^4-320x^3+1680x^2-836x+136=0 $
ma non ho continuato a risolverla perchè penso non sia la via giusta per un esercizio così semplice....
Come potrei risolverla alternativamente?
Grazie mille!
$ 3-sqrt(x-1)=sqrt(3x-2) $
sono arrivato al seguente punto:
$ 4x^2-40x+100=6sqrt(x-1) $
che poi è
$ (2x-10)^2=6sqrt(x-1) $
$ (2x-10)^4=36(x-1) $
Che potrebbe essere scritta anche
$ (2x-10)^2(2x-10)^2=36(x-1) $
come potrei continuare a risolverla per essere più veloce?
Io ho utilizzato il metodo risolvendola ed arrivando a
$ 16x^4-320x^3+1680x^2-836x+136=0 $
ma non ho continuato a risolverla perchè penso non sia la via giusta per un esercizio così semplice....
Come potrei risolverla alternativamente?
Grazie mille!
Non mi tornano i conti:
\(\displaystyle {3}-\sqrt{{{x}-{1}}}=\sqrt{{{3}{x}-{2}}} \)
C.E. \(\displaystyle x\ge 1 \)
\(\displaystyle 9+x-1-6\sqrt{x-1}=3x-2 \)
\(\displaystyle -2x+10=6\sqrt{x-1} \)
Nuove C.E. \(\displaystyle 1 \le x \le 5 \)
\(\displaystyle 5-x=3\sqrt{(x-1)} \)
Adesso, se non ho cannato i conti, dovrebbe essere semplice da risolvere.
\(\displaystyle {3}-\sqrt{{{x}-{1}}}=\sqrt{{{3}{x}-{2}}} \)
C.E. \(\displaystyle x\ge 1 \)
\(\displaystyle 9+x-1-6\sqrt{x-1}=3x-2 \)
\(\displaystyle -2x+10=6\sqrt{x-1} \)
Nuove C.E. \(\displaystyle 1 \le x \le 5 \)
\(\displaystyle 5-x=3\sqrt{(x-1)} \)
Adesso, se non ho cannato i conti, dovrebbe essere semplice da risolvere.
"giannirecanati":
Non mi tornano i conti:
\(\displaystyle {3}-\sqrt{{{x}-{1}}}=\sqrt{{{3}{x}-{2}}} \)
C.E. \(\displaystyle x\ge 1 \)
\(\displaystyle 9+x-1-6\sqrt{x-1}=3x-2 \)
\(\displaystyle -2x+10=6\sqrt{x-1} \)
Nuove C.E. \(\displaystyle 1 \le x \le 5 \)
\(\displaystyle 5-x=3\sqrt{(x-1)} \)
Adesso, se non ho cannato i conti, dovrebbe essere semplice da risolvere.
Alla fine ci sono riuscito anche se mi ha fatto tribolare, ti ringrazio.....
Ma la prima $ C.E. $ sono riuscito a comprenderla, ma quando hai scritto nuove $ C.E. $ , da dove le hai prese?
Come ci sei arrivato a queste? Nuove C.E. \(\displaystyle 1 \le x \le 5 \)
Grazie mille!
Ti spiego il perché delle nuove condizioni.
Prendi l'equazione che viene alla fine:
\(\displaystyle x^2-19x+34=0 \) da cui \(\displaystyle x_{1,2}=2,17 \).
Se scegli \(\displaystyle x=17 \) e lo sostituisci nell'equazione iniziale trovi: \(\displaystyle 3-4=\sqrt {49} \) da cui \(\displaystyle -1=7 \) che è impossibile.
Quindi \(\displaystyle x=17 \) non è accettabile.
Nel punto:
\(\displaystyle 5-x=3\sqrt{(x-1)} \) chiaramente dobbiamo fare in modo che la radice ad indice pari esista nei reali quindi bisogna porre: \(\displaystyle x-1 \ge 0 \), anche il secondo membro per contro deve essere nonnegativo, se lo fosse l'equazione sarebbe impossibile, quindi \(\displaystyle 5-x \ge 0 \), facendo le intersezione tra le due disequazioni vengono fuori le C.E. "finali" cioè \(\displaystyle 1\le x \le 5 \).
Prendi l'equazione che viene alla fine:
\(\displaystyle x^2-19x+34=0 \) da cui \(\displaystyle x_{1,2}=2,17 \).
Se scegli \(\displaystyle x=17 \) e lo sostituisci nell'equazione iniziale trovi: \(\displaystyle 3-4=\sqrt {49} \) da cui \(\displaystyle -1=7 \) che è impossibile.
Quindi \(\displaystyle x=17 \) non è accettabile.
Nel punto:
\(\displaystyle 5-x=3\sqrt{(x-1)} \) chiaramente dobbiamo fare in modo che la radice ad indice pari esista nei reali quindi bisogna porre: \(\displaystyle x-1 \ge 0 \), anche il secondo membro per contro deve essere nonnegativo, se lo fosse l'equazione sarebbe impossibile, quindi \(\displaystyle 5-x \ge 0 \), facendo le intersezione tra le due disequazioni vengono fuori le C.E. "finali" cioè \(\displaystyle 1\le x \le 5 \).
"giannirecanati":
.....
Nel punto:
\(\displaystyle 5-x=3\sqrt{(x-1)} \) .....
anche il secondo membro per contro deve essere nonnegativo, .... quindi \(\displaystyle 5-x \le 0 \), .....
Forse doveva essere .... anche il primo membro per contro deve essere nonnegativo ... quindi $5-x>=0$ .....
Oh, sì hai ragione... che sbadato. Avevo sbagliato il comando in tex. Edito subito. Grazie per avermelo detto.
Vi ringrazio, adesso è chiarissimo!
Ho risolto la seguente:
$ sqrt(x+2)
Utilizzando questo sistema
$ { ( x+2>=0 ),( x>=0 ),( x+2
Si arriva quì:
$ { ( x>=-2 ),( x>=0 ),( x<-1;x>2 ):} $
Adesso faccio il grafico dei segni, e dovrò cercare i settori che si intersecano?
Io ho cercato le intersezioni e ho trovato che tutte e tre le disequazioni, hanno zone comuni dopo il $ 2 $ ed ho pensato che la soluzione sia $ x>2 $ !
Dite che ho fatto bene?
Grazie mille!
$ sqrt(x+2)
Utilizzando questo sistema
$ { ( x+2>=0 ),( x>=0 ),( x+2
Si arriva quì:
$ { ( x>=-2 ),( x>=0 ),( x<-1;x>2 ):} $
Adesso faccio il grafico dei segni, e dovrò cercare i settori che si intersecano?
Io ho cercato le intersezioni e ho trovato che tutte e tre le disequazioni, hanno zone comuni dopo il $ 2 $ ed ho pensato che la soluzione sia $ x>2 $ !
Dite che ho fatto bene?
Grazie mille!
Ho trovato sul mio testo una parte in cui viene detto che elevando al quadrato una equazione tipo
$ sqrt(A(x))=B(x) $
Non vi è il problema di verificare le $ C.E. $ , perchè ovviamente si avranno sempre valori solo positivi, quindi si potranno risolvere direttamente senza fare troppe ipotesi. Ecco perchè il mio testo non si poneva il tanto il problema delle $ C.E. $ , ma penso che più avanti al programma, troverò le altre modalità risolutive.
$ sqrt(A(x))=B(x) $
Non vi è il problema di verificare le $ C.E. $ , perchè ovviamente si avranno sempre valori solo positivi, quindi si potranno risolvere direttamente senza fare troppe ipotesi. Ecco perchè il mio testo non si poneva il tanto il problema delle $ C.E. $ , ma penso che più avanti al programma, troverò le altre modalità risolutive.
Scusate, ma ho un dubbio......
Sto risolvendo degli esercizi dove mi viene detto:
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali utilizzando le disequazioni
Ma cosa significa?
Provo a dire quello che ho compreso io....
Es. risolvo l'equazione ed ottengo le $ x_1 $ e $ x_2 $ , disponendo di una disequazione, che mi dirà $ >= $ , $ <= $ ....... verifico le $ x_1 $ e $ x_2 $ se saranno $ >= $ , $ <= $....... e darò la conclusione!
E' giusto il metodo risolutivo?
Esempio....
$ sqrt(3x+16)-x-2=0 $
$ sqrt(3x+16)=x+2 $
$ { ( 3x+16=(x+2)^2 ),( 3x+16>=0 ):} $
Arriverò a
$ { ( x^2+x-12=0 ),( x>=-16/3 ):} $
Risolvo l'equazione ed avrò:
$ x_1=-4 $ e $ x_2=3 $
Adesso mi chiederò, grazie alla disequazione quale è vero e quale no, quindi
$ 3>=-16/3 $ (si è vera)
Poi
$ -4>=-16/3 $ (secondo me è vera anche questa, ma perchè il testo non la mette nelle soluzioni?
Ecco perchè secondo me è vera:
$ -4>=-5,33 $ effettivamente $ -4 $ è più grande di $ -5,33 $ ,
Ho notato che anche in molti altri esercizi il risultato è uno solo quando secondo me varrebbero entrambi!
Grazie mille!
Sto risolvendo degli esercizi dove mi viene detto:
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali utilizzando le disequazioni
Ma cosa significa?
Provo a dire quello che ho compreso io....
Es. risolvo l'equazione ed ottengo le $ x_1 $ e $ x_2 $ , disponendo di una disequazione, che mi dirà $ >= $ , $ <= $ ....... verifico le $ x_1 $ e $ x_2 $ se saranno $ >= $ , $ <= $....... e darò la conclusione!
E' giusto il metodo risolutivo?
Esempio....
$ sqrt(3x+16)-x-2=0 $
$ sqrt(3x+16)=x+2 $
$ { ( 3x+16=(x+2)^2 ),( 3x+16>=0 ):} $
Arriverò a
$ { ( x^2+x-12=0 ),( x>=-16/3 ):} $
Risolvo l'equazione ed avrò:
$ x_1=-4 $ e $ x_2=3 $
Adesso mi chiederò, grazie alla disequazione quale è vero e quale no, quindi
$ 3>=-16/3 $ (si è vera)
Poi
$ -4>=-16/3 $ (secondo me è vera anche questa, ma perchè il testo non la mette nelle soluzioni?
Ecco perchè secondo me è vera:
$ -4>=-5,33 $ effettivamente $ -4 $ è più grande di $ -5,33 $ ,
Ho notato che anche in molti altri esercizi il risultato è uno solo quando secondo me varrebbero entrambi!
Grazie mille!
Non è giusto; quello che devi imporre è che i due membri abbiano lo stesso segno. E' abbastanza abituale imporre anche le CE ma, come ti dice il libro, non è necessario perché il radicando risulta uguale ad un quadrato e quindi non-negativo. Di conseguenza la tua equazione si risolve col sistema
${(3x+16=(x+2)^2),(x+2>=0):}$
Non è sbagliato aggiungervi $3x+16>=0$ ma è del tutto inutile.
Puoi controllare che $x=-4$ non è soluzione anche facendo la verifica: ottieni
$sqrt(-12+16)=-4+2=>2=-2$, falso.
L'esercizio precedente è giusto.
${(3x+16=(x+2)^2),(x+2>=0):}$
Non è sbagliato aggiungervi $3x+16>=0$ ma è del tutto inutile.
Puoi controllare che $x=-4$ non è soluzione anche facendo la verifica: ottieni
$sqrt(-12+16)=-4+2=>2=-2$, falso.
L'esercizio precedente è giusto.
"giammaria":
Non è giusto; quello che devi imporre è che i due membri abbiano lo stesso segno.
Scusami ma non ho capito questo punto
"giammaria":
Di conseguenza la tua equazione si risolve col sistema
${(3x+16=(x+2)^2),(x+2>=0):}$
Non è sbagliato aggiungervi $3x+16>=0$ ma è del tutto inutile.
Puoi controllare che $x=-4$ non è soluzione.
Ma questo $x=-4$ deriva da questo $(x+2)^2)$
Hai pienamente ragione sul fatto che sia inutile il fatto che imporre $ 3x+16>=0 $ perchè se in partenza si ha $ sqrt(3x+16)=.... $ non potrà mai essere negativo, e quindi basta concentrarsi su ciò che potrebbe essere negativo, cioè $ x+2>=0 $ .
Il punto che non mi è chiaro è il seguente:
Cosa è che mi fà capire il risultato corretto?
Vi ringrazio anticipatamente!
E' giusto il metodo risolutivo?
Esempio....
$ sqrt(3x+16)-x-2=0 $
$ sqrt(3x+16)=x+2 $
$ { ( 3x+16=(x+2)^2 ),( 3x+16>=0 ):} $
Arriverò a
$ { ( x^2+x-12=0 ),( x>=-16/3 ):} $
Risolvo l'equazione ed avrò:
$ x_1=-4 $ e $ x_2=3 $
Adesso mi chiederò, grazie alla disequazione quale è vero e quale no, quindi
$ 3>=-16/3 $ (si è vera)
Poi
$ -4>=-16/3 $ (secondo me è vera anche questa, ma perchè il testo non la mette nelle soluzioni?
Ecco perchè secondo me è vera:
$ -4>=-5,33 $ effettivamente $ -4 $ è più grande di $ -5,33 $ ,
Cosa è che mi fà capire il risultato corretto?
Vi ringrazio anticipatamente!
"Bad90":
Hai pienamente ragione sul fatto che sia inutile il fatto che imporre $ 3x+16>=0 $ perchè se in partenza si ha $ sqrt(3x+16)=.... $ non potrà mai essere negativo, e quindi basta concentrarsi su ciò che potrebbe essere negativo, cioè $ x+2>=0 $ .
Piccola rettifica: l'inutilità non nasce dall'equazione di partenza ma dal passaggio successivo, secondo il quale l'equazione che risolviamo afferma che $3x+16$ è uguale a un quadrato. A parte questo, se ti è chiaro quello che dici non dovresti avere dubbi: ottieni $x>=-2$ quindi accetti solo le soluzioni maggiori o uguali a $-2$; scarti il $-4$ perché gli è minore.
La difficoltà nasce dal fatto che elevando a quadrato spesso si introducono anche altre soluzioni e te ne puoi convincere con l'equazione (già risolta) $x=3$; elevando a quadrato ottieni $x^2=9$ e quindi anche la soluzione $x=-3$. Dobbiamo elevare per eliminare la radice ma poi dobbiamo buttare via queste altre soluzioni e lo facciamo controllando che i due membri abbiano lo stesso segno: il membro con la radice è positivo, quindi deve esserlo anche l'altro.
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