Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.
Esercizio 1
$ 2sen^2x -1 = 0 $
Come si risolvono
Ho pensato di fare in questo modo:
$ sen^2x = 1/2 $
$ senx = +-sqrt(2)/2 $
E' giusto imporre le condizioni di esistenza in questo modo
$ C.E. : AA a in R | -1
Quindi le soluzioni sono $ senx =-sqrt(2)/2 vv senx =sqrt(2)/2 $
Ma poi non sono sicuro su come continuare
Ciò che mi viene di dire intuitivamente è che se il valore che mi interessa deve essere incluso tra $ 45^o $ e $ -45^o $ posso solo pensare che la soluzione è:
$ x=45^o +k90^o $
Dico questo perchè devo avere un valore tale che si ripete ogni $ 90^o $ ! Ma poi non bisogna considerare anche questo:
$ x=180^o - alpha+k360^o $
Ancora non mi sono tanto chiare queste equazioni
$ 2sen^2x -1 = 0 $
Come si risolvono
Ho pensato di fare in questo modo:
$ sen^2x = 1/2 $
$ senx = +-sqrt(2)/2 $
E' giusto imporre le condizioni di esistenza in questo modo
$ C.E. : AA a in R | -1
Quindi le soluzioni sono $ senx =-sqrt(2)/2 vv senx =sqrt(2)/2 $
Ma poi non sono sicuro su come continuare
Ciò che mi viene di dire intuitivamente è che se il valore che mi interessa deve essere incluso tra $ 45^o $ e $ -45^o $ posso solo pensare che la soluzione è:
$ x=45^o +k90^o $
Dico questo perchè devo avere un valore tale che si ripete ogni $ 90^o $ ! Ma poi non bisogna considerare anche questo:
$ x=180^o - alpha+k360^o $
Ancora non mi sono tanto chiare queste equazioni
Risposte
Hai ridotto la tua equazione a due equazioni di tipo elementare che vanno risolte separatamente :
1)$senx= sqrt2/2$ e 2)$senx=-sqrt2/2$ che vanno risolte separatamente.
La prima ha per soluzione $x=45°+k360°$ e $x=(180°-45°) + k360°=135°+k360°$
la seconda invece $x=(180°+45°)+k360°= 225°+k360°$ e $x=(360°-45°)+k360°=315°+k360°$
per quanto riguarda la condizione di esistenza che poni , non ha alcun significato perchè è la funzione sen che assume valori compresi tra -1 e 1
1)$senx= sqrt2/2$ e 2)$senx=-sqrt2/2$ che vanno risolte separatamente.
La prima ha per soluzione $x=45°+k360°$ e $x=(180°-45°) + k360°=135°+k360°$
la seconda invece $x=(180°+45°)+k360°= 225°+k360°$ e $x=(360°-45°)+k360°=315°+k360°$
per quanto riguarda la condizione di esistenza che poni , non ha alcun significato perchè è la funzione sen che assume valori compresi tra -1 e 1
Ovviamente per individuare le soluzioni devi tenere conto di ciò che hai studiato sugli archi associati
"macina18":
Ovviamente per individuare le soluzioni devi tenere conto di ciò che hai studiato sugli archi associati
Ok, effettivamente le soluzioni sono infinite e si ripetono ogni $ 90^o $ , solo che il testo mi dice che la soluzione deve essere $ x=45^o +k90^o$
Penso sia lo stesso dei risultati che hai scritto tu! Giusto?
Certo .
Che risate mi sto facendo! La soluzione del tuo esercizio è esattamente quella che avevo messo al punto C dell'esercizio di qualche giorno fa. Hai già avuto una risposta completa da macina18 ma i latini dicevano "repetita iuvant" (=le cose ripetute aiutano) e quindi vi aggiungo la mia.
La discussione si fa solo nei seguenti casi:
- c'è una frazione ed allora il denominatore deve essere diverso da zero;
- c'è una tangente o una cotangente ed allora il loro argomento non deve essere uno di quelli per cui questa funzione non esiste. Ad esempio, se nel testo ci fosse $tg(x+pi/3)$ dovresti imporre $x+pi/3!=pi/2+k pi->x!=pi/6+k pi$
I punti esclusi dal CE vanno riportati sul cerchio goniometrico come pallini vuoti. Alla fine dell'esercizio, riporti sullo stesso cerchio le soluzioni; se una di esse cade su un pallino vuoto, devi scartarla.
Ora risolvi l'equazione ed il primo passo è ottenere una o più equazioni goniometriche elementari. I modi per compierlo sono:
- scrivere il tutto come un prodotto uguagliato a zero e poi applicare la legge di annullamento del prodotto. Non capita molto spesso di poterlo fare, ma questo modo non va dimenticato;
- cercare di avere ovunque la stessa funzione con lo stesso argomento e per questo ti serviranno le due formule fondamentali; evita con cura di introdurre radici perché complicano molto le cose. Consideri poi come incognita quella funzione (le prime volte può forse esserti utile fare una sostituzione, chiamandola $y$) e ne ricavi il valore.
Qualche tipo di equazione (lineare, omogenea) richiede qualche particolare accorgimento ma il tuo libro ne parlerà di sicuro; per ora non pensarci.
Il primo passo termina con una funzione eguagliata ad uno o più valori, cioè con una o più equazioni elementari e le risolvi una per una, riportando le soluzioni sul cerchio; il caso più frequente è che ad ogni equazione elementare corrispondano due punti.
Ora l'esercizio si può considerare finito ma si preferisce osservare i punti trovati e chiedersi se la soluzione può essere scritta in modo più elegante; se la risposta è sì, lo si fa. E' quello che succede nel tuo esercizio: la soluzione è data da 4 punti sul cerchio e l'esercizio si può considerare finito scrivendo quei 4 valori seguiti dal solito $+k*360°$; notando però che con rotazioni di 90° si passa dalla prima soluzione alle successive, si preferisce riassumere quelle 4 formule nell'unica data dal libro.
La discussione si fa solo nei seguenti casi:
- c'è una frazione ed allora il denominatore deve essere diverso da zero;
- c'è una tangente o una cotangente ed allora il loro argomento non deve essere uno di quelli per cui questa funzione non esiste. Ad esempio, se nel testo ci fosse $tg(x+pi/3)$ dovresti imporre $x+pi/3!=pi/2+k pi->x!=pi/6+k pi$
I punti esclusi dal CE vanno riportati sul cerchio goniometrico come pallini vuoti. Alla fine dell'esercizio, riporti sullo stesso cerchio le soluzioni; se una di esse cade su un pallino vuoto, devi scartarla.
Ora risolvi l'equazione ed il primo passo è ottenere una o più equazioni goniometriche elementari. I modi per compierlo sono:
- scrivere il tutto come un prodotto uguagliato a zero e poi applicare la legge di annullamento del prodotto. Non capita molto spesso di poterlo fare, ma questo modo non va dimenticato;
- cercare di avere ovunque la stessa funzione con lo stesso argomento e per questo ti serviranno le due formule fondamentali; evita con cura di introdurre radici perché complicano molto le cose. Consideri poi come incognita quella funzione (le prime volte può forse esserti utile fare una sostituzione, chiamandola $y$) e ne ricavi il valore.
Qualche tipo di equazione (lineare, omogenea) richiede qualche particolare accorgimento ma il tuo libro ne parlerà di sicuro; per ora non pensarci.
Il primo passo termina con una funzione eguagliata ad uno o più valori, cioè con una o più equazioni elementari e le risolvi una per una, riportando le soluzioni sul cerchio; il caso più frequente è che ad ogni equazione elementare corrispondano due punti.
Ora l'esercizio si può considerare finito ma si preferisce osservare i punti trovati e chiedersi se la soluzione può essere scritta in modo più elegante; se la risposta è sì, lo si fa. E' quello che succede nel tuo esercizio: la soluzione è data da 4 punti sul cerchio e l'esercizio si può considerare finito scrivendo quei 4 valori seguiti dal solito $+k*360°$; notando però che con rotazioni di 90° si passa dalla prima soluzione alle successive, si preferisce riassumere quelle 4 formule nell'unica data dal libro.
"giammaria":
Ad esempio, se nel testo ci fosse $tg(x+pi/3)$ dovresti imporre $x+pi/3!=pi/2+k pi->x!=pi/6+k pi$
Ma sulla base di cosa hai impostato quelle condizioni di esistenza
"giammaria":
Che risate mi sto facendo!
In questi giorni ti giuro che ne verrò a capo
Domani mattina dedicherò tutta la mattinata allo studio di questi argomenti!
"Bad90":
Ma sulla base di cosa hai impostato quelle condizioni di esistenza
Mentre seno e coseno esistono qualunque sia l'angolo, per tangente e cotangente ci sono dei valori in cui non le si può calcolare; per esempio, non esiste $tg 90°$. Di conseguenza, quando in un esercizio compare una delle due ultime funzioni, dobbiamo escludere che il loro argomento (che chiamerò $f(x)$) abbia uno di questi valori.
Se c'è $tg f(x)$ allora $f(x)!=90°+k*180°$
Se c'è $ctg f(x)$ allora $f(x)!=0°+k*180°$
Se ti è difficile ricordarlo, pensa che la tangente può essere considerata come una frazione (seno fratto coseno), quindi il denominatore deve essere diverso da zero e vanno esclusi i punti in cui si annulla il coseno. Analogamente, per la cotangente escludi i punti in cui si annulla il seno.
"giammaria":
[quote="Bad90"] Ma sulla base di cosa hai impostato quelle condizioni di esistenza
Mentre seno e coseno esistono qualunque sia l'angolo, per tangente e cotangente ci sono dei valori in cui non le si può calcolare; per esempio, non esiste $tg 90°$. Di conseguenza, quando in un esercizio compare una delle due ultime funzioni, dobbiamo escludere che il loro argomento (che chiamerò $f(x)$) abbia uno di questi valori.
Se c'è $tg f(x)$ allora $f(x)!=90°+k*180°$
Se c'è $ctg f(x)$ allora $f(x)!=0°+k*180°$[/quote]
Perfetto! Quindi nelle condizioni di esistenza bisogna solo evidenziare quando una funzione si annulla
Esercizio 2
$ cos^2x -cosx = 0 $
$ cosx(cosx -1) = 0 $
$ cosx = 0 $
$ cosx = 1 $
Le soluzioni sono:
$ x= +-90^o +k360^o $
$ x= k360^o $
E quindi per la funzione coseno non sussiste il problema delle $ C.E. $ , giusto
Però nel caso della seguente soluzione $ x= +-90^o +k360^o $ si può anche dire che $ x= +-90^o +k180^o $ perchè la funzione si ripete ogni $ 180^o $ , giusto
Adesso mi chiedo, qual'è il modo più elegante per dire la soluzione
$ cos^2x -cosx = 0 $
$ cosx(cosx -1) = 0 $
$ cosx = 0 $
$ cosx = 1 $
Le soluzioni sono:
$ x= +-90^o +k360^o $
$ x= k360^o $
E quindi per la funzione coseno non sussiste il problema delle $ C.E. $ , giusto
Però nel caso della seguente soluzione $ x= +-90^o +k360^o $ si può anche dire che $ x= +-90^o +k180^o $ perchè la funzione si ripete ogni $ 180^o $ , giusto
Adesso mi chiedo, qual'è il modo più elegante per dire la soluzione
Esercizio 3
Ecco un esercizio con la tangente, in questo caso non dovrò imporre la condizione di esistenza in quanto ho già valori noti, giusto
$ tg^2x + tgx = 0 $
$ tgx (tgx +1)= 0 $
$ tgx = 0 $
$ tgx = -1 $
Quì le soluzioni sono due:
$ x = k180^o $
e
$ x = (180^o - 45^o) +k180^o = 135^o +k180^o $
Ma quì le condizioni di esistenza non bisogna imporle, giusto
Ecco un esercizio con la tangente, in questo caso non dovrò imporre la condizione di esistenza in quanto ho già valori noti, giusto
$ tg^2x + tgx = 0 $
$ tgx (tgx +1)= 0 $
$ tgx = 0 $
$ tgx = -1 $
Quì le soluzioni sono due:
$ x = k180^o $
e
$ x = (180^o - 45^o) +k180^o = 135^o +k180^o $
Ma quì le condizioni di esistenza non bisogna imporle, giusto
Ultime righe del penultimo post) La tua frase è un errore molto comune fra gli studenti: "si annulla" significa "esiste e vale zero", mentre "non esiste" significa "non ha nessun valore; non ha senso parlarne".
Ad esempio $tgx$ si annulla per $x=0°+k*180°$ e non esiste per $x=90°+k*180°$
Ultimo post) Quasi tutto giusto; devi solo togliere l'inutile $+-$ dell'ultima formula. Le ultime due formule hanno circa la stessa lunghezza e quindi eleganza quasi uguale; l'ultima (dopo la correzione) è lievemente preferibile perché non ha il $+-$ ma va benissimo anche lasciare l'altra.
EDIT: nel frattempo hai inserito un altro post. Devi trovare il CE perché c'è una tangente. Inoltre non è finito; non postare esercizi finché non li hai conclusi (e lo hai appena fatto)
Ad esempio $tgx$ si annulla per $x=0°+k*180°$ e non esiste per $x=90°+k*180°$
Ultimo post) Quasi tutto giusto; devi solo togliere l'inutile $+-$ dell'ultima formula. Le ultime due formule hanno circa la stessa lunghezza e quindi eleganza quasi uguale; l'ultima (dopo la correzione) è lievemente preferibile perché non ha il $+-$ ma va benissimo anche lasciare l'altra.
EDIT: nel frattempo hai inserito un altro post. Devi trovare il CE perché c'è una tangente. Inoltre non è finito; non postare esercizi finché non li hai conclusi (e lo hai appena fatto)
"giammaria":
Ultimo post) Quasi tutto giusto; devi solo togliere l'inutile $+-$ dell'ultima formula.
Adesso ho capito il perchè devo togliere il $ +- $ se ho $ 90^o +k180^o $ , è inutile perchè si ripete ogni mezzo giro, mentre ci starebbe se fosse $ 90^o +k360^o $ perchè bisogna indicare da dove inizia l'angolo, cioè o $ + $ oppure $ - $ !
"giammaria":
EDIT: nel frattempo hai inserito un altro post. Devi trovare il CE perché c'è una tangente. Inoltre non è finito; non postare esercizi finché non li hai conclusi (e lo hai appena fatto)
Perdonami, non lo faccio più!
Allora le condizioni di esistenza vanno scritte in questo modo
$C.E. : x!= 0+k180^o ^^ x!= 90^o +k180^o $
Esercizio 4
$ 4cos^2 2x -3=0 $
Questo come conviene risolverlo
Adesso imposto proprio $ 2x =y $
Sono riuscito a risolverlo, ottenendo $ x = +- 15^o +k180^o $ , solo che non sto capendo perchè il testo mi dice pure $ x = +- 75^o +k180^o $
Avrà usato gli associati per il caso $ cosy = -sqrt(3)/2 $ E mi sa proprio di si 
$ cosy = -sqrt(3)/2 $ significa che si ha $ alpha = -30^o $ o meglio $ cos(180^o -alpha) = -cos alpha $ ed in questo caso si ha:
$ cos(180^o -30^o) = -cos 30^o $
$ 4cos^2 2x -3=0 $
Questo come conviene risolverlo
Adesso imposto proprio $ 2x =y $
Sono riuscito a risolverlo, ottenendo $ x = +- 15^o +k180^o $ , solo che non sto capendo perchè il testo mi dice pure $ x = +- 75^o +k180^o $
Avrà usato gli associati per il caso $ cosy = -sqrt(3)/2 $
E mi sa proprio di si $ cosy = -sqrt(3)/2 $ significa che si ha $ alpha = -30^o $ o meglio $ cos(180^o -alpha) = -cos alpha $ ed in questo caso si ha:
$ cos(180^o -30^o) = -cos 30^o $
$ 4cos^2 2x -3=0 ->cos2x=+-sqrt(3)/2$
1) $cos2x=+sqrt(3)/2->2x=+-30°+k360°->x=+-15°+k180°$,
2) $cos2x=-sqrt(3)/2->2x=+-150°+k360°->x=+-75°+k180°$.
1) $cos2x=+sqrt(3)/2->2x=+-30°+k360°->x=+-15°+k180°$,
2) $cos2x=-sqrt(3)/2->2x=+-150°+k360°->x=+-75°+k180°$.
"chiaraotta":
$ 4cos^2 2x -3=0 ->cos2x=+-sqrt(3)/2$
1) $cos2x=+sqrt(3)/2->2x=+-30°+k360°->x=+-15°+k180°$,
2) $cos2x=-sqrt(3)/2->2x=+-150°+k360°->x=+-75°+k180°$.
Ti ringrazio
Esercizio 3) La condizione di esistenza è solo $x!=90°+k*180°$. La tangente di 0° vale zero e quindi esiste.
"giammaria":
Esercizio 3) La condizione di esistenza è solo $x!=90°+k*180°$. La tangente di 0° vale zero e quindi esiste.
Esercizio 5
$ (cosx + cos^2x) /(1+cosx)=1 $
$ cosx + cos^2x =1+cosx $
$ cos^2x =1 $
$ cosx =+-1 $
Adesso le soluzioni potrebbero esser scritte in questo modo:
$ x = +- 0 +k360^o $
$ x = +- 180^o +k360^o $
Ma è molto più elegante scrivere la soluzione in questo modo:
$ x =k180^o $
Giusto
$ (cosx + cos^2x) /(1+cosx)=1 $
$ cosx + cos^2x =1+cosx $
$ cos^2x =1 $
$ cosx =+-1 $
Adesso le soluzioni potrebbero esser scritte in questo modo:
$ x = +- 0 +k360^o $
$ x = +- 180^o +k360^o $
Ma è molto più elegante scrivere la soluzione in questo modo:
$ x =k180^o $
Giusto
Esercizio 6
$ sen^2x - senx - 2= 0 $
Ho risolto la seguente con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, tutto ok, ma giusto per una conferma voglio chiedere se è giusto ciò che ho compreso.....
Unica soluzione è $ senx=-1 $ mentre $ senx=2 $ è impossibile, giusto
$ sen^2x - senx - 2= 0 $
Ho risolto la seguente con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, tutto ok, ma giusto per una conferma voglio chiedere se è giusto ciò che ho compreso.....
Unica soluzione è $ senx=-1 $ mentre $ senx=2 $ è impossibile, giusto
Esercizio 7
$ 2cos^2x - 3cosx + 7=0 $
Questa è impossibile perchè
Ho notato che mi viene fuori un $ Delta = sqrt(-19) $ e questo mi rende la soluzione impossibile in $ R $ , giusto
Quindi basta questo per dire che è impossibile, vero
$ 2cos^2x - 3cosx + 7=0 $
Questa è impossibile perchè
Ho notato che mi viene fuori un $ Delta = sqrt(-19) $ e questo mi rende la soluzione impossibile in $ R $ , giusto
Quindi basta questo per dire che è impossibile, vero
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