Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.

[Bad90]

Esercizio 1

$ 2sen^2x -1 = 0 $

Come si risolvono
Ho pensato di fare in questo modo:

$ sen^2x = 1/2 $

$ senx = +-sqrt(2)/2 $

E' giusto imporre le condizioni di esistenza in questo modo

$ C.E. : AA a in R | -1
Quindi le soluzioni sono $ senx =-sqrt(2)/2 vv senx =sqrt(2)/2 $
Ma poi non sono sicuro su come continuare
Ciò che mi viene di dire intuitivamente è che se il valore che mi interessa deve essere incluso tra $ 45^o $ e $ -45^o $ posso solo pensare che la soluzione è:

$ x=45^o +k90^o $

Dico questo perchè devo avere un valore tale che si ripete ogni $ 90^o $ ! Ma poi non bisogna considerare anche questo:

$ x=180^o - alpha+k360^o $



Ancora non mi sono tanto chiare queste equazioni

[chiaraotta1]

Non c'è.

[Bad90]

"chiaraotta":Non c'è.

Quindi e' $ +- oo $ , giusto?

[chiaraotta1]

Il codominio è $RR$.

[Bad90]

"chiaraotta":Il codominio è $RR$.

Cioe' tutti i numeri reali! E quando una funzione si dice che e' $ +-oo $ Cosa vuol dire?
Ecco il dominio della funzione tangente:

[Bad90]

Esercizio 16

$ 2senx - 3cosx = 0 $

Faccio nel seguente modo:

$ (2senx)/(cosx) - (3cosx)/(cosx) = 0 $

$ 2tgx - 3= 0 $

$ tgx= 3/2 $

Non avendo sulla tabella valori di angoli relativi a questo $ 3/2 $, come faccio a sapere l'angolo per dare poi la soluzione

Ecco la $ C.E. $ correggetemi se sbaglio:

$ D {x in R|x!= pi/2+2kpi } $

Va bene

[Bad90]

Non sto capendo alcuni passaggi del seguente esercizio:

Non sto capendo quando dice che utilizza le formule di addizione e sottrazione e poi per questo moltiplica per $ 1/2 $
Come fa ad ottenere da questa:

$ sqrt(3)senx +cosx = 1 $

$ (sqrt(3))/2senx +1/2cosx = 1/2 $

Questa quì?

$ (sqrt(3))/2 =cosx pi/6 = senx pi/3 $

e così via ........

[chiaraotta1]

Poiché
$sqrt(3)/2=cos(pi/6)$
e
$1/2=sen (pi/6)$,
l'equazione
$ (sqrt(3))/2senx +1/2cosx = 1/2 $
può essere riscritta come
$sen x cos (pi/6) + cos x sen(pi/6)=1/2$
e poi, usando le formule di addizione del seno, come
$sen(x+pi/6)=1/2$.
A questo punto, poiché $1/2$ è il seno di $pi/6$ e di $5/6pi$, si hanno le solite due possibilità:
1) $x+pi/6=pi/6+2kpi->x=2kpi$,
2) $x+pi/6=5/6pi+2kpi->x=2/3pi+2kpi$.

[Bad90]

"chiaraotta":Poiché
$sqrt(3)/2=cos(pi/6)$
e
$1/2=sen (pi/6)$,
l'equazione
$ (sqrt(3))/2senx +1/2cosx = 1/2 $
può essere riscritta come
$sen x cos (pi/6) + cos x sen(pi/6)=1/2$
e poi, usando le formule di addizione del seno, come
$sen(x+pi/6)=1/2$.
A questo punto, poiché $1/2$ è il seno di $pi/6$ e di $5/6pi$, si hanno le solite due possibilità:
1) $x+pi/6=pi/6+2kpi->x=2kpi$,
2) $x+pi/6=5/6pi+2kpi->x=2/3pi+2kpi$.

Ok, ti ringrazio
Come ha detto il mio amico giammaria, da adesso in poi lavoro con il $ pi $, non voglio trovarmi incasinato poi in analisi!

[Bad90]

Esercizio 17

Come posso risolvere questa

$ sen (x/2) + cos (x/2) = 0 $

Ho provato a dividere tutto per $ cos $ ma mi sono impallato, ecco quì:

$ (sen (x/2))/(cos) + (cos (x/2))/(cos) = 0 $

$ tg(x/2)+ (x/2)= 0 $



Oppure bisogna utilizzare le formule di bisezione

[chiaraotta1]

$ sin (x/2) + cos (x/2) = 0 -> sin (x/2) =- cos (x/2)->$
$tan(x/2)=-1-> x/2=-pi/4+kpi->x=-pi/2+2kpi$.

[Bad90]

Lo stesso problema dell'esercizio 16, lo sto incontrando in altri esercizi
Sto riuscendo a ricavare i valori della tangente, per esempio nell'ultimo caso ho incontrato $ tg (x/2) = 3/4 $ , ma solo che per sapere il valore della tangente, sono costretto ad utilizzare la calcolatrice

Dite che è un sacrilegio

Qualche tempo fa giammaria mi ha detto che ci si avvaleva della calcolatrice, solo che non ricordo se mi ha detto che ci sono delle tabelle

[Bad90]

"chiaraotta":$ sin (x/2) + cos (x/2) = 0 -> sin (x/2) =- cos (x/2)->$
$tan(x/2)=-1-> x/2=-pi/4+kpi->x=-pi/2+2kpi$.

Accipicchia, non ti ferma nessuno !
Sei veramente brava!
Non avevo proprio pensato a quella possibile via risolutiva

Ti ringrazio

[giammaria2]

Si ricorre alla calcolatrice quando si trova un valore che non figura nella tabella ma è accettabile (cioè compreso fra -1 e 1 se si tratta di seno e coseno, qualsiasi per tangente e cotangente). La diffusione delle calcolatrici scientifiche è avvenuta circa 40 anni fa; prima si usavano appositi libriccini.

[Bad90]

"giammaria":Si ricorre alla calcolatrice quando si trova un valore che non figura nella tabella ma è accettabile (cioè compreso fra -1 e 1 se si tratta di seno e coseno, qualsiasi per tangente e cotangente). La diffusione delle calcolatrici scientifiche è avvenuta circa 40 anni fa; prima si usavano appositi libriccini.

Perfetto!

[Bad90]

Esercizio 18

Sto cercando di risolvere la seguente equazione, utilizzando il sistema con l'equazione della circonferenza.....

$ sqrt(3)cosx+senx=2 $

$ cos^2x + sen^2 x = 1 $

Ecco il sistema:

$ sqrt(3)x+y=2 $

$ x^2 + y^2 = 1 $

Alla fine di tutti i calcoli, mi trovo con i seguenti valori:

$ (x= sqrt(3)/2) ;( y =1/2) $

Come devo continuare

Penso che i risultati si debbano impostare nel seguente modo:

$ cosx= sqrt(3)/2 $ allora $ x=+-30^o +k360^o $

$ seny =1/2 $ allora $ y=30^o +k360^o $

[Bad90]

Esercizio 19

$ cos(90^o - x) + sen(120^o - x) =sqrt(3) $

Ho pensato di iniziare con l'utilizzo degli archi associati:

$ senx + sen(120^o - x) =sqrt(3) $

Ma poi a quanto equivale $ sen(120^o - x) $ con gli archi associati

[giammaria2]

Esercizio18) All'inizio hai posto
${(X=cosx),(Y=sinx):}$
(meglio usare le maiuscole come ho fatto io, per non fare confusione fra le due x). Quindi ora tu sai che il tuo angolo $x$ ha quel coseno e quel seno: sono entrambi positivi quindi sei nel primo quadrante, perciò la soluzione è
$x=pi/6+2kpi$
(Ho usato i radianti solo per dartene l'abitudine).
In generale, guardi il valore solo del seno o solo del coseno, mentre per l'altra funzione guardi solo il segno, che ti dice in che quadrante sei. Prendo come esempio il tuo esercizio e lo concludo nei due modi possibili; naturalmente ne userai uno solo, a tua scelta.
I modo) Il coseno vale $sqrt3/2$, quindi la soluzione sarebbe $x=+-pi/6+2kpi$; siccome però il seno è positivo, scarto la soluzione nel quarto quadrante e lascio solo quella col +.
II modo) Il seno vale $1/2$, quindi la soluzione sarebbe $x=pi/6+2kpi vv x=(5pi)/6+2kpi$; siccome però il coseno è positivo, scarto la soluzione nel secondo quadrante e lascio solo quella che ho scritto per prima.

Esercizio 19) Per $sin(120°-x)$ devi usare le formule di somma.

[Bad90]

"giammaria":
(Ho usato i radianti solo per dartene l'abitudine).

Si, si, ho imparato a fidarmi ciecamente dei tuoi consigli, non sbagli mai

[Bad90]

Allora faccio in questo modo:

$ senx + sen(120^o - x) =sqrt(3) $

$ senx + sen120^o cosx - cos120^o senx =sqrt(3) $

Ovviamente:

$ sen120^o = sen(180^o - 60^o) = sen60^o $
$ cos120^o = sen(180^o - 60^o) = -cos60^o $

Giusto

Allora mi ritroverò con la seguente:

$ senx +sqrt(3)/2 cosx - 1/2senx =sqrt(3) $

Non so se è possibile ciò che sto facendo, ma provo comunque

$ tgx +sqrt(3)/2 - 1/2tgx =sqrt(3) $

$ tgx - 1/2tgx =sqrt(3)-sqrt(3)/2 $

$ tgx (1- 1/2) =sqrt(3)/2 $

$ tgx (1/2) =sqrt(3)/2 $

$ tg(x/2) =sqrt(3)/2 $

$ tg(x) =sqrt(3)/2 *2$

$ tgx =sqrt(3)$

Arrivando alla conclusione che deve essere $ x=60^o +k180^o $

Si può fare

Altrimenti come avrei dovuto fare

[Bad90]

Esercizio 20

Adesso sto cercando di risolvere un'altro esercizio tipo il precedente e ancora non riesco a venirne fuori:

$ 2sen(x-90^o) -cos(120^o + x)=0 $

arrivo al seguente punto:

$ -2cosx +1/2cosx + sqrt3/2senx=0 $

Dopo non riesco più a procedere