Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.
Esercizio 1
$ 2sen^2x -1 = 0 $
Come si risolvono
Ho pensato di fare in questo modo:
$ sen^2x = 1/2 $
$ senx = +-sqrt(2)/2 $
E' giusto imporre le condizioni di esistenza in questo modo
$ C.E. : AA a in R | -1
Quindi le soluzioni sono $ senx =-sqrt(2)/2 vv senx =sqrt(2)/2 $
Ma poi non sono sicuro su come continuare
Ciò che mi viene di dire intuitivamente è che se il valore che mi interessa deve essere incluso tra $ 45^o $ e $ -45^o $ posso solo pensare che la soluzione è:
$ x=45^o +k90^o $
Dico questo perchè devo avere un valore tale che si ripete ogni $ 90^o $ ! Ma poi non bisogna considerare anche questo:
$ x=180^o - alpha+k360^o $
Ancora non mi sono tanto chiare queste equazioni
$ 2sen^2x -1 = 0 $
Come si risolvono
Ho pensato di fare in questo modo:
$ sen^2x = 1/2 $
$ senx = +-sqrt(2)/2 $
E' giusto imporre le condizioni di esistenza in questo modo
$ C.E. : AA a in R | -1
Quindi le soluzioni sono $ senx =-sqrt(2)/2 vv senx =sqrt(2)/2 $
Ma poi non sono sicuro su come continuare
Ciò che mi viene di dire intuitivamente è che se il valore che mi interessa deve essere incluso tra $ 45^o $ e $ -45^o $ posso solo pensare che la soluzione è:
$ x=45^o +k90^o $
Dico questo perchè devo avere un valore tale che si ripete ogni $ 90^o $ ! Ma poi non bisogna considerare anche questo:
$ x=180^o - alpha+k360^o $
Ancora non mi sono tanto chiare queste equazioni
Risposte
Esercizio 8
Ho risolto la seguente:
$ 5tg^2x + 7tgx = 0 $
$C.E. : x!=90°+k*180°$
Sono arrivato alle due soluzioni:
$ tgx= 0 $
e per questa sono riuscito a dedurre che deve essere $ x=k180^o $ e va bene!
La seconda soluzione che a mio parere è impossibile è:
$ tgx= -7/5 $
Ma se è impossibile, perchè il testo mi dice che una seconda soluzione è
$ x~~ -54^o27'44'' + k180^o $
E adesso capisco che delle volte non sono tanto elegante con lo scrivere le soluzioni, ma adesso non sto capendo se si tratta di eleganza oppure sto trascurando qualcosa!?!? Poi perchè il testo scrive quel $ ~~ $ che significa circa????
Ho risolto la seguente:
$ 5tg^2x + 7tgx = 0 $
$C.E. : x!=90°+k*180°$
Sono arrivato alle due soluzioni:
$ tgx= 0 $
e per questa sono riuscito a dedurre che deve essere $ x=k180^o $ e va bene!
La seconda soluzione che a mio parere è impossibile è:
$ tgx= -7/5 $
Ma se è impossibile, perchè il testo mi dice che una seconda soluzione è
$ x~~ -54^o27'44'' + k180^o $
E adesso capisco che delle volte non sono tanto elegante con lo scrivere le soluzioni, ma adesso non sto capendo se si tratta di eleganza oppure sto trascurando qualcosa!?!? Poi perchè il testo scrive quel $ ~~ $ che significa circa????
5) C'è una frazione, quindi devi fare il CE. Troverai che una soluzione va scartata.
6 e 7) Giuste
8) Mentre seno e coseno devono essere compresi fra -1 ed 1, la tangente può assumere qualsiasi valore, quindi va bene anche la seconda soluzione. Non corrisponde ad un angolo speciale e devi perciò ricorrere alla calcolatrice, chiedendo $tg^(-1)(-1.4)$. Ottieni la soluzione in gradi con la virgola; con i metodi che hai studiato a suo tempo la trasformi in gradi, primi e secondi. Il circa è dovuto al fatto che la calcolatrice non dà tutte le infinite cifre del risultato ed è probabile che ci siano anche delle frazioni di secondo.
6 e 7) Giuste
8) Mentre seno e coseno devono essere compresi fra -1 ed 1, la tangente può assumere qualsiasi valore, quindi va bene anche la seconda soluzione. Non corrisponde ad un angolo speciale e devi perciò ricorrere alla calcolatrice, chiedendo $tg^(-1)(-1.4)$. Ottieni la soluzione in gradi con la virgola; con i metodi che hai studiato a suo tempo la trasformi in gradi, primi e secondi. Il circa è dovuto al fatto che la calcolatrice non dà tutte le infinite cifre del risultato ed è probabile che ci siano anche delle frazioni di secondo.
"Bad90":
Esercizio 7
$ 2cos^2x - 3cosx + 7=0 $
In realtà $Delta = (-3)^2-4*2*7=9-56=-47<0$ ed effettivamente l'equazione è impossibile.
"giammaria":
5) C'è una frazione, quindi devi fare il CE. Troverai che una soluzione va scartata.
Allora, si fa in questo modo
$C.E.: 1+cosx != 0 =>cosx != -1 $
$ x != 180^o +k360^o $
Va bene così
"Bad90":
[quote="giammaria"]5) C'è una frazione, quindi devi fare il CE. Troverai che una soluzione va scartata.
Allora, si fa in questo modo
$C.E.: 1+cosx != 0 =>cosx != -1 $
$ x != 180^o +k360^o $
Va bene così
[/quote]
"giammaria":
Chiedendo $tg^(-1)(-1.4)$
Ok, per la funzione sulla calcolatrice, perfetto!
Invece non sto capendo questo:
Non corrisponde ad un angolo speciale e devi perciò ricorrere alla calcolatrice
"Bad90":
[quote="giammaria"]Non corrisponde ad un angolo speciale e devi perciò ricorrere alla calcolatrice
[/quote]Cioè non corrisponde a un angolo "di quelli famosi" ($^1$) di cui il valore della tangente (ma anche del seno e del coseno) si sanno, cioè i multipli di $30^o$ e di $45^o$.
Per fare un esempio, sai che $tan(45^o)=1$ ($^2$) perché $45^o$ è uno di quegli angoli "speciali" di cui sai quanto vale la tangente (ma anche seno e coseno).
Di questi angoli non ce n'è nessuno la cui tangente vale $-1,4$.
________
($^1$) Ce ne sono altri di "angoli speciali" anche se "meno" di questi. Sono quelli i cui valori si possono calcolare utilizzando formule di bisezione o altro (tipo $15^o$).
($^2$) Ringrazio giammaria perché m'ha corretto una svista.
Esercizio 9
$ 4sen^2 x/2 -4senx/2 + 1=0 $
E' giusto fare nel modo seguente?
$ 4t^2 -4t + 1=0 $
$ Delta = 0 $
$ t_(12) = 4/8=1/2 $
$ senx/2=1/2 $ allora $ senx=2/2 =1 $
Ho l'impressione che non si può fare, ho fatto svariate prove e non si può
Il perchè e che bisogna fare in questo modo:
$ x/2=30^o + k360^o $ ecc.
$ 4sen^2 x/2 -4senx/2 + 1=0 $
E' giusto fare nel modo seguente?
$ 4t^2 -4t + 1=0 $
$ Delta = 0 $
$ t_(12) = 4/8=1/2 $
$ senx/2=1/2 $ allora $ senx=2/2 =1 $
Ho l'impressione che non si può fare, ho fatto svariate prove e non si può
Il perchè e che bisogna fare in questo modo:
$ x/2=30^o + k360^o $ ecc.
Giammaria, qualche giorno fa mi hai detto che in Analisi Matematica, troverò parecchio il $ pi $ e da quanto ho capito, mi conviene lavorare con angoli espressi in $ pi $ !
Per quale motivo si usa parecchio il $ pi $
Per quale motivo si usa parecchio il $ pi $
9) La tua correzione è giusta ed hai capito l'errore precedente. Non fare domande a cui sai rispondere da solo: è una perdita di tempo sia per te che per noi.
Ultimo post) In analisi ci sono alcune formule importanti e molto usate ma valide solo se l'angolo è in radianti; per questo non si usano altre unità di misura e, per non trovarti spiazzato, ti conviene fin d'ora abituarti ai radianti.
Ultimo post) In analisi ci sono alcune formule importanti e molto usate ma valide solo se l'angolo è in radianti; per questo non si usano altre unità di misura e, per non trovarti spiazzato, ti conviene fin d'ora abituarti ai radianti.
"giammaria":
Ultimo post) In analisi ci sono alcune formule importanti e molto usate ma valide solo se l'angolo è in radianti; per questo non si usano altre unità di misura e, per non trovarti spiazzato, ti conviene fin d'ora abituarti ai radianti.
Ma stavo pensando che forse l'angolo espresso in radianti, basilarmente porta dei numeri piu' precisi? Un po' fome il $ sqrt(2) $ che garantisce una maggiore precisione, giusto?
Esercizio 10
Questa come conviene risolverla
$ tg^3x - tg^2x-3tgx+3=0 $
Applicando Ruffini, sono arrivato alla conclusione che $ tg^2x -3 =0 $ , il che è assurdo Vediamo se ricordo bene Ruffini.......
Il polinomio si annulla per $ x = 1 $ il che mi da una prima soluzione che è $ (t-1) $, abbassando di grado arrivo alla seconda soluzione che è assurda $ (t^2-3) $ , perfetto!
Se invece uso il secondo metodo, se non erro si dice del raccoglimento parziale, faccio come ha fatto Chiarotta nel messaggio che segue....
Questa come conviene risolverla
$ tg^3x - tg^2x-3tgx+3=0 $
Applicando Ruffini, sono arrivato alla conclusione che $ tg^2x -3 =0 $ , il che è assurdo
Vediamo se ricordo bene Ruffini....... Il polinomio si annulla per $ x = 1 $ il che mi da una prima soluzione che è $ (t-1) $, abbassando di grado arrivo alla seconda soluzione che è assurda $ (t^2-3) $ , perfetto!
Se invece uso il secondo metodo, se non erro si dice del raccoglimento parziale, faccio come ha fatto Chiarotta nel messaggio che segue....
"Bad90":
Esercizio 10
$ tg^3x - tg^2x-3tgx+3=0 ->tg^2x(tgx-1)-3(tgx-1)=0->$
$(tg^2x-3)(tgx-1)=0$.
Per cui
1) $tg^2x-3=0->tgx=+-sqrt(3)->x=+-60°+k180°$,
2) $tgx-1=0->tgx=1->x=45°+k180°$.
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]Esercizio 10
$ tg^3x - tg^2x-3tgx+3=0 ->tg^2x(tgx-1)-3(tgx-1)=0->$
$(tg^2x-3)(tgx-1)=0$.
Per cui
1) $tg^2x-3=0->tgx=+-sqrt(3)->x=+-60°+k180°$,
2) $tgx-1=0->tgx=1->x=45°+k180°$.[/quote]
Hai ragione, che sbadato
Non sto ricordando perchè si può passare da questo:
$ tg^2x(tgx-1)-3(tgx-1)=0 $
Fare questo:
$ (tg^2x-3)(tgx-1)(tgx-1)=0 $
E arrivare a questo:
$ (tg^2x - 3)(tgx-1)=0 $
Qual'e la regola che ti fa togliere $ (tgx-1) $
Da
$ tg^2x(tgx-1)-3(tgx-1)=0 $
si può raccogliere
$(tgx-1)$
fra
$ tg^2x(tgx-1)$
e
$-3(tgx-1)$.
Così si ottiene
$ (tg^2x - 3)(tgx-1)=0 $
$ tg^2x(tgx-1)-3(tgx-1)=0 $
si può raccogliere
$(tgx-1)$
fra
$ tg^2x(tgx-1)$
e
$-3(tgx-1)$.
Così si ottiene
$ (tg^2x - 3)(tgx-1)=0 $
"chiaraotta":
Da
$ tg^2x(tgx-1)-3(tgx-1)=0 $
si può raccogliere
$(tgx-1)$
Ok, adesso ricordo benissimo! Mi sa che per un paio di giorni devo studiare solo trigonometria, altrimenti mi incasino
Esercizio 11
$ tgx +1/3 ctgx -(2sqrt(3))/(3) = 0 $
In questa equazione, c'è $ 1/3ctgx $ ma se voglio portarla in $ tgx $ come devo fare
Si può fare così?
$ 1/3ctgx =1/3(1/(tgx)) = 1/(3tgx) $
Perchè non sono sicuro! Oppure bisogna fare questo?
$ 1/3ctgx =3tgx $
$ tgx +1/3 ctgx -(2sqrt(3))/(3) = 0 $
In questa equazione, c'è $ 1/3ctgx $ ma se voglio portarla in $ tgx $ come devo fare
Si può fare così?
$ 1/3ctgx =1/3(1/(tgx)) = 1/(3tgx) $
Perchè non sono sicuro! Oppure bisogna fare questo?
$ 1/3ctgx =3tgx $
"Bad90":
Esercizio 11
$tgx +1/3 ctgx -(2sqrt(3))/(3) = 0->3tgx +1/(tgx) -2sqrt(3) = 0->$
$3tg^2x -2sqrt(3)tgx +1 = 0 ->(sqrt(3)tgx-1)^2=0->$
$tgx=1/sqrt(3)->x=30°+k180°$.
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]Esercizio 11
$tgx +1/3 ctgx -(2sqrt(3))/(3) = 0->3tgx +1/(tgx) -2sqrt(3) = 0->$
$3tg^2x -2sqrt(3)tgx +1 = 0 ->(sqrt(3)tgx-1)^2=0->$
$tgx=1/sqrt(3)->x=30°+k180°$.[/quote]
Ok, ma allora si può anche fare in questo modo:
$ 1/3ctgx =3tgx $
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