Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.

[Bad90]

Esercizio 1

$ 2sen^2x -1 = 0 $

Come si risolvono
Ho pensato di fare in questo modo:

$ sen^2x = 1/2 $

$ senx = +-sqrt(2)/2 $

E' giusto imporre le condizioni di esistenza in questo modo

$ C.E. : AA a in R | -1
Quindi le soluzioni sono $ senx =-sqrt(2)/2 vv senx =sqrt(2)/2 $
Ma poi non sono sicuro su come continuare
Ciò che mi viene di dire intuitivamente è che se il valore che mi interessa deve essere incluso tra $ 45^o $ e $ -45^o $ posso solo pensare che la soluzione è:

$ x=45^o +k90^o $

Dico questo perchè devo avere un valore tale che si ripete ogni $ 90^o $ ! Ma poi non bisogna considerare anche questo:

$ x=180^o - alpha+k360^o $



Ancora non mi sono tanto chiare queste equazioni

[Bad90]

Esercizio 12

Ho qualche dubbio in merito a questo esercizio:

$ sen x +(4cosx+1)/(sen(-x))=0 $

Al denominatore, mi trovo con $ sen(-x) $ e so che lo stesso equivale a $ sen(360^o -x) = sen(-x) $ , giusto

Se mi trovo a moltiplicare $ sen(-x) * senx $ a quanto equivale

Ho pensato che si può fare così:

$ sen^2(-x^2) $

Ma non mi sono mai trovato in queste circostanze e non so come fare

[chiaraotta1]

"Bad90":
Ok, ma allora si può anche fare in questo modo:

$ 1/3ctgx =3tgx $

No!!
$ 1/3ctgx =1/3*1/(tgx)=1/(3tgx)$.

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]
Ok, ma allora si può anche fare in questo modo:

$ 1/3ctgx =3tgx $

No!!
$ 1/3ctgx =1/3*1/(tgx)=1/(3tgx)$.[/quote]

Ok!

[chiaraotta1]

Poiché
$sen(-x)=-sen x$,
$ sen x +(4cosx+1)/(sen(-x))=0 ->{(sen(-x)!=0), (-sen^2x+4cosx+1=0):}->$
${(x!=k180°), (-1+cos^2x+4cosx+1=0):}....$

[Bad90]

"chiaraotta":Poiché
$sen(-x)=-sen x$,
$ sen x +(4cosx+1)/(sen(-x))=0 ->{(sen(-x)!=0), (-sen^2x+4cosx+1=0):}->$
${(x!=k180°), (-1+cos^2x+4cosx+1=0):}....$

Ok, ti ringrazio!

[Bad90]

Esercizio 13

Ho risolto la seguente:

$ (cosx)/(1+senx) =tgx $

Bene, sono arrivato alla seguente equazione:

$ 2sen^2 x + senx -1 = 0 $

Da questa ho dedotto due soluzioni:

$ senx = -1 $
$ senx = 1/2 $

Dalla seguente $ senx = 1/2 $ sono arrivato a queste giuste conclusioni:

$ x = 30^o +k360^o $
$ x = 150^o +k360^o $

Ma poi non sto capendo come mai il mio testo non considera le altre due soluzioni che sono:

$ x = 270^o +k360^o $
$ x = -90^o +k360^o $ che è lo stesso di $ x = 270^o +k360^o $



Insomma perchè ha considerato solo queste?



$ x = 30^o +k360^o $
$ x = 150^o +k360^o $

[chiaraotta1]

$ (cosx)/(1+senx) =tgx $
Il denominatore deve essere $!=0$, quindi $sen x!=-1$

[Bad90]

"chiaraotta":$ (cosx)/(1+senx) =tgx $
Il denominatore deve essere $!=0$, quindi $sen x!=-1$

E' vero Che sbadato

[Bad90]

Esercizio 14

Vediamo se riesco ad impostare bene le $ C.E. $ per la seguente:

$ (senx) /(1-cosx) = (cosx)/(senx) $

$ C.E. : $
$ 1-cosx!= 0 =>cosx!=1=> x!=90^o +k360^o $
$ senx!= 0 =>x!=k180^o $

Vanno bene così

Infatti la soluzione è impossibile perchè si ha $ cosx= 1 $

Giusto?

[chiaraotta1]

$ 1-cosx!= 0 =>cosx!=1=> x!=k360^o $

[Bad90]

Sto studiando le Equazioni lineari in $ senx $ e $ cosx $ , non mi è chiaro un concetto.....

$ senx - cosx = 1 $

Il testo mi dice che utilizza le parametriche! Quando dice che posto $ t = tg (x/2) $ non sto capendo il perchè di questa:

con $ x!= (2k +1) 180^o $

Che poi può essere anche scritta in questo modo:

$ x!= 180^o + 2k180^o $

Perchè questa condizione

Poi non sto capendo quando dice che avendo posto $ x!= (2k +1) 180^o $ si ottiene che $ 0-(-1)=1 $
Ma come ha fatto ad ottenere $ 0-(-1)=1 $

[Bad90]

Esercizio 15

Sto cercando di capire e risolvere il seguente esercizio:

$ senx - cosx =0 $

Provo ad utilizzare le parametriche e spero si possa fare, ecco quì:

$ (2t)/(1+t^2) - (1-t^2)/(1+t^2)=0 $

$ (2t- 1+t^2)/(1+t^2)=0 $

$ t^2 + 2t- 1=0 $

Allora:

$ Delta =2sqrt(2) $

$ t_(12) = (-2+-2sqrt(2))/2 $

Unica soluzione è

$ t=sqrt(2)-1 $

Adesso come devo continuare Mi spiego....
Se ho:

$ tg(x/2)=sqrt(2)-1 $ so che l'angolo deve essere $ alpha = 22.5^o $ , bene, ma come imposto la soluzione Va bene in questo modo

$ x/2= 22.5^o + k180^o $

$ x= 45^o + 2k180^o $

Se ho fatto bene, come devo impostare le $ C.E. $

E' giusto fare in questo modo

$ C.E. $
$ 1+t^2!= 0 =>t^2!= -1 =>t!= 1 $
$ tg(x/2)!= 1 => x/2!= 45^o + k180^o $
$ x!= 90^o + 2k180^o $

Va bene così

[chiaraotta1]

"Bad90":Sto studiando le Equazioni lineari in $ senx $ e $ cosx $ , non mi è chiaro un concetto.....
$ senx - cosx = 1 $

Le parametriche sono delle formule in cui entra in gioco $tg (x/2)$. Poiché la tangente non è definita per gli angoli $90° + k180°$, queste formule non sono definite per $x/2=90° + k180°$ e cioè per $x=180° + 2k180°$.
Per questa ragione se un'equazione originariamente ha queste soluzioni, una volta che si siano fatte delle sostituzioni con le parametriche, non è più possibile trovarle. Quindi, prima di fare la sostituzione, bisogna controllare per sostituzione se queste soluzioni ci sono.
Questo è quello che fa il testo.
Sostituisce alla $x$, nell'equazione $senx - cosx=1$, $180° + 2k180°$. Verifica che è un'identità, perché $sen(180° + 2k180°)=0$, $cos(180° + 2k180°)=-1$ e $0-(-1)=1$.
Perciò quell'equazione ha almeno la soluzione $x=180° + 2k180°$.
A questo punto trasforma $senx - cosx=1$ in $(2t)/(1+t^2)-(1-t^2)/(1+t^2)=1$ e cerca eventuali altre soluzioni.
$(2t)/(1+t^2)-(1-t^2)/(1+t^2)=1->2t-1+t^2=1+t^2->$
$t=1->tg(x/2)=1->x/2=45°+k180°->x=90°+k360°$ .
In definitiva l'equazione ha per soluzioni
1) $x=180° + k360°$,
2) $x=90°+k360°$ .

[Bad90]

"chiaraotta":
In definitiva l'equazione ha per soluzioni
1) $x=180° + k360°$,
2) $x=90°+k360°$ .

E quindi la prima soluzione è stata ricavata già in partenza $x=180° + k360°$, mentre la seconda è stata ricavata alla fine $x=90°+k360°$ ! Giusto

Insomma, questa $x=180° + k360°$ è riferita si all'equazione impostata, ma è riferita alla $ tg (x/2) $ Ovviamente esiste perchè la $ tgalpha $ se $ alpha = 180^o $ è zero e quindi esiste

[chiaraotta1]

"Bad90":Esercizio 15
... $ t_(12) = (-2+-2sqrt(2))/2 $

Unica soluzione è

$ t=sqrt(2)-1 $

Perché unica soluzione? C'è anche $t=-sqrt(2)-1$.
In ogni caso conveniva operare diversamente:
$sen x - cos x=0->senx=cosx->tgx=1->x=45°+k180°$

[Bad90]

"chiaraotta":
Perché unica soluzione? C'è anche $t=-sqrt(2)-1$.

Si ma è impossibile perchè $ -sqrt(2)-1 = -2.4142 $
Scusami, ma non bisogna essere tra $ -1 $ e $ +1 $

[chiaraotta1]

"Bad90":
Scusami, ma non bisogna essere tra $ -1 $ e $ +1 $

No. Quella condizione vale solo per seno e coseno.

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]
Scusami, ma non bisogna essere tra $ -1 $ e $ +1 $

No. Quella condizione vale solo per seno e coseno.[/quote]

Accipicchia, dopo tutta la trigonometria che ho studiato, non so il perche di cio' che mi stai giustamente diciendo! Perche' non vale per la tangente?

[chiaraotta1]

"Bad90":...
Accipicchia, dopo tutta la trigonometria che ho studiato, non so il perche di cio' che mi stai giustamente diciendo! Perche' non vale per la tangente?

Il codominio delle funzioni trigonometriche deriva da come sono state definite.
Datti un'occhiata alla definizione di $sen alpha$, $cos alpha$, $tg alpha$.

[Bad90]

Effettivamente la tangente puo' essere maggiore della circonferenza unitaria, solo che non sto riuscendo a trovare quanto e' il valore massimo della tangente!


Quanto e' il valore massimo della tangente???